第三课时 圆周运动

第二章、圆周运动
第1课时圆周运动
匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热点，同时它又容易和很多知识综合在一起，形成能力性很强的题目，如除力学部分外，电学中“粒子在磁场中的运动”涉及的很多问题仍然要用到匀速圆周运动的知识，故这部分内容请同学们认真打好基础。

对匀速圆周运动的学习可重点从两个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分涉及的典型问题作点滴说明。

一、运动学特征及应用
匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。

为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（ ）等物理量，涉及的物理量及公式较多。

因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。

（一）、认识圆周运动
1．圆周运动定义: 如果质点的运动轨迹是____________，那么这一质点的运动就叫做圆周运动．
2．匀速圆周运动——圆周运动中最简单的一种运动,质点沿圆周运动时，如果在相等的时间内通过的_________都相等，这种运动就叫匀速圆周运动．
（二）、描述圆周运动快慢的几个物理量
1．线速度
线速度是描述做圆周运动的质点运动______________的物理量．线速度的大小等于质点通过的_______跟____________的比值，即v＝__________ , 线速度是矢量，不仅有_________，而且有_______________,线速度方向就是在圆周上该点的________________
（1）对线速度的三点理解
①线速度，即曲线运动中的瞬时速度．
②匀速圆周运动中的“匀速”是指速度的大小（速率）不变，应该理解成“匀速率”。

③由于质点做匀速圆周运动时速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动．
2.角速度
角速度是描述圆周运动快慢的特有概念．连结运动质点和圆心的半径转过的_______和____ 的比值叫做匀速圆周运动的角速度，即ω＝_________ 角速度的单位是________________, 符号是__________.
3．周期
做圆周运动的物体_________所用的时间叫周期，周期用T表示，其国际制单位为________．
4.频率
做圆周运动的物体________________________叫做频率，用f表示。

其单位为____________________，符号为
_______________，频率与周期的关系：____________
5.转速
做匀速圆周运动的物体________________________叫做转速．用n表示，其单位为____________________，符号为
_______________
6、线速度、角速度、周期间的关系
线速度、角速度和周期都可以用来描述匀速圆周运动的快慢，它们之间的关系为：
线速度与周期关系: v＝__________ 角速度与周期关系: ω＝___________
角速度与转速关系: ω＝____________ 速度与转速关系: v＝__________
频率与周期的关系: T =__________ 线速度与角速度关系: v＝_________
7. 向心加速度
（1）公式:a= =___________=__________=_________
（2）物理意义为描述某点线速度__________改变的快慢.
(3)方向：__________________ , 匀速圆周运动大小不变，方向时刻改变。

所以加速度不是恒定的，匀速圆周
运动是_________________曲线运动（填“变加速”或“匀变速”）
8、向心力
（1）公式:F= =___________=__________=_________
（2）方向:__________________，方向时刻改变，所以向心力是 .
9、质点做匀速圆周运动的条件：________________________________________________________________．
10、在变速圆周运动中，合力与合加速度都不指向圆心，向心力与向心加速度只是合力与合加速度的一个分量．（三）、典型例题
1、基本概念、公式的理解和运用
例1、（双选）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）
A. 线速度不变
B. 角速度不变
C. 加速度为零
D. 周期不变
解析:匀速圆周运动中的“匀速”是指速度的大小（速率）不变，方向在沿该点的切线，故速度时刻在变化，速度变化了，即有加速度，按牛顿第二定律，物体所受的合外力肯定不为零，故选BD。

例2．（双选）下列说法正确的是()
A．线速度的大小等于位移与时间的比值B．线速度的大小等于弧长与时间的比值
C．线速度的方向沿半径方向D．线速度的方向垂直于半径方向
选BD。

例3．（单选）静止在地球上的物体（两极除外）都要随地球自转，下列说法正确的是（）A．它们的运动周期是不同的B．它们的线速度都是相同的
静止在地球上的物体（两极除外）都要随地球自转，运动周期相同，角速度相同，运动半径不同，
C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：加速度物理意义为描述某点线速度方向改变的快慢.大小不变，但方向总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变。

