高中数学优质课课件：函数的单调性与导数优质课
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函数的单调性与导数 课件
【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调 递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍 去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成
高二数学函数的单调性与导数PPT教学课件
第三章 导数及其应用 y
3.3.1 函数的单调性与导数
o
x
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
图象是单调上升的.
y10
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
y2x0
图象是单调上升的.
y3x20 (当 x0 时 )
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
当 f(x) >0，
即 x117或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
当 f(x) <0，
即 117x1Biblioteka 7时， y22函数单调递减；
图象见右图。
o
x
练习1:确定下列函数的单调区间:
(1) f(x)=x2-2x+4 x<1时，函数单调递减， x>1时，函数单调递增。
(2) f(x)=3x-x3 x<-1或x>1时，函数单调递减， -1<x<1时，函数单调递增。
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： f(x)=2x-2=2(x-1)>0
当 f(x)>0，即x>1时，函数单调递增；
当 f(x)<0，即x<1时， 函数单调递减；
y
f (x) x2 2x 3
图象见右图。
当 1<x< 4时，
y
o1
解：由题意可知
yf(x)
当1<x<4时， f(x)为增函数 当x>4,或x<1时，
3.3.1 函数的单调性与导数
o
x
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
图象是单调上升的.
y10
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
y2x0
图象是单调上升的.
y3x20 (当 x0 时 )
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
当 f(x) >0，
即 x117或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
当 f(x) <0，
即 117x1Biblioteka 7时， y22函数单调递减；
图象见右图。
o
x
练习1:确定下列函数的单调区间:
(1) f(x)=x2-2x+4 x<1时，函数单调递减， x>1时，函数单调递增。
(2) f(x)=3x-x3 x<-1或x>1时，函数单调递减， -1<x<1时，函数单调递增。
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： f(x)=2x-2=2(x-1)>0
当 f(x)>0，即x>1时，函数单调递增；
当 f(x)<0，即x<1时， 函数单调递减；
y
f (x) x2 2x 3
图象见右图。
当 1<x< 4时，
y
o1
解：由题意可知
yf(x)
当1<x<4时， f(x)为增函数 当x>4,或x<1时，
高二数学-函数的单调性与导数公开课优秀课件(经典、值得收藏)
二、题型探究
3.利用导数求参数的取值范围
例.若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)， 且在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝4x＋1x－a≥0 在(0，＋∞)上恒成立. ∴a≤4x＋1x在(0，＋∞)上恒成立.
单调性 割线斜率的符号 切线斜率的符号 导数
一、知识讲解：
函数单调性与导函数正负的关系
单调性 割线斜率的符号 切线斜率的符号 导数
观察下面函数的图象，探讨单调性与其导函数正负的关系：
yx
y y x3
y y 1
y
y
x
ya
x o
x o
x o
x o
导数值 >0 <0
切线的斜率 >0 <0
倾斜角 锐角 钝角
曲线的变化趋势 函数的单调性
上升
递增
下降
递减
一般地，设函数y f (x),在区间（a,b）上，思考： 若f x(x) (a0,，b)则, ff（( xx）) 在0该区函间数上f递( x增)在；区间(fa(,xb))为 0增是函f（数x）为增函数 若函f (数x)f(0x，)在则区 f（间x）(a在, b该)为区增间函上递数减。f ( x)的什0恒么成条立件(不？恒等于0)
二、题型探究
2.函数图象与导数图象的关系 (2)如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是
解析: 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A.
二、题型探究
2.函数图象与导数图象的关系
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x) 在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0， 则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性. (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.
课件人教高中数学选修函数的单调性与导数PPT课件_优秀版
如f(x)=x3,x∈(-1,1)
画出函数
图象的大致形状
函数单调性与导数正负的关系
已知 ，函数
在区间
如果在某个区间内恒有
,则 为?
如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，如何表示单调区间？
画出函数
图象的大致形状
yx3 3x?
定义法
你是如何去判断函数 y x 2 的单调性？ 图象法
如图：
函数在 ( , 0)上为_减___函数，
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
类型二 利用导数求函数的单调区间
2
求函数 y3x2 3x 的单调区间.
解： y'6x3
令 y'0 得 x1, 令 y'0 得 x1
2
2
y3x23x的单调递增区间为 ( 1 , )
2
单调递减区间为 ( , 1 )
2
变1：求函数 y3x33x2 的单调区间.
