离散数学--第三章 谓词逻辑基本概念
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在谓词逻辑中，将命题符号化时，要分析到个 体词，谓词和量词。并要注意以下三点： (1)明确个体域 若预先指出个体域，比如说实数域，人类集合, 就要在给定个体域中将命题符号化。若预先没 有给定个体域，就要使用全总个体域。 (2)正确地使用全称量词与存在量词。 (3)正确地使用1元谓词与 n(n ≥ 2) 元谓词。
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
【定义3.2.5】解释 定义 】 由下面4个部分构成 个部分构成： 一个解释I由下面 个部分构成： （1）非空的个体域D； ） （2）D上一部分特定的元素； ） 上一部分特定的元素； （3）D上一些特定的函数； ） 上一些特定的函数； （4）D上一些特定的谓词。 ） 上一些特定的谓词。
是猫， 是好的， 是猫，G ( x) : x 是好的， M ( y ) : y 是老鼠， H ( x, y ) : x捉住 y 是老鼠， 。
F ( x) : x
∀x∃y ( F ( x) ∧ M ( y ) ∧ H ( x, y ) → G ( x ))
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
〖例3.1.2〗将下列命题符号化： 〗 (1)实数不都是有理数。 (2)没有不呼吸的人。 (3)正数大于负数。 (4)有的汽车比所有的火车快。 (5)每个学生都有计算机或者有一个有计算机的同 学。 (6)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 (7)不管白猫黑猫，捉住老鼠就是好猫。
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
是正数， 是负数， （3）令 F ( x) : x 是正数，G ( x) : x 是负数， ） L ( x, y ) : x 大于 y。
∀x ( F ( x ) → ∀y (G ( y ) → L( x, y )))
（4）令 ）
是汽车， G ( x) : x 是火车， 是火车， 是汽车， H ( x, y ) : x比 y 快。
【定义3.2.1】项 定义 】 （1）个体常项和个体变项是项； ）个体常项和个体变项是项； 是任意的n元函数 元函数， （2）设 ϕ ( x , x ,..., x ) 是任意的 元函数，t , t ,..., t ） 是项， 是项； 是项，则 ϕ (t , t ,..., t )是项； ），（2） （3）有限次地使用（1），（ ）形成的 ）有限次地使用（ ），（ 符号串是项。 符号串是项。
1 2 n
（1）原子公式是合式公式； ）原子公式是合式公式； 是合式公式， ﹁ 也是合式公式 也是合式公式； （2）若A是合式公式，则(﹁A)也是合式公式； ） 是合式公式 ) 是合式公式， （3）若A,B是合式公式，则 ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A → B ), ( A ↔ B也是 ） 是合式公式 合式公式； 合式公式； 是合式公式， 也是合式公式。 （4）若A是合式公式，则 (∀xA), (∃xA) 也是合式公式。 ） 是合式公式 （5）有限次地应用 ）有限次地应用(1)~(4)形成的字符串是合式公式
苏格拉底三段论是个典型的例子，他说： “任何人都是要死的。苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。” 在命题逻辑中，上面推理的形式结构为
( p ∧ q) → r
Dr Chen Guangxi
苏格拉底
苏格拉底（Socrates；
公元前469—公元 前399），著名的 古希腊哲学家，他 和他的学生柏拉图 及柏 拉图的学生 亚里士多德被并称 为“希腊三贤 希腊三贤”。 希腊三贤
Dr Chen Guangxi
N
3.2 谓词公式的分类与解释
〖例3.2.1〗给定解释如下： 〗给定解释如下： 自然数集合）； （1）个体域 D = N （自然数集合）； ） N （2） 中特定的元素a = 0 ； ） f N （3） 上特定函数： ( x, y ) = x + y, g ( x, y ) = x ⋅ y ） 上特定函数： N F （4） 上特定的谓词，( x, y )为 x = y 。 ） 上特定的谓词， 在解释下，下列公式中哪些为真？ 在解释下，下列公式中哪些为真？哪些 为假？哪些真值还不能确定？ 为假？哪些真值还不能确定？
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第三章 谓词逻辑基本概念
目标:
掌握谓词、特性谓词、量词等基本概念 掌握符号化基本方法 熟练运用谓词等值命题演算方法计算前束范 式 了解谓词消去方法
∀x∀y∃z ( x + y = z )
这也是真命题。 这也是真命题。
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
（4）公式被解释为 ∀x∀y ( x + y = x ⋅ y ) ） 这是假命题。 这是假命题。 （5）公式被解释为 ∀x∃yF ( x, f ( y + a)) ） 这是真命题。 这是真命题。 （6）公式被解释为 ∃x∀yF ( x, y ) ） 这是假命题。 这是假命题。 （7）公式被解释为 x + y = y + z ） 它的真值不能确定，不是命题. 它的真值不能确定，不是命题