所以加速度不是恒定的。

故选C
（单选）一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么下列说法错误的是() 例6．
A ．小球运动的角速度ω＝a
R
B ．小球在时间t 内通过的路程为s ＝aR t
C ．小球做匀速圆周运动的周期T ＝R
a D ．小球在时间t 内可能发生的最大位移为2R
解析：由a=ω2
R ，得到ω＝
a
R ，故A 正确。

由R
v a 2
=得aR v =,小球在时间t 内通过的路程为s=vt ＝aR t ,
故B 正确，由R T
R a 2
2
2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==πω 得a
R
T 24π=，故C 错误；最大位移等于直径，故D 正确。

2. 传动带传动问题 （1）特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．
(2)皮带或齿轮传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．
(3)在讨论v 、ω、r 三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系． 例7、（双选） 如图所示,皮带转动装置转动时,皮带上A 、B 点及轮上C 点的运动情况是
A.v A =v B , ωB ＞ωC
B.ωA =ωB ,v B ＞v C
C.v A =v B ,ωA =ωC
D.ωA ＞ωB ,v B =v C 解析: 选AC ，同一根皮带连接,则线速度相等,所以A 、B 两点线速度相等；同一转盘上各 点的角速度相等,所以B 、C 两点的角速度相等,半径大的线速度大. 例8．（单选）如图1所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑， 其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A .r 1ω1r 3
B .r 3ω1r 1
C .r 3ω1r 2
D .r 1ω1r 2
解析： [连接轮之间可能有两种类型，即皮带轮或齿轮相互传动和同轴轮传动(各个轮子的轴是焊接的)，本题属于齿轮，同轴轮的特点是角速度相同，皮带轮或齿轮的特点是各个轮边缘的线速度大小相同，即v 1＝ω1r 1＝v 2＝ω2r 2＝v 3＝ω3r 3，显然A 选项正确． 例9、（双选）如图所示是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（ ）
A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等
B ．a 、b 和c 三点的角速度相等
C ．a 、b 的角速度比c 的大
D ．c 的线速度比a 、b 的小 解：∵a 、b 、c 三点共轴，∴ωa=ωb=ωc ；
A 、因为三点共轴，所以角速度相等．由于三点半径不等，所以三点的线速度大小不等．故A 不正确；
B 、因为三点共轴，所以角速度相等．故B 正确；
C 、因为三点共轴，所以角速度相等．故C 不正确；
D 、因为三点共轴，所以角速度相等．由于三点半径不等，a 、b 两点半径比c 点大，所以a 、b 两点的线速度比c 点大．故D 正确． 故选BD ．
二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．分析下列各情景中的向心力来源
3.圆周运动的分析思路
(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸．将牛顿第二定律F ＝ma 应用于圆周运动，F 就是向心力，a 就
是向心加速度，即得：F ＝ma n ＝m v 2R ＝mω2
R ＝m 4π2T
2R
(2)基本思路
①明确研究对象．
②分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？)；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．
③分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向)．向心力等于指向圆心的力减去背向圆心的力
④由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式． ⑤求解或进行必要的讨论． 4、典型例题 例1、（单选）质量为m 的汽车，以速率v 通过半径为r 的凹形桥，在桥面最低点时汽车对桥面的压力大小是：
A ． mg
B ．r mv 2
C ．r mv mg 2-
D ．r mv mg 2
+
解析：对汽车进行受力分析，受到支持力和重力作用，如图所示，r
v m mg F N 2
=- ，
得r
v m mg F N 2+=，根据牛顿第三定律可知支持力和压力是一对相互作用力，等大反向，得N N F F =`
'，故选D
例2、（单选）如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A 的受力情况，下列说法中正
确的是
A ．摆球A 受重力、拉力和向心力的作用
B ．摆球A 受拉力和向心力的作用
C ．摆球A 受拉力和重力的作用
D ．摆球A 受重力和向心力的作用 解析：选C 。

例3、（单选）如图所示，一圆盘可绕通过圆盘的中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小 木块A ，它随圆盘一起做匀速圆周运动.则关于小木块A 的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A.A 受重力、支持力和向心力
B.A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力方向总是与木块运动方向相反
C.A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力方向总是与木块运动方向相同
D.A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力方向总是指向圆心
解析：选D.物体受重力、支持力和静摩擦力，物体作匀速圆周运动时有离心趋势，故静摩擦力方向时刻指向圆心。

