电流产生磁场的规律 毕奥—萨伐尔定理

μ0 Idl × r B= ∫L 3 4π r
μ0 I ×2 4πR
μ0 Idl μ0 IπR / 2 μ0 I = = ∫ 2 2 8R 4πR 1 / 4圆 4πR
O点磁场大小为
I
o
R
I
μ0 I μ0 I B= + 2πR 8 R
20-3题 解: (b) 毕奥-萨伐尔定律为
μ0 Idl × r B= ∫L 4π r3
根据叠加原理可知, 任意电流分布产生 磁场的散度都为零.
例题20-4-1 磁场沿轴.S 0是S在xy 面上的投影.证明S 0和S上的 磁通量相等. 证明: S 和S以及S’’构成了一个闭合 z 曲面, 称为S’. 由磁场的高斯定理得
S S’’ S0 B y x
∫∫S ' B ⋅ dS
= ( ∫∫S + ∫∫S0 + ∫∫S '' )B ⋅ dS = 0
其中用到
sin θ1 =
z1
2 z1 + a 2
和
sin θ 2 =
z2
2 z1 + a 2
2.圆形载流导线轴线上的磁场
x
电流元Idl在P点产生dB的z分量为
I O Idl R y
μ0 Idl dBz = cos α 2 4πr μ0 Idl μ0 Idl = R sin β = 4πr 2 4πr 3 P
P r α dB z O R y
2
β r
α dB
z
俯视图
μ0 IR μ0 IR μ0 IR Bz = ∫L dl = 2πR = 3 3 4πr 4πr 2( R 2 + z 2 ) 3 / 2
3.载流螺线管轴线上的磁场
I
R
螺线管上的dz段相当于流有Indz 的圆形电流,这些电流在o点产生的 磁场为 μ0 R 2 Indz , dB = 2 2 3/ 2 2( R + z )
北极
z
Idl
x
纬线
μ0 Idlk × r dB = 4πr 3 μ0 Idl k × (ix + jy + kz ) = 3 4πr μ0 Idl ( jx − iy ) = 3 4πr
赤道
y
∂dBx ∂dB y ∂dBz + ∇ ⋅ dB = + ∂y ∂z ∂x μ0 Idl ∂ ∂ x y = [ (− 3 ) + ( 3 )] 4π ∂x r ∂y r μ0 Idl 3 xy 3 xy = [− 5 + 5 ] = 0 4π r r
dΦ = B ⋅ dS = BdS cosθ
(1)dS是有向面元. (2)对于闭合曲面,面元方向一般定义 为由内向外.
B
二.磁场的高斯定理: 穿过任意闭合曲面的磁场通量为零.
∂Bx ∂B y ∂Bz + + )dxdydz = 0 ∫∫S B ⋅ dS = ∫∫∫V ( ∂x ∂y ∂z
S V
B
电流元的磁场的散度为零
可以看出上面一段对O点磁场的没有贡献, 下面一段和3/4半圆的 贡献都沿图中所示方向, 下面的水平线的贡献由20-1题结果得到, 大小为 ∞ μ0 Iadz μ0 IR z ∞ μ0 I B= ∫ = |0 = 2 2 3/ 2 4π R 2 R 2 + z 2 4πR 0 4π ( a + z ) 3/4圆的贡献为
μ0 Idl μ0 IπR μ0 I = = ∫半圆 4R 4πR 2 4πR 2
I
R
O点磁场大小为
o
I
B=
μ0 I
4a
作业:20-1, 20-2, 20-6.
2 z2 ∫z1
μ0 Iadz
2 3/ 2
z1 = −∞, z2 = ∞ 时,
B = μ0 I /( 2πa )
关于(20.3.7),(17.2.11)和(20.3.13)式中的积分
I=
z2 ∫z1
dz d ( z / a) 1 z2 = 2 ∫z (a 2 + z 2 )3 / 2 a 1 [1 + ( z / a ) 2 ]3 / 2
由于柱侧面的面元与B正交, 所以其上磁通量为零.
∫∫S0 B ⋅ dS = − ∫∫S B ⋅ dS
注意这里 S 0 的面元方向为
−k
, 也就是说
∫∫S0 B ⋅ dS = − ∫∫S0 B0 dS = −Φ 0
20-3题 解: (a) 毕奥-萨伐尔定律为
可以看出三段对O点磁场的贡献都沿 图中所示方向, 竖直的一段和水平的 一段的贡献可由(20.3.7)式得到, 大小为 1/4圆的贡献为
μ0 Idl × r μ0 Idl × e r = dB = 3 2 4πr 4πr
Idl 在场点P产生的磁场为
纬线
Idl
南极
赤道
μ0 Idl × r B = ∫L 3 4πr
电流元的磁场(写成一个显式) 北极
z
Idl
x
纬线
赤道
y
dB
电流元的磁场(俯视图)
μ0 Idlk × r dB = 3 4πr μ0 Idl k × (ix + jy + kz ) = 3 4πr μ0 Idl ( jx − iy ) = 3 4πr
条形磁铁的磁场
蹄形磁铁的磁感线 分布情况见图．
§20-1 磁感应强度 洛仑兹力 书中75页有一个关于磁感应强度的详细而严密的操作性定义. 就是从实验的角度来定义磁感应强度. 这个定义看起来有点费力. 看不懂不要紧. 因为对于磁场我们已经有了很多感性的认识. 其实 我觉得用在磁场中的磁针来定义磁感应强度更简单,直观. 没必要 搞这么复杂. 洛仑兹力公式:
dB
dB dB x
y
1. 载流直导线的磁场
z2 α 2
Idz
O
z
如图所示, 电流元 的磁场为
Idzk 在P点产生
α
z1
当
α1
a
B
P
μ0 Idz dB = sin α 2 4πr μ0 Iadz = 4π (a 2 + z 2 )3 / 2
从
的磁场为
z1 到 z2 段导线在P点产生
B= 4π (a + z ) μ0 I z2 z1 = ( − ) 4πa r2 r1
F = qv × B
B
v
(1)
v // B
时, 力为零,
F=0
.
