大学物理功 动能定理 保守力的功(1)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
l F dr 0
aΒιβλιοθήκη BaiduC
D
物体沿闭合路径运动 一周时,
b
保守力对它所作的功等于零 .
非保守力: 力所作的功与路径有关。 （例如摩擦力、爆炸力等）
28
三、势能 作功的结果是使系统的能量改变
重力的功： A (mghb mgha )
弹力的功：
A
(
1 2
kxb 2
1 2
kxa 2
)
O
x
dAdr12ff1为122 mddrr111相2对f2于1 令dmr：22的r1 位fr122移 d。r1(2r1 r2 )
15
d同A理一：对f1d2相A d互r1作2f21用 d力rd21的r12总为功m等1相于对于y mrm121d的r1f位12r移f21。dmr22
A F cosθ | Δr | F Δr
在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
位移无限小时：
dA
F
dr
F
θ
F
dA 称为元功
元功——质点发生微小的位
ΔSr
移过程中，力所作的功
2
2.变力曲线运动的功 解决方法：由微积分的方法
F cosθ
1段），把任路取径一无小限段分位割移成d许r（多元小位 o ra
10
在计算变力的功时，必须知道力随位移的 函数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂， 难于找出这种固定的函数关系，使变力功的计 算变得复杂。
力对物体作功，其效果是使质点的运动 状态发生变化。
作功和物体状态变化有什么关系？
二、动能定理
11
1、质点的动能定理
A F dr Ft dr
a
θ 90 F dr dA 0
4
2）功是过程量，与路径有关。
3）合力的功 = 分力的功的代数和
b
b
A
F dr
a
a (F1 F2
) dr
b
b
a F1 dr a F2 dr
A1 A2
4）A在直角ab F坐 标dr系中a功b( F的xd解x析 F式yd：y Fzd z )
教学基本要求
一 掌握功的概念，能计算变 力的功，理解保守力作功的特点及势 能的概念，会计算万有引力、重力和 弹性力的势能。
二 掌握动能定理、功能原理 和机械能守恒定律，掌握运用守恒定 律分析问题的思想和方法。
1
4.1 功 动能定理
一、功与功率 力对空间积累效应用功来表示。
1、恒力直线运动的功
用力—外力的功Ai外，又包括质点系内其它质点 所施的作用力—内力的功Ai内。
Ai外
Ai内
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
17
对所有质点求和：
Ai外
Ai内
1 2
mi vi2
1 2
mi
vi20
式中：
1 2
m
i
v
2 i
为质点系的动能，用
Ek
表示
有： Ai外 Ai内 Ek Ek0 ΔEk
注意
功和动能都与 参考系有关；动能
定理仅适用于惯性系 .
12
明确几点：
b
Ek
F dr
a
1）动能定理的实质，说明了力的空间积累 效应是改变了物体的动能。
2） 功是过程量，动能是状态量，动能定理 建立起过程量功与状态量动能之间的关系。 在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的 动能变化，即求出该过程的功。
比如: 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，
而子弹对墙的摩擦力不作功，所以 A内 0 19
例题 质量为m的小球系在线的一端，线的另一端 固定在墙壁钉子上，线长为l。拉动小球使线保持
水平静止后松手，求线摆下 θ角时小球的速率。
解：
θ
dθ
以 m 为研究对象，受两力 mg和T
Amg mg dr mg cosθds
5
5）作功与参照系有关。
f静
例如：传送带将箱子从
低处运到高处，地面上
的人看摩擦力作功了，
而站在传送带上的人看
摩擦力没有作功。
2. 功率 表征作功快慢的物理量。
定义：Δ力A在单dA位时F间 内dr所作的功
P lim
F v Fυ cosθ
Δt0 Δt dt
dt
6
例题 某质点沿x轴作直线运动，受力为
解：(1)建坐标系如图
l-a O
f μmg(l x) / l
Af
l f dr
a
l μmg (l x)dx al
μmg (l x)2 l μmg (l a)2
a x
2l
a
2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
m
l
T
v
ds
mg
θ
mg cosθldθ mgl sin θ 0
A
