2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(七)数学

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（七）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知z的共轭复数为
10
2
3
i
i
-
+
（其中i为虚数单位），则z=（）
A. 33
B. 32
C. 23
D. 2【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的运算法则化复数z为一般形式，然后由模的定义计算模．
【详解】根据题意
()
()()
()
103103
10
22233 33310
i i
z i i i i
i i i
--
=-=-=-=-++-
，
则33z i =+，于是223332z =+=. 故选：B
【点睛】本题以复数的简单运算为素材，目的是考查考生对复数运算法则的掌握情况和复数模的计算，本题计算量小，属于基础题．
2. 设集合()(){}
10A x x x a =--≥，{}
1B x x a =≥-，若A B R =，则实数a 的取值范
围是（ ）
A. (),1-∞
B. (],2-∞
C. 1,
D. [)2,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意先简化A ，而A 含参数a ，故对参数a 进行分类讨论，进一步得到答案. 【详解】集合()(){}
10A x x x a =--≥, ①当1a >时，{A x x a =≥或1}x ≤， ∵A
B R =，结合数轴作图知11a -≤，
即得12a <≤； ②当1a =时，显然A
B R =；
③当1a <时，{1A x x =≥或}x a ≤，结合数轴作图知1a a -<，
此时A
B R =恒成立，
由①②③知2a ≤. 故选：B .
【点睛】本题考查是集合相关概念和分类讨论思想，命题体现了直观想象、数学基本运算的核心素养，属于比较简单的题型. 3. 已知函数())
()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫
=+++= ⎪⎝⎭
则
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】D 【解析】
试题分析：设lg 2a =，则1
lg
ln 22
a =-=-，()()(
)
2ln 1931f a f a a a +-=+-++
()()
222ln 1931ln 1992ln122a a a a ⎛⎫+-++=+-+=+= ⎪⎝⎭
，所以
()1lg 2lg 22f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，所以答案为D.
考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.
4. 已知在正四棱锥的底面边长为2a ，其左视图如图所示，当主视图的面积最大时，该四棱锥的体积和表面积分别为（ ）
A.
2
3
，8 B.
43
，2 C.
82
3
，882+ D.
53
3
，962+【答案】C 【解析】 分析】
根据左视图准确还原几何体，求出a 和h 的关系，再确定出主视图的形状，表示出主视图的面积，由基本不等式求出最大值以及对应的a 和h 的值，代入棱锥的体积公式和表面积公式求解． 【详解】由题意画出正四棱锥如下图，其左视图与主视图应完全相同，其平面图形为等腰三角形，其腰长均为2，底边长为2AB a =，
设四棱锥的高为PO h =，则四棱锥的斜高2PE =，所以22224a h +==，
于是主视图的面积为：2212222
a h S a h ah +=⋅⋅=≤=，
当且仅当2a h ==时，S 最大，
此时该四棱锥体积为()2
18223V a h =
⋅⋅=
， 其表面积为()2
1
24228822
S a a =+⋅⋅⋅=+表面积. 故选：C .
【点睛】本题以正四棱锥为背景考查对三视图的基础知识和基本技能的掌握与运用，考查空间想象和运算求解能力，考查通过对三视图的观察分析，挖掘数量关系及不等式模型，体现了数学转化、数学应用意识、数学思维的严密性和谐美学思想.，符合新课标的改革目标方向.，属于常考题.
5. 已知函数()()1310f x m x =-+（m 为常数），若数列{}(){}()*
n a f n n =∈N ，且1
2a
=，
则数列{}n a 前100项和为（ ） A. 78800 B. 78800-
C. 39400
D. 39400-
【答案】D 【解析】 【分析】
首先要将条件转换熟知的等差数列，由1a 代入求得m 的值，从而求得等差数列的通项公式，然后利用求和公式求得n S ，代入100即可求得结果.
【详解】∵()()11131102a f m ==-⨯+=，解得3m =，所以810n a n =-+，进而
()12462
n n n a a S n n +=
=-+.于是10039400S =-，
故选：D .
【点睛】本题以一次函数为载体，考查的是等差数列前n 项和公式的应用，解决此题这考查了
考生的逻辑思维能力和运算求解能力.