【命题思想】考查物体受力分析、物体做匀速圆周运动向心力来源分析。

例4、（单选）载重汽车以恒定的速率通过丘陵地，轮胎很旧。

如图所示，下列说法中正确．．的是： A. 汽车做匀变速运动 B. 为防止爆胎，车应该在A 处减速行驶
C. 如果车速足够大，车行驶至A 时所受的支持力可能为零
D. 当车行驶至B 时，向心力等于车所受的重力 解析：选C
例5、（双选）一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A 和B 沿 着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动，如图所示，A 的运动半径较大，则（ ） A. A 球的角速度必小于B 球的角速度 B. A 球的线速度必小于B 球的线速度 C. A 球的运动周期必小于B 球的运动周期
D. A 球对筒壁的压力必等于B 球对筒壁的压力
例6．（单选）质量为m 的物块，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为V ，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
A. 受到向心力为R v m mg 2+
B. 受到的摩擦力为 R
v m 2
μ
C. 受到的摩擦力为μmg D ．受到的合力方向斜向左上方.
解析：选D 。

因为N 和G 的合力提供向心力竖直向上，摩擦力和相对运动方向相反，水平向左，那么合力自然是斜向左上。

向心力为F=m ，故A 错；摩擦力应该为f=μN=μ(mg+m )；N-G=F 可得N ，F 是向心力，故B 、C 都错 三、课外习题
1. （单选） 下列说法正确的是（ ）
A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定
B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
C. 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的
D. 做匀速圆周运动的物体处于平衡状态 2．（单选）关于作匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是（ ） A ．向心加速度的大小和方向都不变 B ．向心加速度的大小和方向都不断变化 C ．向心加速度的大小不变，方向不断变化 D ．向心加速度的大小不断变化，方向不变 3．（单选）对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的是：（ ）
A ．根据公式a =v 2
/r ， 可知其向心加速度a 与半径r 成反比
B ．根据公式a =ω2
r ， 可知其向心加速度a 与半径r 成正比 C ．根据公式ω=v /r ， 可知其角速度ω与半径r 成反比
D．根据公式ω=2πn，可知其角速度ω与转数n成正比
4.（单选）甲、乙两个物体分别放在广州和北京，它们随地球一起转动时，下面说法正确的是（）
A.甲的线速度大，乙的角速度小
B.甲的线速度大，乙的角速度大
C.甲和乙的线速度相等
D.甲和乙的角速度相等
5．（双选）(2011·临汾联考)甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图10所示．已知M甲＝80 kg，
M乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为96 N，下列判断中正确的是()
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，约为2 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
6.（单选）一个做匀速圆周运动的物体，如果半径不变，而速率增加到原来速率的三倍，其向心力增加了64牛顿，
那么物体原来受到的向心力的大小是（）
A.16N
B.12N
C.8N
D.6N
7.（单选）同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有（）
A.车对两种桥面的压力一样大
B.车对平直桥面的压力大
C.车对凸形桥面的压力大
D.无法判断
8. （单选）游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速率达到20m/s2，g取10m/s2，那么此位置座椅对游
客的作用力相当于游客重力的（）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
9.（单选）如图所示的两轮靠皮带传动，皮带没有打滑，A、B、C三点的位置关系如图，
若r1＞r2，O1C=r2，则三点的向心加速度的关系为（）
A．a A=a B=a C B．a C＞a A＞a B C．a C＜a A＜a B D．a C=a B＞a A
10.（单选）．如图所示为纸质圆筒，以角速度ω绕垂直纸面的轴O 高速转动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒转动不到半周时，在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO与bO夹角为φ，圆筒直径为d，则子弹的速度为( ) A．dφ/2πω B．dω/φ
C．dω/(2π－φ) D．dω/(π－φ)
11．(2010·广东省汕头市模拟考试)如图15所示，细绳一端系着质量m＝0.1 kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M＝0.5 kg的物块B相连，B静止于水平地面上．当A以O为圆心做半径r＝0.2 m的匀速圆周运动时，地面对B的支持力F N＝3.0 N，求物块A的速度和角速度的大小．(g＝10 m/s2)
12. (2011·山东青岛月考)如图16所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间，线受到的拉力比开始时大40 N，求：
(1)线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
(2)线断开的瞬间，小球运动的线速度大小；
(3)如果小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为60°，
桌面高出地面0.8 m，求：小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离．
第三课时 圆周运动答案 一、认识圆周运动 1、圆形 2、弧长
二、描述圆周运动快慢的几个物理量 1、快慢、 弧长 、时间 s
v t
= 、大小、 方向、 切线方向 2、角度、 时间、 t
ϕ
ω=
、 弧度每秒、 rad/s
3、运动一周 、 秒(s)
4、单位时间内转过的圈数、 赫兹、 HZ 、
5、单位时间内转过的圈数、 转每秒、 r/s
6、2r v T π=
， 2T
π
ω=， 2,2n v nr ωππ==， , v r ω=
7、（1） （2）方向 （3）总是沿半径指向圆心 , 变加速
8、（1） =ma （2）总是沿半径指向圆心 , 变力（ 或不恒定 ）。