AT
Amg
1 2
mυ2
0
v
AT 0
2gl sinθ
20
例题 一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并 使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑
动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：1）
到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多 少功？2）链条离开桌面时的速率是多少？
r
dr
rb
移）；
b
2）在这段位移上质点受的力可以看成
是恒力， 在该微过程中的 元功为：
dA F dr F cosθ | dr |
F 1
３）总功等于各段上元
θ 1
功的代数和，即：
b b
a
dr
A dA a F dr a F cosθds
3
b b
r (t)
dr
M r(t dt)
A rb G Mm dr
ra
r2
A
(G
Mm rb
)
(G
Mm ra
)
O
b
r (t)
dr
r(t dt)
r
dr
xdx
ydy
zdz
1 2
d
(
x2
y2
z2
)
1 2
d(r
2
)
rd26r
二 保守力和非保守力
b
b
b
A
F dr
a
F cos ds mg
a
a
dy
mg(
yb
ya
9
)
计算功的基本步骤∶
• 建立坐标系； • 在过程区间任选一元位移； • 写出元功,分析变量关系； • 积分计算功； • 分析结果的物理意义。
由此例我们看到，功的计算主要在把握 对元功的分析，不论力是在变还是位移的方 向在变，我们都只抓住任一元位移中，都可 视它们是不变的，因而可写出元功，这叫做 微元法。
保守力的功与势能增量的关系：
A保 [(E(rb ) E(ra )] Ep
——保守力做功等于相关势能增量的负值
重力势能： E p (h) mgh c
弹性势能： 万有引力势能：
E E
p p
( x) 1 kx2 c 2 mM
(r) G c r
万有引力的功： A [(G mM ) (G mM )]
rb
ra
通式： A保 [E(rb ) E(ra )]
保守力做功改变的能量仅由系统内各物体
之间的相互作用和相对位置所决定。这种能
量称为系统的势能。用Ep表示。 29
定义： 势能是与物体间相互作用及相对位置 有关的能量，用 Ep 表示
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a2 ) μ(l a)2 2
22
4.2 保守力的功 势能
一、重力的功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
A
b
P
d r
zb mgdz
a
za
(mgzb mgza )
ya
θ
r dr
P
A外 A内 ΔEk
外力作功与内力作功代数和，等于质点系总 动能的增量。 ——质点系的动能定理
18
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变 系统的总动量。
因为内力总是成对出现，而一对作用力反 作用力的冲量为零，因而内力不能改变系统 的动量。
但是由于质点系内各质点间可以有相对位 移，一般情况下，内力的功不一定为零，所以 内力作功可以改变质点系的总动能。
a
F
G
Mm r3
r
m
r(t)
dr
M
r(t dt)
m由 a 点移动到 b点时 F 作功为 O
A
F
dr
b
G
Mm
r
dr
a
r3
b
25
A
F
dr
b
a
G
Mm r3
r
dr
r dr r dr cosφ rdr
a
m
A dA F dr F cosθds
a
a
力的功就是质点所受的力沿质点运动路
径的线积分 dA F dr
F
cosθ dr
F cosθds
说明：1）功是标量，没有方向，但有大小正负。
0 θ 90, dA 0
b
90 θ 180, dA 0 F θ dr
14
二 、质点系的动能定理
1. 一对作用力与反作用力的功
d某设t时参f1间2照与f1内2系f，有21 是f位m21 质1移和点dmrm12相1和、对dm于r22的一对作y用rm1力1dr反1f12作r2 f用21dm力r22
这一对相互作用 力作功之 和为： z
b
x
O
A mgdz 0
23
二、弹性力的功
F kxi
F
x
o xa xb
A xb Fdx xb kxdx
xa
xa
A
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
A kxdx 0 24
三、 万有引力的功
r 以 M 为参考系，m的位置矢量为 .