6. 已知变量x 、y 相对应的一组数据为(10，1.5)，(11，3.2)，(11，8.3)，(12.5，14)，(13，5)，变量x '、y '相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，用1r 表示变量x 与y 之间的线性相关系数，用2r 表示变量x '之y '间的线性相关系数，则有（ ） A. 210r r <<
B. 210r r <<
C. 210r r <<
D.
120r r <<
【答案】C 【解析】 【分析】
在回归线性方程应用中易知回归系数ˆr b
=ˆb
为回归方程的斜率，2
x s 、2
y s 分别为变量x 、y 的方差），从二组数据中看出数1ˆ0b >，2ˆ0b <，故10r >， 20r <，最终得到答案. 【详解】∵从第一组数据中看出数1ˆ0b >，故10r >； 从第二组数据中看出数2
ˆ0b <，故20r <； 于是有210r r <<， ∴210r r <<. 故选：C.
【点睛】命题人通过给出的两组数据为依托，考查考生对数据的观察和分析能力，然而作出变量相关关系判断，这体现了考生对数学的应用，数学推理的核心素养，难度中等.
7. 已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2
sin 2cos 1cos 2αα
α
-=+（ ）
A. 56
-
B. 75
-
C. 2-
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
利用两角差的正切公式求出tan tan 4
4ππαα⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用二倍角公式以及同角三角函
数的基本关系即可求解. 【详解】∵1
tan 42
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭， ∴1tan tan 11442tan tan 14
43111tan tan 244ππαππααππα⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-=
==- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⨯++ ⎪⎝⎭
， 则222
sin 2cos 2sin cos cos 2tan 1
1cos 22cos 2αααααααα---==+ 1115
tan 2326
α=-
=--=-. 故选：A
【点睛】本题以三角正切函数值为依托，考查了正切的两角差公式和倍角公式的运用，此题以考生最熟悉的知识呈现，面向考生，试题注重基础，针对性强，同时考查了考生的运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题.
8. 设x ，y R ∈，对双元函数(),f x y 定义为：①(),f x x x =；②()(),,f kx ky kf x y =；③()()()12121122,,,f x x y y f x y f x y ++=+；④()2,,3
3y x y f x y f +⎛⎫
= ⎪⎝⎭.则()1,3f 的值为（ ） A. 1 B. 2
C.
5
4
D.
73
【答案】C 【解析】 【分析】
由①得()1,11f =，()3,33f =.当1x =且3y =时，先根据④，再根据②得
()()1
1,36,43f f =
，进而先由③再由①及④求得()()1016,41,333
f f =+，代入可得选项. 【详解】由①(),f x x x =；可得()1,11f =，()3,33f =.
当1x =且3y =时，()()641
1,3,
6,4333
f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭☆， 又()()()()()6,433,133,13,33,13f f f f f =++=+=+
()2131241,3,32,4333333f f f ⨯+⎛⎫⎛⎫
=+=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()()()1111,1331,11,3333f f f =
+++=++⎡⎤⎣⎦ ()()11111,331,33333
f f =++=++⎡⎤⎣⎦. 即()()101
6,41,333
f f =
+.★ 将★代入☆得()()11011,31,3333f f ⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦
整理得，()8101,399f =，解得()51,34f = 故选：C.
【点睛】本题是以新定义形式给出的创新背景题，其构思新颖巧妙，设制本题的目的是要求学生在阅读理解的基础上根据题中提供的信息，建立合理的数学模型，联系所学的知识方法实现信息的迁移转化，给学生以生考熟的展示机会，借引入新的概念进行抽象与概括，对所学知识的更深度的理解，揭示对新知识的本质认识.本题是理性思维的具体体现，应引起各位学生的足够重视.属于中档题.
9. 已知点F 是双曲线22
221x y a b
-=，()0,0a b >>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F
且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A. ()1,2
B.
C.
)
D. (
【答案】A 【解析】 【分析】
求出通径长2
2b AB a
=，由题意可得4AEF BEF π∠=∠<，直角三角形AFE 中，
2
tan 1
b a AEF a c
∠=<+，解不等式即可.
【详解】∵直线AB 过焦点(),0F c -且垂直于x 轴，
即通径长22b AB a =，显然2
b FA a
=，
即2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，2,b B c a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，易知右顶点(),0E a ，
而ABE △是锐角三角形，故2
AEB π
∠<.
根据对称性即4
AEF BEF π
∠=∠<
，
在直角三角形AFE 中，2
tan 1b a AEF a c ∠=<+2
b a
c a
⇒<+，
2222020c ac a e e ⇒--<⇒--<，解得12e <<.