9、合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心
三、课外习题 1、C
2、解：选C 。

做匀速圆周运动的物体要受到指向圆心的向心力的作用，向心力大小不变，方向时刻变化，所以向心加速度的方向始终指向圆心，在不同的时刻方向是不同的，而大小不变． 3.D
4 、解：A 、B 、D ：甲、乙两个物体随地球一起转动时它们的周期相同，角速度相同，所以，A 、B 选项错误，选项D 正确．
C ：由于甲的半径大于乙的半径，由线速度和角速度的关系v=ωr 知甲的线速度大于乙的线速度，故选项C 错误． 故选：
D ．
5．解析BD 。

[两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所需的向心力相同，由F ＝m ω2
r 可知，旋转半径满足：r 甲∶r 乙＝M 乙∶M 甲＝1∶2，又r 甲＋r 乙＝0.9 m 则r 甲＝0.3 m ，r 乙＝0.6 m ，两人的角速度相同，
则v 甲∶v 乙＝1∶2，由F ＝M 甲ω2
r 甲可得ω＝2 rad/s.故选项B 、D 正确．]
6. F 1 = mV 2/R ,F 2 = m(3V)2/R 两式子相比得到 F 2 = 9F 1 联立 F 2 - F 1 = 64 求得F 1 = 8N 故选C
7. 过平桥时:：压力F=mg 。

过凸桥时::圆心在桥下，以向下为正mg-F=R v m 2 ,F=mg-R
v m 2
<mg ，选B
8. 由ma mg F N =- 得 :F N =3mg 故选C
2
222
)2()2(f r T
r r v r a ππω====2
222
)2()2(f mr T
mr r v m mr F ππω====
对A ：F ＝m v 2
r
①
对B ：F ＋F N ＝Mg ② 解得A 的速度大小 v ＝2 m/s
A 的角速度大小为ω＝v
r
＝10 rad/s
12.．(1)45 N (2)5 m/s (3)1.73 m
解析 (1)线的拉力等于向心力，设开始时角速度为ω0，转速为n 0，向心力是F 0，线断开前的瞬间，角速度为ω，转速为n ，线的拉力是F . F 0＝m ω20R ① ω0＝2πn 0 ② F ＝m ω2R ③ ω＝2πn ④
由①②③④得F F 0＝ω2ω20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πn 2πn 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 02＝9
1
⑤
又因为F ＝F 0＋40 N ⑥ 由⑤⑥得F ＝45 N
(2)设线断开时，小球运动的线速度大小为v
由F ＝mv 2R 得，v ＝ FR m ＝ 45×0.10.18
m/s ＝5 m/s
(3)设桌面高度为h ，小球从离开桌面到落地经历的时间为t .
t ＝ 2h
g
＝0.4 s
则小球飞出后的落地点到桌边线的水平距离为
l ＝v ·sin 60°·t ＝5×3
2
×0.4 m＝ 3 m ＝1.73 m.。