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
∀ 在公式 ∀x( F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z )))中， x 的 ( 辖域为： 辖域为：F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z ))) ∃y 的辖域为：G ( y ) ∧ L( x, y, z )) ( 的辖域为： ∀x 中的 x 和 ∃y 的都是指导变量。 中 y 的都是指导变量。x 的出 F 现都是约束的， 是自由出现的， 现都是约束的，( x, y)中的 y 是自由出现的， 是约束出现的， 与G ( y)中的 y 是约束出现的，z 的出现是自 由的。它们都不是闭式。 由的。它们都不是闭式。而 ∀x ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ↔ R ( x )) 为闭式。 为闭式。
F ( x) : x
∃x ( F ( x ) ∧ ∀y (G ( y ) → H ( x, y )))
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
（5）令 ）
F ( x ) : x 是学生，G ( x ) : x 是计算机， 是学生， 是计算机，
y是同学。 是同学。
H ( x, y ) : x和
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
〖例3.1.1〗将下列命题符号化： 〗 (1)实数不是有理数就是无理数。 (2)有的实数是有理数。 分析：分两种情况考虑：第一种情况， 个体域为实数集。第二种情况，没有指 明个体域，则个体域为全总个体域。
Dr Chen Guangxi
∀x ( F ( x ) → (G ( x ) ∨ ∃y ( F ( x ) ∧ H ( x, y ) ∧ G ( y ))))
（6）令 ） （7）令 ）
H F ( x ) : x 是人， ：我， ( x, y ) : x 犯 y a 是人， 。
∀x( F ( x ) ∧ ¬H ( x, a ) → ¬H ( a, x)) ∧ ∀x( F ( x ) ∧ H ( x, a ) → H ( a, x))
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
(1) ∀xF ( g ( x, a ), x) (2) ∀x∀y ( F ( f ( x, a), y ) → F ( f ( y, a), x)) (3) ∀x∀y∃zF ( f ( x, y ), z ) (4) ∀x∀yF ( f ( x, y ), g ( x, y )) (5) ∀x∃yF ( x, f ( y + a)) (6) ∃x∀yF ( x, y ) (7) F ( f ( x, y ), f ( y, z ))
【定义3.1.3】量词 定义 】 量词是表示数量的词。 常用的量词有两种，一种是全称量词， 表示“每一个”，“所有的”，“任意 ∀ 的”，“一切的”等。用 表示全称量 词。 ∃ 另一种是存在量词，表示“存在着”， “至少有一个”，“有的”等，用 符 号表示存在量词。
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
学习建议:
对照命题逻辑知识熟悉谓词公式逻辑意义 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第三章 谓词逻辑基本概念
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、 3.2 谓词公式的分类与解释 3.3 等值演算与前束范式、 等值演算与前束范式、 SKOLEM标准形 标准形
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
Dr Chen Guangxi
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
( p ∧ q) → r
是不是重言式？ 这个正确的推理在命题逻辑中不能判断。 其原因是： p, q, r 之间的内在联系反映不 出来。为了克服命题逻辑的局限性，要将命题 再细分，分析出个体词，谓词和量词来。
Dr Chen Guangxi
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3.2 谓词公式的分类与解释
【定义3.2.4】辖域 指导变量 约束变元 自由 定义 】 变元 闭式 是相应量词的辖域， （1）在公式 ∀xA 和∃xA中，A是相应量词的辖域， ） 是相应量词的辖域 x称为指导变量。 称为指导变量。 称为指导变量 （2）在公式 ∀xA和∃xA中，x的所有出现都是约束 ） 的所有出现都是约束 出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的； 出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的； 约束出现的变元称为约束变元； 约束出现的变元称为约束变元；自由出现的变 元称为自由变元。 元称为自由变元。 是任意公式， （3）设A是任意公式，若A中没有自由出现的个 ） 是任意公式 中没有自由出现的个 体变元，则称A为封闭公式 简称闭式。 为封闭公式， 体变元，则称 为封闭公式，简称闭式。