故选：A.
【点睛】本题主要目的考查的是考生应用双曲线相关知识解决问题的能力及解题过程中的逻辑推理能力和运算求解能力和综合应用知识的能力，试题以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了研究空间，突出了选拔功能，属于基础题.
10. 已知关于x 的一元二次函数()2
41f x ax bx =-+，其中实数a ，b 满足8000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩
，
则函数()y f x =在区间[]
1,+∞上是增函数的概率是（ ） A.
14
B.
13
C.
12
D.
23
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()2
2
2
24411b b f x ax bx a x a a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝
⎭，得到区间[)1,+∞上是增函数的充要条件
为
21b
a ≤，再根据实数a ，
b 满足8000
a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩
，画出平面区域，分别求出其面积，然后代入几何概型的概率公式求解.
【详解】∵()2
2
2
24411b b f x ax bx a x a a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝
⎭， 在区间[)1,+∞上是增函数的充要条件为
21b a
≤，即()02a
b a ≤>，
又实数a ，b 满足80
00a b a b +-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩
的平面区域如图所示（直角三角形OAB ），
问题等价于向区域直角三角形OAB 中任意投掷点，点落在区域OAC （其中点C 的坐标是
168,33⎛⎫
⎪⎝⎭
中的概率， 即所求概率为188
1231
3882
ρ⨯⨯=
=⨯⨯， 故选：B .
【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法以及二次函数及二元一次不等式，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
11. 定义()
,d a b a b =-为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b 满足下列条件：(ⅰ)1b =；(ⅱ)a b ≠；(ⅲ)对于任意的t R ∈，恒有()()
,,d a tb d a b ≥，现给出下面结论的编
号，
①.a b ⊥②.()
b a b ⊥-③.()a a b ⊥-④.1a ≥⑤.()()
a b a b +⊥- 则以上正确的编号为（ ） A. ①③ B. ②④
C. ③④
D. ①⑤
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得(
)()
2
2
a tb
a b -≥-，转化为()2
2210t ta b a b -⋅+⋅-≥对于任意的t R ∈恒成
立，即0∆≤，整理得()2
10a b ⋅-≤，再利用向量的数量积逐一判断即可.
【详解】由于(),d a b a b =-，又对于t R ∈，恒有()()
,,d a tb d a b ≥， 显然有a tb a b -≥-，即()(
)
2
2
a tb
a b -≥-，
则()
2
2210t ta b a b -⋅+⋅-≥对于任意的t R ∈恒成立，
显然有()()2
24210a b
a b ∆=-⋅-⋅-≤成立，
即()2
10a b ⋅-≤，则1a b ⋅=，故序号①错误，
进而cos 1a b a b θ⋅=⋅=， ∵1b =，于是1cos 1a
θ=
≤，得1a ≥，即序号④正确.
再由10a b ⋅-=得2
0a b b ⋅-=，得()
0b a b -=， ∴()
b a b ⊥-，显然序号②正确.从而序号③错误， 再由②a b ≠，故序号⑤错误. 综上知本题正确的序号为②④. 故选：B.
【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.
12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()2f x f y f x y f x y =++-，某同学由此前提条件出发，然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若()00=f 时，()f x 是奇函数且一定是单调增函数；②.若()01f =，()f x 是偶函数且
有最大值为1；③.若132f π⎛⎫=
⎪⎝⎭，则42
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④.若()112f =，则()11002f =-.请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④
C. ①②③
D. ②③④
【答案】D 【解析】 【分析】
①()00=f ，令0x =，可以得到()()f y f y -=-，即()f x 是奇函数，进一步判断正确与否；
②()01f =，令0x =，可以得到()()-=f y f y ，即()f x 是偶函数，设一个特殊函数
()cos f x x =，进一步化简得到答案;
③ 根据②，答案显然成立； ④ ()1
12
f =
，特取1y =，化简得到()()()11f x f x f x +=--，进一步化简得到()f x 是最小正周期为6的周期函数，进一步化简得到答案.
