环同态基本定理

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二、环同态的一些简单性质
定理3.5.1 设 为环 R 到环R '的同态, 则 (1)(0R ) 0R' .（ 0R为 R中零元，0R为' R '中零元） (2) (na) n(a) ，n Z,a R . (3) (an ) ((a))n ，n N.
由定义可知, 环同态就是环之间保持运算的映射.
又如果同态映射 是单映射, 则称 为单同态
(monomorphism); 如果 是满映射, 则称 为满同态
(epimorphism), 此时, 称环 R 与 R '同态, 记作：
: R ~ R' ; 如果 既是单同态, 又是满同态, 则称 为
|S (s) (s) s s x 所以 |S 为满同态. 而
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Ker |S {s S |(s) 0}
{s S | s I} S I.
从而S I是S的理想, 且由环同态基本定理知, 有如
下的环同构
S /(S I ) (S I ) / I
因此, (e)是单位元, 由单位元的惟一性得(e) e' .
(2) 令r ' (e) , 则r ' 0 , 从而 r 'e' r ' (e) (ee) (e)(e) r '(e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去r '
得(e) e'.
满同态, 则有环同构
%: R / Ker R'
证 (1) 记K Ker , 则为K 环R 的理想. 对任意
的a R / K, 令
%: R / K R ' a a (a).
设 a b , 即 a b K , 则 (a b) 0, 从而, (a) (b)
同；若一个是 (x) ，一个是x的形式，则原象一个属，
于 S ，另一个不属于S 而属于R ，原象当然不同．
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图3.5.1
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(2) 对任意的x, y S , 规定
规定
(x), (x)
x,
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xS xS.
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则是 S到R的映射且 |S . 又由S与R没有公共元素 这一条件可知还是 S到R的一一对应（见图3.5.1）.因 为当两个象相等时，若两个象都是 (x的) 形式，由 的
单映射性，原象同；若两个象都是 x的形式，显然原象
所以%是R / K 到R ' 的同态映射.
(3) 对任意的 a ' R ' , 因为是满同态, 所以存在
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a R 使(a) a' . 从而 %(a) (a) a'
于是, %是R / K到R '的满同态. (4)设 a,b R / K, 如果 %(a) %(b ) , 则 (a b) %(a b) %(a) %(b ) 0
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于是
%(a) (a) (b) %(b )
所以 %是 R / K到 R '的映射.
(2) 对任意的 a,b R / K , 有
%(a b ) %(a b) (a b) (a) (b) %(a) %(b ) %(ab ) %(ab) (ab) (a)(b) %(a)%(b )
(ar) (a)(r) 0(r) 0 则a b,ra,ar Ker , 所以Ker 为 R 的理想. □
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例4 对于本节例1、 例2、 例3中的环同态 、 和 , 它们的核分别是
Ker R ，Ker m ，及 Ker I．
（按定义即可证）
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定理3.5.2 设R与R '都是有单位元的环，e与e '分
别是它们的单位元, 是 R 到 R '的环同态.
(1) 如果 是满同态, 则(e) e' ; (2) 如果 R '为无零因子环, 且 (e) 0 , 则
(e) e';
(3) 如果 (e) e' , 则对 R的任一单位 u,(u)是 R '
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例8(环的第二同构定理) 设S为R的子环，I为 R 的理想, 则 S I是 S 的理想且
S /(S I ) (S I ) / I
证 首先 S I是一个子环．这里要说明的是，两个 个子环的和不一定还是一个子环，但当其中一个是理
想时，根据定理3.1.3易证明它们的和是一个子环．
§3.5 环的同态
一、环的同态
定义3.5.1 例1
---同态
例2
例3 二、环同态的一些性质
定理3.5.1
定理3.5.2
三、环同态基本定理
定义3.5.2
---核
1
定理3.5.3 例4 例5
定理3.5.4 ---环同态基本定理 例6 例8 例7
四、环的扩张定理 定理3.5.5 ---环的扩张定理 前例页9 后页 目录 返回
同构(isomorphism). 此时, 称环 R 与 R '同构, 记作:
: R R'. 与群的相应概念类似, 环的同构是环之间的
一个等价关系, 并且同构的环有完全相同的代数性质.
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例１ 设 R与 R '是两个环. 对任意的 a R ,令
:R R'
a a 0.
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(3) 设 u为 R 的任一单位, 则
e' (e) (uu1) (u)(u1)
e' (e) (u1u) (u1)(u)
所以(u)是R '的单位, 且((u))1 (u1) .
□
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三、环同态基本定理
f (x) (x2 2)q(x) . 又对任意的 f (x) (x2 2)q(x), 显
然有 f ( 2) 0 . 由此得
Ker {(x2 2)g(x) | g(x) Q[x]} x2 2.
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定理3.5.4(环同态基本定理) 设 为环R 到环R '的
从而 a b K , 由此得 a b . 所以%是 R / K到 R '的单同
态.
这就证明了 是 % R到/ K 的同R '构映射, 即
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%: R / Ker R'
□
注 如果利用群的同态基本定理, 可以使上述证
明大大简化.只要再证明%保持运算即可．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(a bx) a b 2.
所以为 Q[x]到 Q[ 2]的满同态. (4)设 f (x) Ker ,存在 q(x) Q[x],a,b Q,使 f (x) (x2 2)q(x) a bx
则0 f ( 2) a b 2 , 所以 a b 0 , 从而
显然 I为环 S I 的理想, 从而有自然同态.
: S I (S I)/ I
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因而 在S 上的限制 |S: S (S I ) / I s a (s)
为 S到 (S I ) / I的同态. 又对任意的 s x (S I ) / I (s S, x I ) , 有
:R R/I
a a a.
则为 R 到它的商环R / I的满映射.又对任意的a,b R, (a b) a b a b (a) (b)
(ab) ab ab (a)(b)
所以 为 R到它的商环R / I的一个满同态. 这个同态称
为自然同态(natural homomorphism).
则对任意的 a,b R , (a b) 0 (a) (b)
(ab) 0 (a)(b)
所以 是R到 R '的一个同态. 这个同态称为零同态(zero
homomorphism).
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例2
设
R