M 对 m 的万有引力为
F (4 5x)i N ，试求质点从 x0 0移动到
x 10m 的过程中该力的功。
解：
A
F dr
(4 5x)i dxi
10
(4 5x)dx 290J 0
7
例题
质量为2kg的质点在力
F＝12ti
(SI) 的
作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。
其中一个质点受的力点乘其相对
2
另一个质点的位移。
z
O
x
由于一对作用力的功只取决于两质点间 的相对位移，因而与参照系的选择无关。
16
2.质点系的动能定理
对其中第i个质点，动能定理可写为：
Ai
1 2
mi
vi2
1 2
mi
vi20
Ai是作用在第i个质点上的所有力对质点i所作 的功，它既包括质点系以外其它物体所施的作
Ftds，
Ft
m
dυ dt
A
m v2 dυ ds v1 dt
v2 v1
mυdυ
1 2
mυ22
1 2
mυ12
Ek
1 2
mυ2
是描写物体运动状态的 物理量，称为动能 。
b
质点的动能定理为：
F θ dr
A Ek 2 Ek1 ΔEk
a
合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
A＝ F
dr
Fdx
F
dxdt dt
Fvdt
v v0
t
adt
0
0
t F dt 0m
t 12t dt 3t 2 02
A
3
12t
3t
2dt
3 36t 3dt 9t 4 729J
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于 相互作用质点的始末位置 .
重力功 A (mgzb mgza )
a
C
弹力功
A
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
D
引力功
A
(G
Mm rb
)
(G
Mm ra
)
b
F dr F dr
aCb
aDb
27
A＝AP＋Af
1 2
m
v2
1 2
m
v02
x
v0 0 AP＋Af
1 m v2 2
x
l
l mg
mg (l 2 a 2 )
AP
p dr
a
a
l
xdx
2l
前已得出：A f
μmg (l a)2 2l
mg (l 2 a 2 ) μmg (l a)2 1 mv 2
0
0
8
例题 一抛体质量 m ，计算从 a 到 b 这段路 程中重力的功。
解： 抛体在重力场中运动，
mg 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移 dr
dr b
a
mg 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA F dr mg dr
mg ds cos mg dy
aΒιβλιοθήκη BaiduC
D
物体沿闭合路径运动 一周时,
b
保守力对它所作的功等于零 .
非保守力: 力所作的功与路径有关。 （例如摩擦力、爆炸力等）
28
三、势能 作功的结果是使系统的能量改变
重力的功： A (mghb mgha )
弹力的功：
A
(
1 2
kxb 2
1 2
kxa 2
)
O
x
dAdr12ff1为122 mddrr111相2对f2于1 令dmr：22的r1 位fr122移 d。r1(2r1 r2 )
15
d同A理一：对f1d2相A d互r1作2f21用 d力rd21的r12总为功m等1相于对于y mrm121d的r1f位12r移f21。dmr22
A F cosθ | Δr | F Δr
在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
位移无限小时：
dA
F
dr
F
θ
F
dA 称为元功
元功——质点发生微小的位
ΔSr
移过程中，力所作的功
2
2.变力曲线运动的功 解决方法：由微积分的方法
F cosθ
1段），把任路取径一无小限段分位割移成d许r（多元小位 o ra
10
在计算变力的功时，必须知道力随位移的 函数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂， 难于找出这种固定的函数关系，使变力功的计 算变得复杂。
力对物体作功，其效果是使质点的运动 状态发生变化。
作功和物体状态变化有什么关系？
二、动能定理
11
1、质点的动能定理
A F dr Ft dr
a
θ 90 F dr dA 0
4
2）功是过程量，与路径有关。
3）合力的功 = 分力的功的代数和
b
b
A
F dr
a
a (F1 F2
) dr
b
b
a F1 dr a F2 dr
A1 A2
4）A在直角ab F坐 标dr系中a功b( F的xd解x析 F式yd：y Fzd z )
教学基本要求
一 掌握功的概念，能计算变 力的功，理解保守力作功的特点及势 能的概念，会计算万有引力、重力和 弹性力的势能。
二 掌握动能定理、功能原理 和机械能守恒定律，掌握运用守恒定 律分析问题的思想和方法。
1
4.1 功 动能定理
一、功与功率 力对空间积累效应用功来表示。
1、恒力直线运动的功
用力—外力的功Ai外，又包括质点系内其它质点 所施的作用力—内力的功Ai内。
Ai外
Ai内
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
17
对所有质点求和：
Ai外
Ai内
1 2
mi vi2
1 2
mi
vi20
式中：
1 2
m
i
v
2 i
为质点系的动能，用
Ek
表示
有： Ai外 Ai内 Ek Ek0 ΔEk
注意
功和动能都与 参考系有关；动能
定理仅适用于惯性系 .