【详解】由已知关系式()()()()()2,f x f y f x y f x y x y R =++-∈， 对于序号①，∵()00=f ，故令0x =，得()()()()20f f y f y f y =+-，则
()()f y f y -=-，
∴()f x 是奇函数，设12x x <时，
由()()()()()2,f x f y f x y f x y x y R =++-∈不能保证推出()()12f x f x <， 故序号①不能肯定成立；
对于序号②，∵()01f =时，令0x =，则()()()()20f f y f y f y =+-，进而有
()()-=f y f y ，
∴()f x 是偶函数，此时不妨特取()cos f x x =，显然有
()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，即满足
()()()()()2,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，且()cos f x x =有最大值1.
故序号②成立.
对于序号③来说，∵序号②正确，显然132f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，有42
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故序号③C 正确. 对于序号④，∵()1
12
f =
，特取1y =， 则()()()()()2111,f x f f x f x x y R =++-∈，
进而有()()()11f x f x f x =++-，整理得()()()11f x f x f x +=--①. 且有()()()21f x f x f x +=+-②
由①②得()()21f x f x +=--，推得()()3f x f x +=-，又得()()6f x f x +=， ∴()f x 是最小正周期为6的周期函数，根据()1
12
f =
，特取1,0x y ==，则()()()()21011f f f f =+得()01f =.
再取0,1x y ==，即()()()()20111f f f f =+-， 解得()()1
112
f f -==
，令1x =-，1y =. 于是()()()()21102f f f f -=+-， 解得()111
222222
f -=⨯⨯
-=-. ∴()()()1
100617222
f f f =⨯-=-=-.故序号④正确. 综上所述，本题正确的序号为②③④. 故选：D .
【点睛】本题以抽象函数模型为载体，综合考查函数的奇偶性，单调性、周期性及函数本质特征，同时还考查了考生的观察、归纳、合情推理的思想方法及逻辑推理能力和运算求解能力.解决本题必须具备具有一定的基础知识和基本功.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（分单空和多空）：本题共4小题.
13. 已知数列{}n a 满足41n a n =+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的第10项为______. 【答案】23. 【解析】 【分析】
首先由数列{}n a 的通项公式求出其前n 项和，进而求出数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，然后求出其第10项.
【详解】解：∵数列{}n a 的通项公式为41n a n =+（一次函数y kn b =+型），即知{}n a 为等差数列，即其前n 项为()
2141232
n n n S n n n +=⨯
+⨯=+（二次函数型2y An Bn =+，其中2d A =，1
B a A =-），于是数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式为23n n S b n n ==+，于是1023b =. 故答案为：23.
【点睛】本题命制是以等差数列通项公式为载体，考查的是数列前n 项和与通项公式的转化与化归的应用，考查运算求解能力，属于基础题型.
14. 已知单位向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b a -的夹角是__________． 【答案】
34
π
【解析】 【详解】
非零单位向量,a b 满足2
2
,=0a b a b a b
a b a b +=-+=-⋅，，
，则 a ()
2
==-1b a a b a ⋅-⋅-，2
=1+1202,2a b a b --⨯=-= ，
设a 与b a -的夹角是的夹角是α，[]12
cos 0,212
ααπα-=
=-∈∴=⨯ 34π， 故答案为
34
π
.
【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b
上的投影是
a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求
a b ⋅）.
15. 已知曲线1xy
=与圆22:4430M x y x y +--+=相交于A 、B 两点，则圆M 的半径
r =______，弦AB 的中垂线方程为______.
【答案】 (1). (2). y x =.
【解析】 【分析】
由配方法得圆的标准方程后可得圆心坐标和半径，根据圆与已知曲线
1xy =都关于直线
y x =对称得它们的交点也关于直线y x =，易得弦中垂线方程．
【详解】∵曲线
1xy =的图象关于直线y x
=轴对称，又圆M 的标准方程为
()
()2
2
225x y -+-=，显然圆M 的半径r =
圆心坐标为()2,2在直线y x =上，圆M 的图象必关于直线y x =对称，因此交点,A B 关于直线y x =对称，弦AB 的中垂线方程为
y x =.
y x =.
【点睛】本题以两条曲线相交为背景，考查曲线的对称性，考查学生分析问题解决问题的能力，考查考生以生考熟、化繁为简，化难为易的解题的基本方法..
16. 关于下列两个命题：设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()f x 单调，则方程()34x f x f x +⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的所有根之和为______；
对于()(){},,0M x y f x y =≤有性质p ：“对
()(),,0,1x y M k ∀∈∈时，必有(),kx ky M ∈.现给定①(){}
2
2,20A x y x
y x y =
+++=；
②(){}
2
2,21B x y x
y =
+≤；现与M 对比，①中A 、②中B 同样也有性质p 的序号为______.
