21.7 一维势阱 势垒 隧道效应

2 2 nπ 2 1 1 ψ ( x ) = sin ( x ) = ⋅ = a a a 2 a
2
由归一化条件知， 增大 a ，由归一化条件知， 曲线下方面积为 1 ，故曲线 峰值下降， 很大时， 峰值下降，当 a 很大时，分 布趋于均匀，与经典无异。 布趋于均匀，与经典无异。
一维无限深势阱中能量、 一维无限深势阱中能量、波函数和概率密度
E < U0
ψ ( x)
o
a x
粒子的能量虽不 粒子的能量虽不足以 超越势垒， 超越势垒，但在势垒中似 乎有一个隧道， 乎有一个隧道，能使少量 粒子穿过而进入 x > a 的区域， 的区域，所以人们形象地 称之为隧道效应 隧道效应。 称之为隧道效应。
ψ1
ψ2 ψ3
o
a
x
ψ ( x)
ψ1
ψ2 ψ3
o
U0
电子云重叠 U0 U0 E
样 品
d
针 尖
扫描隧道显微镜（STM）装置示意图 扫描隧道显微镜（ ）
用STM得到的神经细胞象 得到的神经细胞象
液体中观察原子图象
在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜 单晶表面的STM图象。 图象。 单晶表面的 图象
“扫描隧道绘画 扫描隧道绘画 ” 一氧化碳“分子人” 一氧化碳“分子人”
处在超晶格的一维量子线和两维量子阱中的电子 就属于一维和两维势阱中的粒子， 就属于一维和两维势阱中的粒子，而处在金属内的电 子可看作三维势阱中的粒子。 子可看作三维势阱中的粒子。
的无限深势阱中的基态粒子， 例1：宽度为 a 的无限深势阱中的基态粒子，求 x ： 之间粒子出现的概率。 在 0.25 a → 0.75 a 之间粒子出现的概率。 解：
∆En = (2n + 1) E1 = 36 2n + 1 eV （ ）
量子效应很明显
2 −4 2 若 a = 10-2m 则 a = 10 m
E1 = 3.6 × 10−15 eV → 0
∆E n = (2n + 1) E1 → 0
量子效应不明显
②粒子的物质波在势阱内形成驻波 如果考虑随时间的演化， 如果考虑随时间的演化，应求解含时的薛定谔 方程，则粒子在势阱内的波函数为: 方程，则粒子在势阱内的波函数为
2
4E1 E1 0
a
三维势阱中粒子的波函数和能级公式 三维势阱中粒子的波函数： 三维势阱中粒子的波函数：
8 n1π x n2π y n3π z sin sin sin ψ ( x , y, z ) = l1l2 l3 l1 l2 l3
三维势阱中粒子的能量： 三维势阱中粒子的能量：
n12 h 2π 2 n2 2 h 2π 2 n32 h 2π 2 E= + + 2 2 2 2ml1 2ml2 2ml3
移动48个 原子 原子到 表面 用 STM移动 个 Fe原子 到 Cu表面 移动 量子围栏” 上构成的 “量子围栏”
操纵原子已不是梦
中国科学院科学家的“原子书法” 中国科学院科学家的“原子书法”
在石墨表面上刻蚀 的出来最小的中国地图 纳米量级） （纳米量级）
在硅单晶表面上提 走硅原子形成宽度为 2 纳米的线条字样
2 nπ ψ ( x) = x sin a a
基态 n = 1
∫
0.75 a
0.25 a
ψ ( x ) dx
2
2 2π =∫ sin x ⋅ dx 0.25 a a a = 0.818
0.75 a
的微观粒子在宽度为a的一维无限深方 例2：设质量 的微观粒子在宽度为 的一维无限深方 ：设质量m的微观粒子在宽度为 势阱中运动， 势阱中运动，其波函数为
2 2 2
hπ 解 (1) En = n ( ) 2 2ma
2 2 2
(2)概率密度最大的位置 概率密度最大的位置 粒子出现在势阱内各点的概率密度为
2 2 3π ψ3 (x) = sin ( x) a a
2
ψ3 (x) 有极大值的充要条件是
2
d 2 2 3π ( sin ( x)) = 0 dx a a
a
x
隧道效应的本质：来源于微观粒子的波粒二相性。 隧道效应的本质：来源于微观粒子的波粒二相性。
经典
隧道效应
量子
隧道效应已在现代技术中得到广泛应用， 隧道效应已在现代技术中得到广泛应用，如隧 道二极管、约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。 道二极管、约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。 隧道结 第一台扫描隧道显微镜 是由美国IBM公司 第一台扫描隧道显微镜STM是由美国 扫描隧道显微镜 是由美国 公司 宾尼和罗雷尔在1982年发明的 年发明的， 的宾尼和罗雷尔在1982年发明的，它的显微分辨率 超过电子显微镜数百倍，达到0.1nm。 超过电子显微镜数百倍，达到 。 STM的发明者 的发明者 宾尼、罗雷尔和电 宾尼、罗雷尔和电 子显微镜的发明者 卢斯卡分享了 分享了1986 卢斯卡分享了1986 年诺贝尔物理奖。 年诺贝尔物理奖。 宾尼 罗雷尔