1 2 n
1
2
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1Βιβλιοθήκη Baidu
2
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3.2 谓词公式的分类与解释
【定义3.2.2】原子公式 定义 】 是任意的n元谓词 元谓词， 设 R( x1 , x2 ,..., xn )是任意的 元谓词，t1 , t 2 ,..., t n 是 是原子公式。 项，则称 R(t , t ,..., t ) 是原子公式。 定义3.2.3】合式公式 【定义 】
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
题目中没对个体域提出要求， 解: 题目中没对个体域提出要求，因而应 使用全总个体域。 使用全总个体域。 是实数， 是有理数。 （1）F ( x) : x 是实数， G ( x) : x 是有理数。这 ） 就是特性谓词。 里 F ( x) 就是特性谓词。 ¬∀x( F ( x ) → G ( x ))或 ∃x( F ( x) ∧ ¬G ( x)) 是人， 要呼吸。 （2）F ( x) : x 是人，G ( x) : x 要呼吸。这里 ） F ( x ) 就是特性谓词。 就是特性谓词。 ¬∃x ( F ( x ) ∧ ¬G ( x ) 或 ∀x ( F ( x ) → G ( x ))
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3.2 谓词公式的分类与解释
∀ （1）在 I 下， xF ( g ( x, a ), x) 为 ∀x( x ⋅ 0 = x)，即 ） 而言， 对任意的自然数x而言，均有 x ⋅ 0 = x ， 这是假命题。 这是假命题。 （2）公式被解释为 ） ∀x∀y ( x + 0 = y → y + 0 = x) 这是真命题。 这是真命题。 （3）公式被解释为 ）
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
【定义3.1.1】个体词 定义 】 称可以独立存在的客体为个体词。 个体词可以是具体的事物，也可以是抽 象的概念。 定义3.1.2】谓词 谓词常项 谓词变项 【定义 】 刻划个体词性质及相互关系的词称为谓 词。
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
Dr Chen Guangxi
3.2 谓词公式的分类与解释
【定义3.2.5】解释 定义 】 由下面4个部分构成 个部分构成： 一个解释I由下面 个部分构成： （1）非空的个体域D； ） （2）D上一部分特定的元素； ） 上一部分特定的元素； （3）D上一些特定的函数； ） 上一些特定的函数； （4）D上一些特定的谓词。 ） 上一些特定的谓词。
是猫， 是好的， 是猫，G ( x) : x 是好的， M ( y ) : y 是老鼠， H ( x, y ) : x捉住 y 是老鼠， 。
F ( x) : x
∀x∃y ( F ( x) ∧ M ( y ) ∧ H ( x, y ) → G ( x ))
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3.2 谓词公式的分类与解释
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
〖例3.1.2〗将下列命题符号化： 〗 (1)实数不都是有理数。 (2)没有不呼吸的人。 (3)正数大于负数。 (4)有的汽车比所有的火车快。 (5)每个学生都有计算机或者有一个有计算机的同 学。 (6)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 (7)不管白猫黑猫，捉住老鼠就是好猫。
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
是正数， 是负数， （3）令 F ( x) : x 是正数，G ( x) : x 是负数， ） L ( x, y ) : x 大于 y。
∀x ( F ( x ) → ∀y (G ( y ) → L( x, y )))
（4）令 ）
是汽车， G ( x) : x 是火车， 是火车， 是汽车， H ( x, y ) : x比 y 快。
【定义3.2.1】项 定义 】 （1）个体常项和个体变项是项； ）个体常项和个体变项是项； 是任意的n元函数 元函数， （2）设 ϕ ( x , x ,..., x ) 是任意的 元函数，t , t ,..., t ） 是项， 是项； 是项，则 ϕ (t , t ,..., t )是项； ），（2） （3）有限次地使用（1），（ ）形成的 ）有限次地使用（ ），（ 符号串是项。 符号串是项。