【答案】 (1). 8- (2). ② 【解析】 【分析】
(1)对于()34x f x f x +⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
，利用函数为偶函数可知关于y 轴对称且()()f x f x -=，有
34x x x +=
+或3
4
x x x +-=+即可求所有根之和；(2)由命题“对()(),,0,1x y M k ∀∈∈时，必有(),kx ky M ∈”知对于集合M 上点(,)x y ，将点坐标都缩小到原来1()0,k ∈仍在M 上，即几何
上这样M 集合是平面中一个闭合的被填满的面，A 代表一个圆上的点集，B 代表椭圆面的点集，即可知答案
【详解】(1)∵()f x 是定义在R 上的偶函数 ∴当满足()34x f x f x +⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
时，有两种可能 当x 与
34x x ++在y 轴同侧时，则3
4
x x x +=+，得2330x x +-=，设方程的两个根为1x ，2x ，显然123x x +=- 当x 与
34x x ++在y 轴两侧时，则3
4
x x x +-=+，得2530x x ++=，设方程的两个根为3x ，4x ，此时345x x +=- 显然满足方程()34x f x f x +⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
的所有根之和为12348x x x x +++=-
(2)现结合M 的性质p 来研究A 、B
对于①(){
}
22
,20A x y x y x y =+++=，即简化为：()2
215:124A x y ⎛⎫+++= ⎪⎝
⎭，易知点
11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
在此圆上，取()10,12k =∈，但11,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭不在A 上.于是①错误.
对于②(){}
22
,21B x y x y =+≤，即(),x y 是椭圆22
111
2
x y +≤上及内部的一切点，显然当()0,1k ∈时，点(),kx ky 必在椭圆22
1
112
x y +=内，则②具备性质p
故答案为：-8；②
【点睛】本题以两个独立命题形式给出，发散思维的能力，同时考查了考生解题思维的跳跃性和连续性及逻辑推理能力，运算求解能力，综合应用能力，属于偏难.
三、解答题：本大题共6小题.解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在下面题目中，补充一个条件，使得ABC 有两个不同解，并解答下列问题. 设60B =︒
，AB =
______；这个三角形的面积是否存在最值？如果有，
请求出其最值，如果没有请说明理由. 【答案】
补充的条件是：32AC <<
0BC <<
BC <<答案见解析. 【解析】 【分析】
当sin AB B AC AB <<时，三角形有两解，根据题意写出两解的条件，由三角形的边AC 与BC 的长度为开区间，故ABC 面积不存在最值.
【详解】先做草图，由B 出发，作BC 边上的高AH （H 为垂足），
已知sin60h AH AB ==︒即3
1.52
h AH ==
=， 结合图形观察知，当AH AC AB <<
时，即3
2
AC <<
此时有两解，即为ABC （C 为钝角）或ABC '△（C C '=为锐角，此时AB AC '=）. 由此可确定：为使ABC 在60B ∠=︒
，AB =
332AC <<，或者是30BC <<，33BC <<， ∵三角形的边AC 与BC 的长度为开区间，故ABC 面积不存在最值.
【点睛】本题主要考查三角形的解的个数，同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力. 18. 如图所示，在三棱锥PAQ △中，PB ⊥平面ABQ ，BA BQ BP ==，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于G ，PC 与FQ 交于点H ，连接
GH ．
（Ⅰ）求证：AB GH ∥；
（Ⅱ）求二面角D GH E --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）4
5
- 【解析】
【详解】解法一 （Ⅰ）在PAQ △中，,D E 分别是,AP AQ 的中点，则G 是PAQ ∆的重心，
2.QG
GE
=
同理，
2.QH HF =所以QG QH
GE HF
=，因此.GH EF 又因为EF 是PAB △的中位线，所以,AB EF ∥AB GH ∥. （Ⅱ）解法1 因为2AQ BD =，所以AB BQ ⊥,又PB AB ⊥， 所以AB ⊥平面PBQ ，GH ⊥平面PBQ ，
FHC ∠为二面角D GH E --的平面角，
不妨设2,BA =由三角形知识可得5
2,.3
FC FH HC =
==
由余弦定理得()
2
2
2
552334
cos .5
552FHC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭∠==-⨯⨯
解法2分别以,,BA BQ BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 如图
不妨设2,BA =则()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,0.Q F E P D C 设平面QFE 的法向量为(),,m x y z =，则
0{0
m QF m QE ⋅=⋅=，所以()()()(),,0,2,10{,,1,2,10x y z x y z ⋅-=⋅-=，令1y =得()0,1,2m =
同理求得平面PDC
一个法向量为()0,2,1n =，
因此4
cos ,,5
m n m n m n ⋅〈〉=
= 由图形可知二面角D GH E --的余弦值为4.5
-
解法二（Ⅰ）证明：因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点， 所以EF ∥AB ,DC ∥AB ，所以EF ∥DC ， 又EF ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ， 又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ 平面PCD GH =，
所以EF ∥GH ， 又EF ∥AB ， 所以AB ∥GH .
