现代控制理论

现代控制理论
摘要
最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。

它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。

最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。

一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。

然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。

系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。

因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。

变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。

庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。

尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。

关键词：最优控制；控制规律；最优性能指标；线性二次型
一绪论
1.1背景和意义
要求将最优控制问题典型解决方法变分法、极值原理和动态规划及其在时间最短控制问题的应用和线性二次型最优控制问题（包括线性二次型实验及仿真结果）作为主要内容。

其中有关线性二次型的实验要利用MATLAB软件建立数学模型及仿真并作对结果一定的分析。

通过理论与实践操作加深对最优控制这门课程的理解，使之能应用于以后的学习和工作。

1.2主要内容现代控制理论是在经典控制理论基础上逐步发展起来的。

其基本内容包括：线性系统的状态空间理论，最优估计与最优滤波、最优控制理论，系统辨识理论、鲁棒控制、自适应控制。

它以状态空间法为基础，研究多输入多输出、变参数、非线性、高精度、高效能等控制系统的分析与设计问题。

我们这个学期学习的是现代控制理论中一个重要核心部分：最优控制。

在上个世纪50年代初期，就出现了最短时间控制问题研究的论文，为最优控制理论的应用提供了第一批模型。

实际上，任何问题都存在优化问题。

优化问题可以分成两大类：参数最优化问题和最优控制问题。

参数最优化问题也称为静态最优化问题，它可以被抽象为在各种约束条件下的函数求极值的问题。

最优控制问题又称为动态最优化问题，它可以被数学抽象为在各种约束条件下泛函求极值的问题。

泛函求极值世纪上就是变分问题。

经典变分法只能解决一类简单
的最优控制问题，因为它只适于研究不带闭域约束而且数学模型要具有足够的可微性的场合。

但实际问题往往具有闭域约束，而且往往不具备所需的可微性。

这样，就需要探索新的理论和新的方法，以便求解各种实际的最优控制问题。

在这些新的方法中，苏联学者庞德里亚金与20世纪50年代提出的“最大值原理”和美国学者贝尔曼与同一时期提出的“动态规划”具有特别重要的意义。

这两种方法从不同的角度发展了经典变分学，完善了最优控制理论，推动了最优控制理论的实际应用。

卡尔曼在60年代初提出和解决的线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题，可以构成最优闭环反馈系统，在工程上实用价值很大。

二线性二次型最优控制
2.1线性二次型问题概述
线性二次型最优控制问题，也叫LQ问题。

它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。

线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。

它能兼顾系统性能指标的多方面因素。

例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。

线性二次型最优控制目标是使性能指标J取得极小值,其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。

2.2线性二次型问题的提法
2.3线性二次型最优控制在倒立摆系统中的应用
2.3.1倒立摆系统与线性二次型倒立摆系统是非线性、强藕合、多变量和自然不稳定的系统. 在控制过程中, 它能有效的反映控制理论中诸如系统稳定性、可控性、鲁棒性、系统收敛速度、随动性以及跟踪等问题, 是检验各种控制理论的理想模型. 线性二次型最优控制(Linear Quadratic Regulator —LQR) 问题在现代控制理论中占有非常重要的位置.由于线性二次型(LQ)性能指标易于分析、处理和计算,而且通过线性二次型最优设计方法得到的控制系统具有较好的鲁棒性与动态特性等优点,线性二次型在控制界得到普遍重视.通过倒立摆LQR最优控制系统设计与研究,并从实时控制效果出发,找出系统的动态响应与加权阵Q和R之间的变化规律,并用于指导实践。

小结
《现代控制理论》这门课程就像老师说的一样，一开始学的时候确实很迷茫很枯燥，看到课件上一堆堆高难度的数学推导，刚开始学的时候感觉很头疼，甚至一开始连泛函的具体含义是什么都很模糊，更不用说怎么求泛函的极值的问题了。

但是兴趣是最好的老师确实没错。

我试着上课抱着一种扩宽知识面的轻松的心态去听课，发现其实《最优控制》这门课还是挺有实用价值的。

而且其中包含的内容很广，与生活中的自动化控制息息相关，对这些只是有一定的涉足对我们将来的发展很有好处。

在写论文的过程中，由于对之前学的知识没有很好的消化，所以碰到了很多的困难。

我通过经常去图书馆查阅资料，上网搜索，和同学讨
论等方式将困难一一解决，使自己真正学到东西。

学习最重要的是发现问题，提出问题和独立解决问题的能力，我对此有深刻体会。

通过这次写论文，我在学习和生活的其他方面都有很深刻的感悟：首先，不管做什么事情都要有一个坚定的信念支撑自己坚持下去，遇到困难不退缩，努力寻求解决问题的办法；第二，由于在课堂上接受的知识很有限，但是实际运用中需要用到的知识很多很广泛，所以培养自我学习的能力很重要。

作为研究生，应该广泛阅读书籍汲取知识，用过硬的专业知识武装自己；第三，在学习过程中，要注重将书本理论知识运用到实际应用中才是有价值的；最后也是最重要的，作为工科学生，不管是写论文还是做实验，培养科学严谨的学术态度很重要。

现
代
控
制
理
论
班级数学11-3 姓名牛楠
学号10114535。