12
明确几点：
b
Ek
F dr
a
1）动能定理的实质，说明了力的空间积累 效应是改变了物体的动能。
2） 功是过程量，动能是状态量，动能定理 建立起过程量功与状态量动能之间的关系。 在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的 动能变化，即求出该过程的功。
比如: 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，
而子弹对墙的摩擦力不作功，所以 A内 0 19
例题 质量为m的小球系在线的一端，线的另一端 固定在墙壁钉子上，线长为l。拉动小球使线保持
水平静止后松手，求线摆下 θ角时小球的速率。
解：
θ
dθ
以 m 为研究对象，受两力 mg和T
Amg mg dr mg cosθds
5
5）作功与参照系有关。
f静
例如：传送带将箱子从
低处运到高处，地面上
的人看摩擦力作功了，
而站在传送带上的人看
摩擦力没有作功。
2. 功率 表征作功快慢的物理量。
定义：Δ力A在单dA位时F间 内dr所作的功
P lim
F v Fυ cosθ
Δt0 Δt dt
dt
6
例题 某质点沿x轴作直线运动，受力为
解：(1)建坐标系如图
l-a O
f μmg(l x) / l
Af
l f dr
a
l μmg (l x)dx al
μmg (l x)2 l μmg (l a)2
a x
2l
a
2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
m
l
T
v
ds
mg
θ
mg cosθldθ mgl sin θ 0
A
AT
Amg
1 2
mυ2
0
v
AT 0
2gl sinθ
20
例题 一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并 使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑
动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：1）
到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多 少功？2）链条离开桌面时的速率是多少？
r
dr
rb
移）；
b
2）在这段位移上质点受的力可以看成
是恒力， 在该微过程中的 元功为：
dA F dr F cosθ | dr |
F 1
３）总功等于各段上元
θ 1
功的代数和，即：
b b
a
dr
A dA a F dr a F cosθds
3
b b
r (t)
dr
M r(t dt)
A rb G Mm dr
ra
r2
A
(G
Mm rb
)
(G
Mm ra
)
O
b
r (t)
dr
r(t dt)
r
dr
xdx
ydy
zdz
1 2
d
(
x2
y2
z2
)
1 2
d(r
2
)
rd26r
二 保守力和非保守力
b
b
b
A
F dr
a
F cos ds mg
a
a
dy
mg(
yb
ya
9
)
计算功的基本步骤∶
• 建立坐标系； • 在过程区间任选一元位移； • 写出元功,分析变量关系； • 积分计算功； • 分析结果的物理意义。
由此例我们看到，功的计算主要在把握 对元功的分析，不论力是在变还是位移的方 向在变，我们都只抓住任一元位移中，都可 视它们是不变的，因而可写出元功，这叫做 微元法。
保守力的功与势能增量的关系：
A保 [(E(rb ) E(ra )] Ep
——保守力做功等于相关势能增量的负值
重力势能： E p (h) mgh c
弹性势能： 万有引力势能：
E E
p p
( x) 1 kx2 c 2 mM
(r) G c r
万有引力的功： A [(G mM ) (G mM )]
rb
ra
通式： A保 [E(rb ) E(ra )]
保守力做功改变的能量仅由系统内各物体
之间的相互作用和相对位置所决定。这种能
量称为系统的势能。用Ep表示。 29
定义： 势能是与物体间相互作用及相对位置 有关的能量，用 Ep 表示
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a2 ) μ(l a)2 2
22
4.2 保守力的功 势能
一、重力的功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
A
b
P
d r
zb mgdz
a
za
(mgzb mgza )
ya
θ
r dr
P
A外 A内 ΔEk