F
电荷在磁场中的回旋运动
F⋅v = 0
(2)由于 , 洛仑兹力只改变 速度方向, 不改变大小. 而且 , 所以洛仑兹力不作功. 磁感应线: 总是闭合曲线, 无头无尾.
F⊥v
复习一下两个矢量的叉乘.
a×b = c
(1) 的大小为 ,是图中所示平行四边形的面积. (2) 垂直于 , 构成的平面, 既垂直与 , 又垂直于 .
R
μ0 Idl 3μ0 IπR / 2 3μ0 I = = ∫3 / 4圆 2 2 8πR 4πR 4πR
o
I
I
O点磁场大小为
μ 0 I 3μ 0 I B= + 4πR 8 R
20-3题 解: (c) 毕奥-萨伐尔定律为
μ0 Idl × r B= ∫L 4π r3
可以看出上下两段对O点 磁场的贡献彼此抵消, 只剩 下半圆的贡献沿图中 所示方向, 大小为
c
b
c c
absin θ b
θ
z
a
k j
bsin θ
对于
a
a
b
x, y , z
y
方向的单位矢量
i, j, k
,有
x
i
i × j = − j× i = k j × k = −k × j = i k × i = −i × k = j
§ 20-3 毕奥—萨伐尔定理 一.电流元
dl I
当电流在一细导线中流动时, 可定义线电流元:
Idl
α
dL
dl
当电流在导电面上流动时, 我们可以按 电流线把系统分成很多的条形的区域, 图中的两条蓝线就是两条电流线,橙色 区域宽为 , 面电流矢量的大小 为: | α |=| dI / dL |,它的电流元
dL
dS
dIdl = αdLdl = αdS
dl
J
当电流为一体分布时,考虑一截电流管. 它的体积为 ,它的 电流密度矢量为 , 电流元
令
z / a = tan θ ;
z1 / a = tan θ1 ; z2 / a = tan θ 2,得到
1 tan θ 2 1 θ2 d (tan θ ) I= 2 ∫ = 2 ∫ cosθdθ 2 3/ 2 a tan θ1 [1 + (tan θ ) ] a θ1 1 1 z2 z1 ] = 2 (sin θ 2 − sin θ1 ) = 2 [ − 2 2 a a z2 + a 2 z1 + a 2
dV = dldS J dIdl = JdSdl = JdV
二. 毕奥—萨伐尔定律 2.电流元的磁场. 线电流元
dl
I
P
r
北极
其中 μ0 = 4π ×10 −7 T ⋅ m ⋅ A−1 ,称为真空 磁导率. (1)也是平方反比定律. (2)以电流元 为球心,r为半径的球面上,B的大小是 不同的.两极处B=0. 赤道上,B最大. 球面上各点的B沿纬线的切线方向. (3)满足叠加原理.电流为线分布时,
磁场起源: (1)电流. (2)基本粒子的自旋磁矩.
电流产生磁场的规律: 毕奥—萨伐尔定理 1.无限长直导线的磁场. 2.无限长螺线管的磁场. 3.磁场的高斯定理.
第二十章 稳恒电流的磁场 §20-1 基本磁现象 一.永磁体 (1)磁性:能吸引铁,钴,镍等金属. (2)有N,S极. (3)同性极相斥,异性极相吸. (4)没有磁单极. 二.磁场的来源 (1)电流产生磁场. (2) 电子有自旋, 有磁矩. 三. 磁场对运动电荷的作用力 (1)磁铁对载流导线有作用力. (2)两平行载流直导线,电流方向相同时,相互吸引; 反之, 则相互 排斥. (3) 阴极射线流在磁场中偏转.
dz
o r
方向沿z轴. 总的磁感应强度为
R z2 z
z1Βιβλιοθήκη Baidu
z
B = ∫zz2
1
μ0 R 2 Indz
2( R + z )
2 2 3/ 2
.
积分得到
B=
μ0 R 2 In 1
2 R
( 2
z2
2 R 2 + z2
−
z1
2 R 2 + z1
).
§20-4 磁通量 磁场的高斯定理 一.定义磁场的通量
dS
θ
en