（Ⅱ）解法一：在ABQ △中,2AQ BD =,AD DQ =,
所以=90ABQ ∠，即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥， 又BP BQ B ⋂=，所以AB ⊥平面PBQ ，由（Ⅰ）知AB ∥GH ,
所以GH ⊥平面PBQ ，又FH ⊂平面PBQ ，所以⊥GH FH ，同理可得GH HC ⊥， 所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角，设2
BA BQ BP ===,连接PC ， 在t R FBC
中，由勾股定理得，FC =
在t R PBC
中，由勾股定理得，PC =，
又H 为PBQ △
的重心，所以13HC PC =
=
同理FH =
在FHC 中，由余弦定理得552
499cos 5529
FHC +-∠=
=-⨯， 即二面角D GH E --的余弦值为4
5
-.
解法二：在ABQ △中，2AQ BD =,AD DQ =,
所以90ABQ ∠=，又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直，
以B 为坐标原点，分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BA BQ BP ===，则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ，
(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以
(1,2,1)EQ =--,(0,2,1)FQ =-,(1,1,2)DP =--,(0,1,2)CP =-,
设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =， 由0m EQ ⋅=，0m FQ ⋅=, 得1111120{
20
x y z y z -+-=-=
取11y =，得(0,1,2)m =.
设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z = 由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=,
得2222220{20
x y z y z --+=-+=
取21z =，得(0,2,1)n =.所以4
cos ,5
m n m n m n ⋅〈〉=
= 因为二面角D GH E --为钝角，所以二面角D GH E --的余弦值为45
-
. 【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法，考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力．第一问主要涉及平面几何的图形性质，中点形成的平行线是常考点之一，论证较为简单．第二问有两种方法可以解决，因图形结构的简洁性，推理论证较为简单，而利用空间向量运算求解二面角就相对复杂了.
19. 某医学科研单位有甲，乙两个专门从事病毒治愈的研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取了这两个小组在过去一年里其中经过15次各自研发的新药结果如下：(),x y ，
(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，
(),x y ，(),x y ，(),x y .其中x ，x 分别表示甲组研发新药成功和失败；y ，y 分别表示乙组研发新药成功与失败.
（1）若某组成功研发一种新药，则该组可直接为本单位创造经济价值为5万余元，并且单位奖励给该组1千元，否则就亏损1万余元，奖励0元，试计算甲，乙两组研发新药的经济效益的平均数和奖金的方差，并且比较甲乙两组的研发水平；
（2）若该医学科研单位安排甲，乙两组各自独立的研发一种新药.
①试估算恰有一组研发新药成功的概率；
②给定法则：设A ，B 是两个事件，事件A 是否发生对事件B 无影响，若事件A ，B 所发生的概率分别记为()P A ，()P B ，则事件A ，B 同时发生的概率为()()P A P B .试求甲，乙两组同时都研发新药成功的概率.
【答案】（1）甲，乙两组研发新药的经济效益的平均数分别为：3（万元），2.6（万元）；奖金的方差分别为：
29，625；甲组的研发水平应高于乙组研发水平；（2）①715；②25. 【解析】
【分析】
（1）先计算甲，乙两组为单位贡献的经济效益的平均数，然后求甲乙两组奖金的方差数，并且进行数据比较分析.
（2）利用古典概型的计算公式可以求解.
