安徽大学量子力学试题汇编汇总期末复习资料QM15-1

一、简答题(1——8题,每题5分,共40分)

1. 用球坐标表示,粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。 解: ()⎰Ω=a

dr r r d P 02

2

,,ϕθψ。

2. 写出三维无限深势阱

⎩

⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c

z b y a x z y x V

中粒子的能级和波函数。 解:能量本征值和本征波函数为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=

+

+2

22

2222

22c n b n a n m

E z y

x n n n z

y x π ,

,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩

⎪

⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x c

z

n b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ

3. 量子力学中,一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。 解:有两个条件:0],[,0==∂∂H Q t

Q

。

4. ）

（z L L ,2

的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解:(

)

z L L ,2

的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y 。

),(),(,

),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。

5. 量子力学中,体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开:

∑=n

n n x c x )()(ψψ,

写出展开式系数n c 的表达式。 解: ()dx x x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*

ψψψψ。

6. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2,2,,

r r s r z ψψψ,写出表示电子自旋向上、位置在r

处的几率密度表达式,以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解:电子自旋向上(2 =z s )、位置在r

处的几率密度为

()2

2/,

r ψ；

电子自旋向下(2 -=z s )的几率为()

2

32/,⎰

-

r r d ψ。

7. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

解:在强磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条(偶数)的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中,它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

8. 对于阶梯形方势场

⎩⎨

⎧><=a

x V a x V x V ,

,

)(21 ,

如果(12V V -)有限,则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？ 解:定态波函数)(x ψ连续；其一阶导数 )(x ψ'也连续。

二、计算证明题

9. 设粒子处于一维无限深势阱

()⎩⎨

⎧><∞<<=a

x x a x x V 或

0,

0,

中,求处于定态()x n ψ中的粒子位置x 的平均值。(10分)

解: ()⎪⎩

⎪

⎨⎧><<<=a x x a x a

x

n a x n 或0,00,sin 2πψ , 2

sin 202a xdx a x n a x a

==⎰π 。

10. 已知厄米算符A 、B 互相反对易:{}0,=+=BA AB B A

；b 是算符B 的本征态:b b b B =,本征值0≠b

。求在态b 中,算符A 的平均值。(15分) 解:

{},0A B AB BA =+=,

{}0,2A B b b AB b b BA b b b A b ∴==+=。 但0≠b ,从而有

0A b A b ==,

即在态b 中,算符A 的平均值为零。

11. 氢原子处于状态),()(2

3

),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ-+=

Y r R Y r R r 。试求: (1)能量算符H 、角动量平方算符2

L 和角动量z 分量z L 的可能取值； (2)上述三个量取各可能值的几率； (3)上述三个量的平均值。 (15分) 解:氢原子波函数为),,(ϕθψr nlm ,能量2

24

2n e E n μ-

=,2L 的本征值为2

)1( +l l ,z L 的

本征值为 m 。本题中,氢原子所处的状态为210ψ和121-ψ二本征态的叠加。在这二本征态中,0,1,2===m l n 或1-。

故H 只可能取值2

4

2

2

4

282

2

e e E μμ-

=⋅-

=,出现的几率为1(因二本征态对应的能量同为

2E ),平均值2

4

28 e E H μ-

==；

2L 只可能取值222)11(1 =+,出现的几率为1,平均值222 =L ；

z L 的可能取值有两个:0、 -,出现0的几率为41212

=⎪⎭

⎫

⎝⎛,出现 -的几率为

43

232

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛,平均值() 4343410-=⨯-+⨯=z L 。

12. 质量为μ的粒子受微扰后,在一维势场

⎪⎩⎪⎨⎧

><∞≤≤=a

x x a x a

x A x V ,0,0,

cos )(π

中运动。

(1)题中应当把什么看作微扰势？

(2)写出未受微扰时的能级和波函数；

(3)用微扰论计算基态能量到二级近似,其中2

2

210a A μπ =。

解:(1)应当把

⎪⎩⎪⎨⎧

><≤≤='a

x x a x a

x A H ,0,00,cos π

看作微扰势。

(2)未受微扰时的波函数和能级分别为

,3,2,1,2,

sin 2)(2

222)

0()0(===n a

n E

a

x

n a x n

n

μππψ

(3)未受微扰时的基态波函数和能量分别为

2

2

2)

0(1

)0(1

2,sin 2)(a E

a

x a x μππψ

=

=

, 基态能量的一级修正: a x d a x A dx a x A a x a H E

a

a

πππππsin sin 2cos sin 20

20211)1(1

⎰⎰=⋅='= 0sin 320

3==a

a x

A ππ,