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（1）原子公式是合式公式； ）原子公式是合式公式； 是合式公式， ﹁ 也是合式公式 也是合式公式； （2）若A是合式公式，则(﹁A)也是合式公式； ） 是合式公式 ) 是合式公式， （3）若A,B是合式公式，则 ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A → B ), ( A ↔ B也是 ） 是合式公式 合式公式； 合式公式； 是合式公式， 也是合式公式。 （4）若A是合式公式，则 (∀xA), (∃xA) 也是合式公式。 ） 是合式公式 （5）有限次地应用 ）有限次地应用(1)~(4)形成的字符串是合式公式
苏格拉底三段论是个典型的例子，他说： “任何人都是要死的。苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。” 在命题逻辑中，上面推理的形式结构为
( p ∧ q) → r
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苏格拉底
苏格拉底（Socrates；
公元前469—公元 前399），著名的 古希腊哲学家，他 和他的学生柏拉图 及柏 拉图的学生 亚里士多德被并称 为“希腊三贤 希腊三贤”。 希腊三贤
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N
3.2 谓词公式的分类与解释
〖例3.2.1〗给定解释如下： 〗给定解释如下： 自然数集合）； （1）个体域 D = N （自然数集合）； ） N （2） 中特定的元素a = 0 ； ） f N （3） 上特定函数： ( x, y ) = x + y, g ( x, y ) = x ⋅ y ） 上特定函数： N F （4） 上特定的谓词，( x, y )为 x = y 。 ） 上特定的谓词， 在解释下，下列公式中哪些为真？ 在解释下，下列公式中哪些为真？哪些 为假？哪些真值还不能确定？ 为假？哪些真值还不能确定？
离散数学
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第三章 谓词逻辑基本概念
目标:
掌握谓词、特性谓词、量词等基本概念 掌握符号化基本方法 熟练运用谓词等值命题演算方法计算前束范 式 了解谓词消去方法
∀x∀y∃z ( x + y = z )
这也是真命题。 这也是真命题。
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3.2 谓词公式的分类与解释
（4）公式被解释为 ∀x∀y ( x + y = x ⋅ y ) ） 这是假命题。 这是假命题。 （5）公式被解释为 ∀x∃yF ( x, f ( y + a)) ） 这是真命题。 这是真命题。 （6）公式被解释为 ∃x∀yF ( x, y ) ） 这是假命题。 这是假命题。 （7）公式被解释为 x + y = y + z ） 它的真值不能确定，不是命题. 它的真值不能确定，不是命题
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3.2 谓词公式的分类与解释
∀ 在公式 ∀x( F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z )))中， x 的 ( 辖域为： 辖域为：F ( x, y ) → ∃y (G ( y ) ∧ L( x, y, z ))) ∃y 的辖域为：G ( y ) ∧ L( x, y, z )) ( 的辖域为： ∀x 中的 x 和 ∃y 的都是指导变量。 中 y 的都是指导变量。x 的出 F 现都是约束的， 是自由出现的， 现都是约束的，( x, y)中的 y 是自由出现的， 是约束出现的， 与G ( y)中的 y 是约束出现的，z 的出现是自 由的。它们都不是闭式。 由的。它们都不是闭式。而 ∀x ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ↔ R ( x )) 为闭式。 为闭式。
F ( x) : x
∃x ( F ( x ) ∧ ∀y (G ( y ) → H ( x, y )))
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
（5）令 ）
F ( x ) : x 是学生，G ( x ) : x 是计算机， 是学生， 是计算机，
y是同学。 是同学。
H ( x, y ) : x和
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
〖例3.1.1〗将下列命题符号化： 〗 (1)实数不是有理数就是无理数。 (2)有的实数是有理数。 分析：分两种情况考虑：第一种情况， 个体域为实数集。第二种情况，没有指 明个体域，则个体域为全总个体域。
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∀x ( F ( x ) → (G ( x ) ∨ ∃y ( F ( x ) ∧ H ( x, y ) ∧ G ( y ))))
（6）令 ） （7）令 ）
H F ( x ) : x 是人， ：我， ( x, y ) : x 犯 y a 是人， 。
∀x( F ( x ) ∧ ¬H ( x, a ) → ¬H ( a, x)) ∧ ∀x( F ( x ) ∧ H ( x, a ) → H ( a, x))