【详解】（1）甲组研发新药的贡献效益依次为5，5，5，1-，1-，5，5，5，1-，5，1-，5，5，1-，5. 则甲组贡献经济效益金的平均值150********
X -===（万元）. 甲组获得奖金额依次为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1（千元）， 甲组获得资金的平均值102153X =
=2（千元），甲组获得资金的方差222
1222=110+05=15339X S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2. 乙组研发新药的贡献效益依次为5，1-，5，5，1-，5，5，1-，5，1-，1-，5，1-，5，5. 则乙组贡献经济效益金的平均值4563913 2.615155
X -====3（万元）. 乙组获得奖金额依次为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1（千元）
乙组获得奖金的平均值93155
X ==4（千元），乙组获得奖金的方差222
13361906155525X S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
4. 从而可以确定X X >13；但422
X X S S <2，
综上所述，从所得数据看，甲组的研发水平应高于乙组研发水平.
（2）①记事件:A {恰有一组研发新药成功}，在抽得的15个结果中， 恰有一组研发新药成功的结果为(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y ，(),x y 共7个. 故事件A 发生的概率为()715P A =
.将频率视为概率，即得所求概率为()715
P A =. ②根据已知研发结果得甲单独研发新药成功的概率为1102153
p ==，乙单独研发新药成功的概率为293155
p ==， 根据给定法则知：甲，乙两组同时都研发新药成功的概率为12232355p p p =⋅=⨯=. 【点睛】本题以生活科研实践为素材，提出和研发问题，综合考查考生灵活运用所学的统计与概率知识分析，处理数据并且解决实际问题的能力，体现了理性思维和数学应用，数学探究的学科素养，落实了应用性的考查要求.属于中档题.
20. 已知直线l 与曲线()32
32f x x x ax =-++在点()0,2处相切，且l 与x 轴交点的横坐标为2-.
（1）求函数()f x 的单调减区间；
（2）在1k <前提下，试确定曲线()y f x =与直线2y kx =-交点个数.
【答案】（1）1⎡⎢⎣
⎦；（2）函数()y f x =与直线2y kx =-只有唯一交点. 【解析】
【分析】
（1）由导数几何意义得出切线方程，求出切线与x 轴交点坐标后可求得a ，然后利用导数的正负得单调区间；
（2）构造新函数()()(2)g x f x kx =--，证明()g x 在0x <时有唯一零点，在0x ≥时无零
点，从而证得题中结论．
【详解】（1）根据题意应先对函数()3232f x x x ax =-++求导，即()2
36f x x x a '=-+， ∵()0,2是切点，则l 的斜率为()0k f a '==，则切线l 方程为2y ax =+，∵l 与x 轴相交，令0y =，进而得22x a =-
=-，即1a =. 于是()2361f x x x '=-+，又()f x 单调递减，令23610x x -+≤，解得，
1133x -≤≤+，即函数()f x 的单调减区间为1,133⎡-+⎢⎣⎦
. （2）由（1）知()32
32f x x x x =-++，设()()()()322314g x f x kx x x k x =--=-+-+.()2361g x x x k '=-+-.
在10k ->，即1k <前提下：
①当0x ≤，显然()0g x '≥，即()g x 在(],0-∞上递增，且()110g k -=-<，()040g =>，即存在()01,0x ∈-，使得()00g x =，故()()20f x kx --=只有唯一根.此时曲线()y f x =与直线2y kx =-只有唯一交点.
②当0x >时，设()32
34x x x ϕ=-+，2()363(2)x x x x x ϕ'=-=-，02x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 递减．2x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 递增，
∴0x >时，min ()(2)0x ϕϕ==，即()0x ϕ≥，此时()()()()10g x x k x x ϕϕ=+->≥.显然()()2f x kx >-在()0,∞+恒成立，故()y f x =与直线2y kx =-不存在交点.
综上所述，x ∈R 时，函数()y f x =与直线2y kx =-只有唯一交点.
【点睛】本题以三次函数为载体，目的是利用导数作为工具研究函数的单调性、导函数的几何意义，同时还考查了函数的零点概念、分类讨论思想及推理论证能力.试题解法灵活多样，另外对此题的求解策略以及推理论证能力都提出了较高要求，有利于不同学习程度的考生作答，这凸显了选拔功能.本题属于难题．.
21. 从抛物线2
1:2C x py =和椭圆22
222:1x y C a b +=上各取两点，将其坐标记录于下表中：
（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的方程；
（2）抛物线1C 和椭圆2C 的交点记为A 、
B ，点M 为椭圆上任意一点，求MA
MB ⋅的取值范围.
