对有限范围内部分孪生素数的一些探讨-1

对有限范围内部分孪生素数的一些探讨

1 孪生素数的补集

将自然数集合N中每一个元素后面分别添加数字1、3，若形成的两个新数字是一对孪生素数，则将N集合中的这类元素放入A集合，否则放入B集合。显然指代孪生素数的A 集合是指代非孪生素数的B集合的补集，合集为自然数集合N。也可以这样认为：孪生素数存在补集。

本文只研究个位为1、3的孪生素数。

2 无个位合数公式

A集合中的元素很难直接得到，而B集合中的元素可以通过多个公式计算得到。并通过A、B集合互补,筛出A集合元素。

当两个自然数相乘的结果个位为3时，这两个自然数的个位有且仅有两种组合1、3或7、9。如自然数(10k+1)乘以自然数(10i+3)，可以将其转化为如下形式：10[(10i+3)k+i]+3。此式可以去掉个位并形成简化形式 (10i+3)k+i。这种计算结果不包含自然数个位的公式，本文称之为“无个位合数公式”。

同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下:

个位为1：(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8

个位为3：(10i+3)k+i、(10i+7)k+9i+6

个位为7：(10i+7)k+i、(10i+3)k+9i+2

个位为9：(10i+9)k+i、(10i+3)k+3i、(10i+7)k+7i+4

3 孪生素数筛法

个位为1和个位为3的5组无个位合数公式计算出的所有解就是上述B集合中的所有元素，而不是解的自然数就是A集合中的所有元素。

如通过这5组公式计算自然数10以内的B集合元素时，得到的解是2、3、5、6、8、9。因A、B互补，则A集合中的元素是剩余的4个数字1、4、7、10。A集合中的数字添加个位1、3后就是孪生素数：11-13、41-43、71-73、101-103。

4 等差数列

每一组公式计算的解可以排列成很多个等差数列。

如个位为3的无个位合数公式(10i+3)k+i计算结果是：

当i=0时，计算的解是： 3、 6、 9、12、 15、18 ......

当i=1时，计算的解是：14、27、40、53、 66、79 ......

当i=2时，计算的解是：25、48、71、94、117、140......

这些等差数列有10以内的三个解：3、6、9，另三个解2、5、8通过剩余4组公式得到。

这些解在横向上是等差数列，在纵向上也是等差数列。如各个等差数列的首项也是一个等差数列，这里的首项形成的等差数列是3、14、25。这个现象的形成原因是：横向形成等差数列是公式中i值固定的结果，纵向形成等差数列是公式中k值固定的结果。其结果是：

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当统计范围扩大一倍时，扩大部分的解全部在现有等差数列的延伸部分上。如i=0时，解的范围由3、6、9延伸到12、15、18。

在有限范围内，将原有统计范围由自然数M以内扩展到2M以内，只要将这些等差数列在横向和纵向上分别延伸一倍即可得到全部解。M范围内的等差数列与M-2M范围内的等差数列是相同等差数列不同区域。而两个区间长度又是相同的，这样通过容斥原理计算这两个区间不同元素数量就是非常相近的。用手工可以统计出自然数M以内B集合元素的数量。而M-2M之间B集合中元素的数量与自然数M以内B集合元素的数量又是相近的。这时作为B集合的补集，M以内及M-2M之间A集合的元素数量也就是相近的。

4 结论

1、个位为1、3的孪生素数存在补集B集合。可通过公式计算出补集B集合中的元素。

2、个位为1、3的孪生素数可以由筛法得到。在自然数集合中筛去B集合中的元素，剩余A集合中的元素全部可以指代个位为1、3的孪生素数。

3、在有限范围内，当统计范围增大时，A集合中的元素数量会随之增加，也就是个位为1、3的孪生素数数量随之增加。

同理，三胞胎素数、四胞胎素数亦如此。

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