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
y
y x2
在 (0, 上) 为__增__函数.
o
x
函数及图象
单调性
导数的正负
y
f (x) x 在(,)上
o
x
递增
y
f (x)x 在(,)上
o
x
递减
f '(x) 10 f '(x)10
y
f (x) x2
在 (,0)上 递 减f '(x)2x0
o
x
在 (0,)上 递 增f '(x)2x0
在 某 个 区 间 (a,b)内 ,
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
高中数学3.3.1函数的单调性与导数 (1)优秀课件
当 f (x) >0，
即 x1 17或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
当 f (x) <0，
即 1 17x1 17 时， y
2
2
函数单调递减；
图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法〞 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
答案 解析
类型二 利用导数求函数的单调区间 例3 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间. 解答
反思与感悟
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤： (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数； (4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
y2x0
图象是单调上升的.
y3x20(当 x0时 )
在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调下降的.
y
1 x2
0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f(x)0 , 则f (x)为增函数；
注意： 应正确理解 “ 某个区间 〞 的含义， 它必 是定义域内的某个区间。
1．应用导数求函数的单调区间
根底训练：
(选填:“增〞 ,“减〞 ,“既不是增函数,也不是减函数〞)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为____增______函数。 (2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为__增___函数，
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
函数的单调性与导数优秀ppt课件
①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
《导数与函数的单调性》示范公开课教学课件
点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
《函数单调性与导数》课件
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单
高二数学函数的单调性与导数授课PPT
1.3.1 函数的单调性与导数
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
总结: 该函数在区间 （－∞，2）上各点处 切线斜率小于0,即导 数为负，函数递减
在区间（2，+∞） 上各点处切线斜率
x 大于0,即导数为正，
函数递增
而当x=2时切线斜 率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.
3令f x 0,求根 4画决定f x正负的部分函数图象， 在定义域内判断根两侧f x的正负
5 写出单调区间 不用“U”
二、函数单调性与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内 (1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得_快____,函数 的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； (2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得__慢___,函数 的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
一、函数的单调性与其导数正负的关系
在定义域的某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
单调性：定义域、导数正负
例1、设 f x是 函数 的f x导 函数， y 的 f图象x 如
例4、若函数f x 2x a 在1,上单增，求a的取值范围
x 1
解：
f
x
2x 1 2x x 12
a
2a
x 12 0
a 2
又 当a 2时，f x 2
a ,2
பைடு நூலகம்
右图所示,则 y f的x图 象最有可能的是(
y
y f (x)
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
总结: 该函数在区间 （－∞，2）上各点处 切线斜率小于0,即导 数为负，函数递减
在区间（2，+∞） 上各点处切线斜率
x 大于0,即导数为正，
函数递增
而当x=2时切线斜 率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.
3令f x 0,求根 4画决定f x正负的部分函数图象， 在定义域内判断根两侧f x的正负
5 写出单调区间 不用“U”
二、函数单调性与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内 (1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得_快____,函数 的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； (2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得__慢___,函数 的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
一、函数的单调性与其导数正负的关系
在定义域的某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
单调性：定义域、导数正负
例1、设 f x是 函数 的f x导 函数， y 的 f图象x 如
例4、若函数f x 2x a 在1,上单增，求a的取值范围
x 1
解：
f
x
2x 1 2x x 12
a
2a
x 12 0
a 2
又 当a 2时，f x 2
a ,2
பைடு நூலகம்
右图所示,则 y f的x图 象最有可能的是(
y
y f (x)
函数的单调性与导数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
解: (3) 因为 f (x) sin x x, x (0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
所以, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, ) 上单调递减.
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1. 解: (1) 因为 f (x) x3 3x , 所以
f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0. 所以, 函数 f (x) x3 3x 在 x R 上单调递增.
(2) 因为 f (x) x2 2x 3, 所以
1.3.1 函数旳单调性与导数
一、复习回忆：基本初等函数旳导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）.三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
（4）.对数函数旳导数:
(1) (ln x) 1 . x
本题用到一种主要旳转化：
m≥f(x)恒成立 m f(x)max m f(x)恒成立 m f(x)min
例3：方程根旳问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一种根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0 方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0.
内旳图象平缓.
练习 2.讨论二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 旳单调区间.