外力作功与内力作功代数和，等于质点系总 动能的增量。 ——质点系的动能定理
18
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变 系统的总动量。
因为内力总是成对出现，而一对作用力反 作用力的冲量为零，因而内力不能改变系统 的动量。
但是由于质点系内各质点间可以有相对位 移，一般情况下，内力的功不一定为零，所以 内力作功可以改变质点系的总动能。
a
F
G
Mm r3
r
m
r(t)
dr
M
r(t dt)
m由 a 点移动到 b点时 F 作功为 O
A
F
dr
b
G
Mm
r
dr
a
r3
b
25
A
F
dr
b
a
G
Mm r3
r
dr
r dr r dr cosφ rdr
a
m
A dA F dr F cosθds
a
a
力的功就是质点所受的力沿质点运动路
径的线积分 dA F dr
F
cosθ dr
F cosθds
说明：1）功是标量，没有方向，但有大小正负。
0 θ 90, dA 0
b
90 θ 180, dA 0 F θ dr
14
二 、质点系的动能定理
1. 一对作用力与反作用力的功
d某设t时参f1间2照与f1内2系f，有21 是f位m21 质1移和点dmrm12相1和、对dm于r22的一对作y用rm1力1dr反1f12作r2 f用21dm力r22
这一对相互作用 力作功之 和为： z
b
x
O
A mgdz 0
23
二、弹性力的功
F kxi
F
x
o xa xb
A xb Fdx xb kxdx
xa
xa
A
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
A kxdx 0 24
三、 万有引力的功
r 以 M 为参考系，m的位置矢量为 .
M 对 m 的万有引力为
F (4 5x)i N ，试求质点从 x0 0移动到
x 10m 的过程中该力的功。
解：
A
F dr
(4 5x)i dxi
10
(4 5x)dx 290J 0
7
例题
质量为2kg的质点在力
F＝12ti
(SI) 的
作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。
其中一个质点受的力点乘其相对
2
另一个质点的位移。
z
O
x
由于一对作用力的功只取决于两质点间 的相对位移，因而与参照系的选择无关。
16
2.质点系的动能定理
对其中第i个质点，动能定理可写为：
Ai
1 2
mi
vi2
1 2
mi
vi20
Ai是作用在第i个质点上的所有力对质点i所作 的功，它既包括质点系以外其它物体所施的作
Ftds，
Ft
m
dυ dt
A
m v2 dυ ds v1 dt
v2 v1
mυdυ
1 2
mυ22
1 2
mυ12
Ek
1 2
mυ2
是描写物体运动状态的 物理量，称为动能 。
b
质点的动能定理为：
F θ dr
A Ek 2 Ek1 ΔEk
a
合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
A＝ F
dr
Fdx
F
dxdt dt
Fvdt
v v0
t
adt
0
0
t F dt 0m
t 12t dt 3t 2 02
A
3
12t
3t
2dt
3 36t 3dt 9t 4 729J
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于 相互作用质点的始末位置 .
重力功 A (mgzb mgza )
a
C
弹力功
A
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
D
引力功
A
(G
Mm rb
)
(G
Mm ra
)
b
F dr F dr
aCb
aDb
27
A＝AP＋Af
1 2
m
v2
1 2
m
v02
x
v0 0 AP＋Af
1 m v2 2
x
l
l mg
mg (l 2 a 2 )
AP
p dr
a
a
l
xdx
2l
前已得出：A f
μmg (l a)2 2l
mg (l 2 a 2 ) μmg (l a)2 1 mv 2
0
0
8
例题 一抛体质量 m ，计算从 a 到 b 这段路 程中重力的功。
解： 抛体在重力场中运动，
mg 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移 dr
dr b
a
mg 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA F dr mg dr
mg ds cos mg dy