n阶行列式的定义全
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解： t 9
定义 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称 为奇排列。
定义
把一个排列(i1i2 L is L it L in ) 中某两个数 is，it 的位置互 换，而其余数不动，得到另一个排列 (i1i2 L it L is L in )，
这样的变换称为一个对换，记为 is , it 。
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
当 a a a 时a ，该0方程组有唯一解
11 22
12 21
ba a b
x 1 22
12 2
a a a a 1
11 22
12 21
a b ba
x 11 2
1 21
a a a a 2
11 22
12 21
先看有多少个比 i1大的数排在 i1前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 i2 大的数排在 i2 前面，记为 t2;
……
最后看有多少个比 in 大的数排在 in 前面，记为 tn;
则此排列的逆序数为 t t1 t2 L tn
例1： 求排列 32514 的逆序数. 解： 因为3排在首位，故其逆序的个数为0；
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
其中，aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1； 在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0； 在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3； 在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。 易见所求排列的逆序数为
(32514) 0 1 0 3 1 5
练习： 求排列 453162 的逆序数.
§1 n阶行列式的定义
● 二阶与三阶行列式 ● 排列与逆序 ● n阶行列式的定义
一、二Βιβλιοθήκη Baidu与三阶行列式
1.二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得 (a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
323 D 2 -3 4
4 -5 2
解 按对角线法则，有
D 3(3) 2 2(5) 3 244 3 (3) 4 222 3 4 (5)
18 30 32 36 60 8
相减而得.
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
72
例2 求解方程
11 1 1 2 x 0. 6 4 x2
解 方程左端
D 2x2 6x 4 12 x2 4x
x2 2x 8,
由 x2 2x 8 0 得 x 2 或 x 4.
(i1i2 in )
二、排列与逆序
定义
由正整数1, 2, L组,成n 的一个没有重复数字的n 元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，
将两个相邻元素对换，称为相邻对换
定理1 任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。 即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。 证明： 第一种情形。先看相邻对换的情况 设排列为a1 L alabb1 L bm ，对换 a 与 b ，变为 a1 L albab1 L bm 显然，a1 L al，b1 L bm 这些元素的逆序数经过对换并不改变，
记为 。i1i2 L in
例如 4231 是一个4级排列 653412 是一个6级排列 1523 不是一个排列
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 在一个n级排列(i1i2 is it in )中，如果数 is it ， 则称数 is与 it构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
2.三阶行列式
定义 记
对于有9个元素 aij 排成3行3列的式子 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
的总数称为该排列的逆序数，记为 (i1i2 L in )
例如 在排列32514中， 逆序
32514
逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
计算排列的逆序数的方法
设 i1i2 L in 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规
定由小到大为标准次序。
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
定义 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称 为奇排列。
定义
把一个排列(i1i2 L is L it L in ) 中某两个数 is，it 的位置互 换，而其余数不动，得到另一个排列 (i1i2 L it L is L in )，
这样的变换称为一个对换，记为 is , it 。
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
当 a a a 时a ，该0方程组有唯一解
11 22
12 21
ba a b
x 1 22
12 2
a a a a 1
11 22
12 21
a b ba
x 11 2
1 21
a a a a 2
11 22
12 21
先看有多少个比 i1大的数排在 i1前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 i2 大的数排在 i2 前面，记为 t2;
……
最后看有多少个比 in 大的数排在 in 前面，记为 tn;
则此排列的逆序数为 t t1 t2 L tn
例1： 求排列 32514 的逆序数. 解： 因为3排在首位，故其逆序的个数为0；
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
其中，aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1； 在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0； 在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3； 在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。 易见所求排列的逆序数为
(32514) 0 1 0 3 1 5
练习： 求排列 453162 的逆序数.
§1 n阶行列式的定义
● 二阶与三阶行列式 ● 排列与逆序 ● n阶行列式的定义
一、二Βιβλιοθήκη Baidu与三阶行列式
1.二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得 (a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
323 D 2 -3 4
4 -5 2
解 按对角线法则，有
D 3(3) 2 2(5) 3 244 3 (3) 4 222 3 4 (5)
18 30 32 36 60 8
相减而得.
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
72
例2 求解方程
11 1 1 2 x 0. 6 4 x2
解 方程左端
D 2x2 6x 4 12 x2 4x
x2 2x 8,
由 x2 2x 8 0 得 x 2 或 x 4.
(i1i2 in )
二、排列与逆序
定义
由正整数1, 2, L组,成n 的一个没有重复数字的n 元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，
将两个相邻元素对换，称为相邻对换
定理1 任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。 即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。 证明： 第一种情形。先看相邻对换的情况 设排列为a1 L alabb1 L bm ，对换 a 与 b ，变为 a1 L albab1 L bm 显然，a1 L al，b1 L bm 这些元素的逆序数经过对换并不改变，
记为 。i1i2 L in
例如 4231 是一个4级排列 653412 是一个6级排列 1523 不是一个排列
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 在一个n级排列(i1i2 is it in )中，如果数 is it ， 则称数 is与 it构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
2.三阶行列式
定义 记
对于有9个元素 aij 排成3行3列的式子 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
的总数称为该排列的逆序数，记为 (i1i2 L in )
例如 在排列32514中， 逆序
32514
逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
计算排列的逆序数的方法
设 i1i2 L in 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规
定由小到大为标准次序。
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32