Z,R
'

Z
.
m
对任意的 a Z
,令
: Z Zm
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例5 设 R Q[x] ,R ' Q[ 2] {a b 2 | a,b Q},
令
: Q[x] Q[ 2]
f (x) a f ( 2).
则 为Q[x]到 Q[ 2] 的满同态, 并且 Ker {(x2 2)g(x) | g(x) Q[x]} x2 2
的单位, 且((u))1 (u1) .
证 (1) 对任意的a ' R ' , 因 是满映射, 所以存
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在a R , 使 (a) a' . 则 (e)a ' (e)(a) (ea) (a) a'
a '(e) (a)(e) (ae) (a) a'
a a a.
则 为Z 到Zm的满映射. 又对任意的a,b Z , (a b) a b a b (a) (b) (ab) ab ab (a) (b)
从而 为 Z到 Zm 的满同态.
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例3 设 R 是环，I 是R的理想.对任意的a R ,令
定义3.5.2 设为环R 到环R '的同态映射. 称集合 K {a R | (a) 0}
为环同态的核(kernel), 记作:Ker .
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定理3.5.3 设 为环R到环R '的环同态, 则Ker
为 R的理想.
证 对任意的a,b Ker ,r R , 有 (a b) (a) (b) 0 0 0 (ra) (r)(a) (r)0 0
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例6 由本节例2和例4知,是Z到Zm的满同态, 且Ker m, 则由环同态基本定理得
Z /m Zm
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例7 在本节例5中, 是Q[x]到 Q[ 2]的满同态且 Ker x2 2
从而由环同态基本定理得 Q[x]/x2 - 2 Q[ 2]
□
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四、环的扩张定理
定理3.5.5(环的扩张定理) 设S 与R 是两个没有 公共元素的环, 是环 S到环R的单同态. 则存在一个与
环R同构的环 S及由环S到R 的同构映射 , 使 S为S的 子环且 |S .
证 (1) 令 S (R (S )) S . 对任意的x S ,
( f (x) g(x)) f ( 2) g( 2) ( f (x)) (g(x))
( f (x) g(x)) f ( 2) g( 2) ( f (x)) (g(x))
所以 为Q[x]到 Q[ 2]的环同态.
(3)对任意的a b 2 Q[ 2] ,有a bx Q[x使]
一、环的同态
定义3.5.1 设 R和R '为两个环, 是集合R到R '的
映射. 如果对任意的 a,b R , 有 (a b) (a) (b)
以及
(ab) (a)(b)
则称 为环R 到环R '的一个同态映射（homomorphism）,
简称同态.
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证 (1) 对任意的 f (x) Q[x] , 存在 q(x) Q[x] ,
a,b Q ,使
f (x) (x2 2)q(x) a bx
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则
2
f ( 2) ( 2 2)q( 2) a b 2 a b 2 Q[ 2]
所以为 Q[x]到 Q[ 2] 的映射. (2) 对任意的 f (x), g(x) Q[x] ,