Ψn ( x, t) =ψn ( x)e
i − Ent h
i 2 nπ −h Ent sin xe = a a
Ψn ( x, t) = C1eh
驻波。 形成的驻波 形成的驻波。
i i − Ent 2 2 eikx − e−ikx −h Ent = sin kxe h = ( )e a a 2i i i ( px−Ent ) − ( px+Ent ) 1 2 h = [e −e h ] 2i a i i
hπ En = n = n2 E1 (n = 1,2L) 16E1 2ma 2
2 2 2
n 2 E1
ψ n ( x)
2 nπ x (n = 1，L) ψ n ( x) = sin 2， a a
0≤ x≤a
势阱中粒子处于各能级的 概率密度为 概率密度为：
9E1
2 2 nπ ψ n ( x ) = sin ( x ) a a
21.7
一维势阱 势垒 隧道效应
1、一维无限深势阱 (1) 物理背景 金属中的电子、原子中的电子、 金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质 子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点， 子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒 子的运动被限制在一定的空间范围内。 子的运动被限制在一定的空间范围内。
(a ) E ≠ 0 ∆
2 2
能量是量子化的
2
hπ En = n = n 2 E1 (n = 1, 2L) 2ma 2
考察相邻能级差
2
hπ E1 = 2ma 2
2 2
n = [(n + 1) − n ]E1 = (2n + 1) E1 ∝ 2 1/ a
2
∆E n = E n+1 − En
n ∆En = (2n + 1) E1 ∝ 2 1/ a
( px−Ent )
+ C2e
− ( px+Ent ) h
Ψn ( x, t) 是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而
③粒子在阱中的分布 经典力学的结果： 经典力学的结果：均匀分布 P ( x ) = 1/ a 的结果 a a ∫0 P ( x )dx = P ( x )∫0 dx = P ( x )a = 1 量子力学的结果： 量子力学的结果： P ( x ) = ψ ( x ) = 的结果
d 2 2 2 3π ( sin ( x)) < 0 2 dx a a a a 5a 解得 x = , , 6 2 6
ψ n ( x)
2
E3
E2
x =0
a2
a
E1
2、一维方势垒 、 一维方势垒
隧道效应
U(x)
0, x < 0, x > a U (x) = U0 , 0 ≤ x ≤ a
粒子的能量
U0
解方程、 (4) 解方程、定常数 在 0<x<a 区域， 区域，定态薛定谔方程为
令
d 2ψ ( x ) 2mE + 2 ψ ( x) = 0 2 dx h 2mE 2 k = 2 h d 2ψ ( x ) + k 2ψ ( x ) = 0 2 dx
d2x 2 +ω x = 0 2 dt
比较谐振动方程 特解为
2mE nπ k = 2 = h a
2
2
由边界条件， 由边界条件，波函数在 x = a 处连续
nπ k= a
h 2π 2 En = n2 2 2ma
能量是量子化的! 能量是量子化的!
n = 1,2L
n ≠ 0！
n = 0，相当于 = 0，这意味 ，相当于E ， 着阱中处处找不到粒子。 着阱中处处找不到粒子。
2
2 2 nπ sin ( x) a a
n = 1，粒子出现在阱底中部的 ， 概率最大，两端的概率为零。 概率最大，两端的概率为零。 ∂ 2 ψ 1( x) a =0 x= ∂x 2 当系统处于激发态， 当系统处于激发态，n = 2,3 … 粒子在阱中的分布出现起伏
随着量子数的增大（激发能级高），概率密度曲 随着量子数的增大（激发能级高），概率密度曲 ）， 线的峰值增多，同时峰值间距缩小。 线的峰值增多，同时峰值间距缩小。 很大时，相邻峰值间距很小， 当量子数 n 很大时，相邻峰值间距很小，几乎连 成一片，就非常接近均匀分布了。 成一片，就非常接近均匀分布了。
ψ ( x ) = C sin(kx + δ )
由边界条件， 处连续， 由边界条件，波函数在 x = 0 处连续， 有 因此 有 由于 所以
ψ ( x ) = C sin(kx + δ )
ψ (0) = C sin δ = 0
δ =0
ψ ( x ) = C sin kx
ψ (a ) = C sin ka = 0