《函数的单调性与导数》人教版高中数学选修PPT精品课件
;
③解不等式 f ( x) 解不等式f ( x)
>0得f(x)的单调递增区间; <0得f(x)的单调递减区间.
人教版高中数学选修2-2
讲解人： 时间：
感谢你的聆听
第1章 导数及其应用
h(t) = -4.9t2 + 6.5t + 10
的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最
高点到入水这两段时间内，随着时间的变化，运动员离水面的高度发生什么变化？
h
M
h f (t)
o
m
t
新知探究
通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起跳到最高点，离水面高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应的，
）
A.a 1 3
B.a 1
C.a 0
D.a 0
课堂练习
D 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f’(x)的图象可能是（
(A)
(B)
(C)
(D)
课堂练习
已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，1则k=____.
新知探究
例4 如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器 中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.
1 h
2 h
3 h
o A t
o B t
o C t
图1.3 6
4 h
o D t
新知探究
解 1 → B, 2 → A, 3 → D, 4 → C.
课前导入
单调函数的图象特征
G=(a,
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
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感悟：数学来源于生活
人生犹如过山车，站在人生的每个瞬间的点上，我们都能 向上看，人生轨迹就会是持续上升趋势；相反，如果我们被负 面情绪萦绕，我们就会走下坡路.
只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前 途会一片光明！
课后作业
必做题：教材P11 习题1.1A组 2、3 题; 选做题：
结合所学知识，举几个函数实例，比较 定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.
安阳市实验中学 张丽园
问题分析
判断函数 f ( x) ex x 在 (0,)上的单调性.
y
y
x
f ( x) ex x
x
f ( x) ex 1
合作探究
（1） y x （2）
y x2
1 y x
（3） y x
3
（4）
（1）画出函数图像; （2）求导函数并画出图象;
问题解决
求出函数 f ( x) ex x 的单调区间. 解: 函数的定义域为 R
f ( x) ex x
f ( x) ex 1 令 f ( x) 0， 得 x0
如何运用导数 知识解决？
令 f ( x) 0， 得 xБайду номын сангаас0
f ( x)单调递增区间为 (0,)
单调递减区间为 (,0 ） .
运用新知
用导数求单调区间的方法：
3 2
例 ：求出函数 f ( x) x 3x 的单调区间，画出函数的大致图象. 解: 函数的定义域为 R
f ( x) x3 3x 2
f ( x) 3x 2 6x 令 f ( x) 0， 得 x 0或x 2
函数 f ( x )在区间 ( a, b)内是 减函数. 任意 x1 , x2 (a, b) , 当 x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ；
导数 （瞬时变化率）
y 0 即： x
（函数的平均变化率）
普通高中课程标准实验教科书（人教A版选修1-1）
3.3.1
函数的单调性与导数
（3）观察函数单调性与导数正负的关系.
探索新知
函数及图象 导函数及图象 导数的正负
f '( x ) 0
函数的单调性
在R上单增
f '( x ) 0 在- ， 0 内单减
f '( x ) 0
f ( x) 0
f '( x ) 0 f '( x ) 0
在R上单增
在（-， 0）内单减
欢迎同学们！
问题引入
判断函数 f ( x) ex x 在 (0,) 上的单调性. 解: x1 x2 ; 任意 x1 , x2 (0,) , 且 如何运用已有
知识解决？
都有 f ( x1 ) f ( x2 )
(ex1 x1 ) (ex2 x2 )
(ex1 ex2 ) ( x2 x1 )
方法归纳
利用导数求函数 单调区间的步骤？
（1）确定函数 y f ( x ) 的定义域；
（2）求导函数 f '( x ) ； （3）解不等式 f '( x ) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式 f '( x ) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．
回归生活
过山车
体会数学
谢谢观看
欢迎指导
令 f ( x) 0， 得0 x 2
f ( x)单调递增区间为 （ ,0） ,（2,） ;
单调递减区间为 ( 0, 2 ） .
运用新知
3 2 例 ：求出函数 f ( x) x 3x 的单调区间，画出函数的大致图象.
y
x
跟踪训练
练习 ：求函数 f ( x) x ln x 的单调区间.
