微分方程的解

分离变量方程的解法:
dy f (x)g( y) dx
分离变量:
dy f (x)dx g( y)
两边积分:

dy g( y)


f
(x)dx
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习:
解: 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
6.2.2 齐次方程
y y tan y . xx
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分

cos u sin u
d
u


dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
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6.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的基本概念
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6.1.1 引出微分方程的两个实例
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
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6.2.3 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 , 由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0

A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得

du
(u) u


dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
例1. 解微分方程 y y tan y .
解:
令u

y,
则y

u
x
x u,
x
代入原方程得
x
u x u u tan u
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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例2. 解初值问题 xydx ( x2 1) dy 0 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y

1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
初始条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
x Acos k t
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6.2 常见微分方程的解法
6.2.1 可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy f (x)g( y) dx
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程
dy f (x)dx g( y)
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dy dx

2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2

பைடு நூலகம்.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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例1. 验证函数 是微分方程
例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 ,令 u y , 则有
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u


dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
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6.1.2 微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程