【答案】（1）2
4x y =；22
182x y +=；（2）1613⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】
【分析】
（1）判断哪两点在抛物线上，剩下两个点在椭圆上，代入方程可求得参数，得结论；
（2）求出两曲线中坐标，设()00,M x y 是22
2:182
x y C +=上动点，得
0y ≤≤计算MA MB
⋅化为0y
的函数后可得取值范围．
【详解】（1）∵()2
1:20C x py p =>，当0y ≠时，2
2x p y =，根据表格的数据验证，可知93,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭，11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭满足方程22x py =，解得2p =，得抛物线1C 方程为24x y =. 将(，⎭代入椭圆()22
222:10x y C a b a b +=>>可得28a =，22b =，即椭圆22
2:182
x y C +=. （2）由2224480
x y x y ⎧=⎨+-=⎩，解得1121x y =-⎧⎨=⎩或2121x y =⎧⎨=⎩即得()2,1A -，()2,1B . 设()00,M x y 是222:182
x y C +=上动点，则2200840x y =-≥.
即得0y ≤≤于是有：()()22
00000002,12,123MA MB x y x y x y y ⋅=---⋅--=+-- 2
2
000116325333y y y ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭.∵0y ≤.
即201161613333y ⎛⎫--≤-++≤ ⎪⎝
⎭.于是1613MA MB --≤⋅≤.
故MA MB ⋅的取值范围是1613⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题以图表为载体，考查考生观察能力、判断问题和数据处理能力，方程思想、函数思想及数形结合思想.本试题全面充分地考查了考生的逻辑思维能力以及应用解析几何思想解决问题的能力和运算能力.试题具有较好的区分度，也具有很好的选拔功能.
请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为2220x y x +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρ
θ. （1）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设射线()06π
θρ=≥与曲线1C 和曲线2C 依次相交于A 、B 两点，求AB 长.
【答案】（1）2cos ρθ=；2
213x y +=；（2）AB =AB =【解析】
【分析】
（1）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入即可求解.
（2）射线()06π
θρ=≥与曲线1C 和曲线2C 联立，求出A ρ、B ρ即可求解.
【详解】（1）当以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴时，θ为极角时，
根据直角坐标与极坐标互化公式，
则有222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴1C 的普通方程为2220x y x +-=，
等价于极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，
即曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
又曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ
， 整理为222
2sin 3ρρθ+=，进而化为2233x y +=， ∴曲线2C 的直角坐标方程简化为2
213
x y +=， （2）∵射线()06π
θρ=≥与曲线1C 和曲线2C 依次相交于A 、B 两点，
由题意作出图象，即6xOA π
∠=
， （射线为OA ）结合图象知0A ρ=或2cos 36A π
ρ==，
∵,6B B πρ⎛
⎫ ⎪⎝⎭2222sin 3ρρθ+=上，则2212sin 36πρ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
， 即得21132ρ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，22ρ=，2B ρ= 故2AB =32AB =.
【点睛】本题以两种不同坐标系下给定的方程为背景，主要考查普通方程与极坐标方程之间的转换公式的运用，直线与圆及椭圆位置关系的判断，考查考生对数形结合思想方法的运用，同时还考查了考生的运算求解能力和逻辑思维能力，试题面向全体，考生入手容易，属于基础题.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数()()2
,f x x ax b b c =++∈R . （1）若()f x 在[]1,1-上最大值为M ，求M 的最小值；
（2）证明：111
a b b a ++-≥+. 【答案】（1）
12
；（2）证明见解析. 【解析】
【分析】 （1）由题意得()()()110f f f -，，，根据绝对值不等式性质可以得到42M ≥，最终得到答案;
（2）首先化简111111
a b b a a a ++-≥++-++，对1a +分类讨论，最终得以证明. 【详解】（1）根据题意有
()11f a b M -=-+≤①
()11f a b M =++≤②
()0f b M =≤③
①+②+2⨯③有41121122M a b a b b a b a b b ≥-+++++≥-++++-=
即42M ≥，即12
M ≥，显然M 的最小值为12； （2）证明：结合条件知1a ≠-， ∵11111111
a b b a b b a a a a ++-≥++-=++-+++ 当10a +>时，1111a a ++
-+211≥-=，当且仅当0a =时取等号. 当10
a +<时,()()11111=11=11213111a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++----+---++≥+= ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当2a =-时取等号.。