在（0，+）内单减
归纳总结
在某个区间 (a, b) 内,
y
y=f(x)
y
y=f(x) b
f ( x) 0
o
a
x
o a
f ( x) 0
b
x
结论总结
函数的单调性与其导函数正负的关系：
在某个区间 ( a, b)内， 若 f ( x) 0 , 则 y f ( x) 在 ( a, b)内单调递增； 若 f ( x) 0 ，则 y f ( x) 在 ( a, b) 内单调递减； 区间必须是在定义域内的某个区间. f ( x) 0 若恒有
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x )在区间 (a, b) 内是 增函数. 任意 x1 , x2 (a, b) , 当 x1 x2时，都有
f ( x1 ) f ( x2 )
；
f ( x2 ) f ( x1 ) 即证： x2 x1
0
即：
y 0 x
理论分析
函数单调性定义:
人生犹如过山车，站在人生的每个瞬间的点上，我们都能 向上看，人生轨迹就会是持续上升趋势；相反，如果我们被负 面情绪萦绕，我们就会走下坡路.
只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前 途会一片光明！
课后作业
必做题：教材P11 习题1.1A组 2、3 题; 选做题：
结合所学知识，举几个函数实例，比较 定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.
安阳市实验中学 张丽园
问题分析
判断函数 f ( x) ex x 在 (0,)上的单调性.
y
y
x
f ( x) ex x
x
f ( x) ex 1
合作探究
（1） y x （2）
y x2
1 y x
（3） y x
3
（4）
（1）画出函数图像; （2）求导函数并画出图象;
问题解决
求出函数 f ( x) ex x 的单调区间. 解: 函数的定义域为 R
f ( x) ex x
f ( x) ex 1 令 f ( x) 0， 得 x0
如何运用导数 知识解决？
令 f ( x) 0， 得 xБайду номын сангаас0
f ( x)单调递增区间为 (0,)
单调递减区间为 (,0 ） .
运用新知
用导数求单调区间的方法：
3 2
例 ：求出函数 f ( x) x 3x 的单调区间，画出函数的大致图象. 解: 函数的定义域为 R
f ( x) x3 3x 2
f ( x) 3x 2 6x 令 f ( x) 0， 得 x 0或x 2
函数 f ( x )在区间 ( a, b)内是 减函数. 任意 x1 , x2 (a, b) , 当 x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ；
导数 （瞬时变化率）
y 0 即： x
（函数的平均变化率）
普通高中课程标准实验教科书（人教A版选修1-1）
3.3.1
函数的单调性与导数
（3）观察函数单调性与导数正负的关系.
探索新知
函数及图象 导函数及图象 导数的正负
f '( x ) 0
函数的单调性
在R上单增
f '( x ) 0 在- ， 0 内单减
f '( x ) 0
f ( x) 0
f '( x ) 0 f '( x ) 0
在R上单增
在（-， 0）内单减
欢迎同学们！
问题引入
判断函数 f ( x) ex x 在 (0,) 上的单调性. 解: x1 x2 ; 任意 x1 , x2 (0,) , 且 如何运用已有
知识解决？
都有 f ( x1 ) f ( x2 )
(ex1 x1 ) (ex2 x2 )
(ex1 ex2 ) ( x2 x1 )
方法归纳
利用导数求函数 单调区间的步骤？
（1）确定函数 y f ( x ) 的定义域；
（2）求导函数 f '( x ) ； （3）解不等式 f '( x ) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式 f '( x ) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．
回归生活
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令 f ( x) 0， 得0 x 2
f ( x)单调递增区间为 （ ,0） ,（2,） ;
单调递减区间为 ( 0, 2 ） .
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3 2 例 ：求出函数 f ( x) x 3x 的单调区间，画出函数的大致图象.
y
x
跟踪训练
练习 ：求函数 f ( x) x ln x 的单调区间.
在（0，+）内单减
归纳总结
在某个区间 (a, b) 内,
y
y=f(x)
y
y=f(x) b
f ( x) 0
o
a
x
o a
f ( x) 0
b
x
结论总结
函数的单调性与其导函数正负的关系：
在某个区间 ( a, b)内， 若 f ( x) 0 , 则 y f ( x) 在 ( a, b)内单调递增； 若 f ( x) 0 ，则 y f ( x) 在 ( a, b) 内单调递减； 区间必须是在定义域内的某个区间. f ( x) 0 若恒有
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x )在区间 (a, b) 内是 增函数. 任意 x1 , x2 (a, b) , 当 x1 x2时，都有
f ( x1 ) f ( x2 )
；
f ( x2 ) f ( x1 ) 即证： x2 x1
0
即：
y 0 x
理论分析
函数单调性定义: