倍长中线法专题练习

倍长中线法专题练习

例题：如图1，在ABC ∆中，CD 为AB 边上的中线. 求证：CD BC AC 2>+

证明：如图2，延长CD 至E ，使CD DE =，连接AE 易证ADE ∆≌BDC ∆ ∴BC AE =

在CAE ∆中 CE AE AC >+ 即CD BC AC 2>+

注：见中点构造全等三角形应根据具体的条件进行选择，切记不要一味模仿.

1：⑴如图，等腰直角ABD ∆与等腰直角BEF ∆具有公共的顶点B ，且点B 、F 、D 在同一条直线上，点P 为DF 的中点，连接PA 、PF . 猜想线段PA 、PF 的关系并加以证明.

2：如图，两个等腰直角ABC ∆与DEB ∆，点E 、B 、C 在同一条直线上，P 为EC 中点. 探究PD 与PA 的关系.

变式一：将图（6）中的三角形BOD 绕O 顺时针旋转，其它条件不变，判断并证明MA 与MB 的关系。

M O

D

C B A

变式二：将图（6）中三角形改作一般直角三角形，即△AOC 与△BOD ，

∠CAO=∠DBO=90°，且∠AOC=∠BOD ，C 、O 、D 共线，M 为CD 中点，判断并MA 与MB 关系。

3：如图等腰直角三角形ABC ，D 是BC 上一动点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

P 是BC 中点。求证：PE=PF ，PE ⊥PF 。

变式（一）两个等腰直角三角形有公共顶点D ，P 为BC 中。

求证：PE=PF ，PE ⊥PF 。

4：如图，线段AB ，点P 在AB 的下方，

⑴若PB PA =，在的AB 上方作AP A A ⊥'，且AP A A ='，作PB B B ⊥'，且PB B B ='，连接B A ''，取B A ''的中点O ，连接AOB ∆，试判断AOB ∆的形状并证明。 ⑵若PA 与PB 不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。 M O D

C B

A P C F D E

B A C

P D

E

B

A

5.如图，CB CA =，DE DB =，︒=∠+∠180EDB ACB ，P 为AE 的中点. 探究：PC 与PD 之间位置关系

6：在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，在BD 上取M ，使MD=DC ，作MN ∥AB,交AC 于N ，求证：MN=AC

7：在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF

的大小关系，并证明你的结论。

M

D C

B A

F

D

E C B A C

F D E

B

A

12章能力题：已知：如图，点C 在线段AB 上，在AB 的同侧作等边△ADC 和等边△BCE ，连接AE 、BD 交DC 、CE 于M 、N ． (1)求证：AE=BD ： (2)求∠AFB 的度数

（3）求证：△CMN 为等边三角形；

F

N

M

E

D

C

B A

F

N

M

E

D

C

B

A