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3.2 谓词公式的分类与解释
(1) ∀xF ( g ( x, a ), x) (2) ∀x∀y ( F ( f ( x, a), y ) → F ( f ( y, a), x)) (3) ∀x∀y∃zF ( f ( x, y ), z ) (4) ∀x∀yF ( f ( x, y ), g ( x, y )) (5) ∀x∃yF ( x, f ( y + a)) (6) ∃x∀yF ( x, y ) (7) F ( f ( x, y ), f ( y, z ))
【定义3.1.3】量词 定义 】 量词是表示数量的词。 常用的量词有两种，一种是全称量词， 表示“每一个”，“所有的”，“任意 ∀ 的”，“一切的”等。用 表示全称量 词。 ∃ 另一种是存在量词，表示“存在着”， “至少有一个”，“有的”等，用 符 号表示存在量词。
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
学习建议:
对照命题逻辑知识熟悉谓词公式逻辑意义 勤做练习
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第三章 谓词逻辑基本概念
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、 3.2 谓词公式的分类与解释 3.3 等值演算与前束范式、 等值演算与前束范式、 SKOLEM标准形 标准形
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
( p ∧ q) → r
是不是重言式？ 这个正确的推理在命题逻辑中不能判断。 其原因是： p, q, r 之间的内在联系反映不 出来。为了克服命题逻辑的局限性，要将命题 再细分，分析出个体词，谓词和量词来。
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3.2 谓词公式的分类与解释
【定义3.2.4】辖域 指导变量 约束变元 自由 定义 】 变元 闭式 是相应量词的辖域， （1）在公式 ∀xA 和∃xA中，A是相应量词的辖域， ） 是相应量词的辖域 x称为指导变量。 称为指导变量。 称为指导变量 （2）在公式 ∀xA和∃xA中，x的所有出现都是约束 ） 的所有出现都是约束 出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的； 出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的； 约束出现的变元称为约束变元； 约束出现的变元称为约束变元；自由出现的变 元称为自由变元。 元称为自由变元。 是任意公式， （3）设A是任意公式，若A中没有自由出现的个 ） 是任意公式 中没有自由出现的个 体变元，则称A为封闭公式 简称闭式。 为封闭公式， 体变元，则称 为封闭公式，简称闭式。
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3.2 谓词公式的分类与解释
【定义3.2.2】原子公式 定义 】 是任意的n元谓词 元谓词， 设 R( x1 , x2 ,..., xn )是任意的 元谓词，t1 , t 2 ,..., t n 是 是原子公式。 项，则称 R(t , t ,..., t ) 是原子公式。 定义3.2.3】合式公式 【定义 】
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
题目中没对个体域提出要求， 解: 题目中没对个体域提出要求，因而应 使用全总个体域。 使用全总个体域。 是实数， 是有理数。 （1）F ( x) : x 是实数， G ( x) : x 是有理数。这 ） 就是特性谓词。 里 F ( x) 就是特性谓词。 ¬∀x( F ( x ) → G ( x ))或 ∃x( F ( x) ∧ ¬G ( x)) 是人， 要呼吸。 （2）F ( x) : x 是人，G ( x) : x 要呼吸。这里 ） F ( x ) 就是特性谓词。 就是特性谓词。 ¬∃x ( F ( x ) ∧ ¬G ( x ) 或 ∀x ( F ( x ) → G ( x ))
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3.2 谓词公式的分类与解释
∀ （1）在 I 下， xF ( g ( x, a ), x) 为 ∀x( x ⋅ 0 = x)，即 ） 而言， 对任意的自然数x而言，均有 x ⋅ 0 = x ， 这是假命题。 这是假命题。 （2）公式被解释为 ） ∀x∀y ( x + 0 = y → y + 0 = x) 这是真命题。 这是真命题。 （3）公式被解释为 ）
3.1 谓词、个体词与量词 谓词、
【定义3.1.1】个体词 定义 】 称可以独立存在的客体为个体词。 个体词可以是具体的事物，也可以是抽 象的概念。 定义3.1.2】谓词 谓词常项 谓词变项 【定义 】 刻划个体词性质及相互关系的词称为谓 词。
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3.1 谓词、个体词与量词 谓词、