宋代的数学成就和著名的数学家

∙宋代的数学成就和著名的数学家

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∙宋朝数学家在方程论上的成就是相当高的，北宋数学家提出「增乘开方法」以后，到十三世纪初的南宋时期，又有「天元术」的运用，让代数学有了相当完整的发展系统。北宋数学家刘益，约在1080年（元丰三年）撰写著作<<论古根源>>，提出二次方程式的求根法。数学家贾宪在(黄帝九章细草)中，根据开方作法本源图的构造原理，创立了「增乘开方法」，不仅可以开平方和开立方，并可以运用在求任何高次方程式的正根。到了南宋，数学家秦九韶提出更为完备的算法。1247年（淳佑七年），秦九韶在<<数书九章>>中使用增乘开方法解高次方程式的例子很多。而西方数学家研究三次以上方程序的正根，大约是在十九世纪以后。沈括根据在水利工程、建筑工程和军事工程中计算土方和用料的方法，经过自己的研究，提出了「隙积术」。这是计算长方台形垛积的一种法，是求积方法的新创造。沈括之前，己有了计算各种立体体积的方法。但是它们只是把各种立体进行分割和拼合，由直观来证明它们的求积公式。沈括在「隙积术」中讨论了两类体积：一个是积，即实体，一个是隙，即虚隙。所谓「隙积」，是指球面有虚隙的堆积体的体积，如垒起来的瓮、缸、瓦盆之类或一层层筑起来的阶梯土台。「隙积术」采用分层计算，然后再用级数求和的办法。它以几何的表示法和独特的几何代数变换，来研究高阶等差级数的求和问题，用以求累层堆积的缸之类物体的总和，即高阶等差级数求总和的算法。这在数论的发展史上是十分重要的。南宋数学家杨辉和元朝数学家朱世杰，更进一步的加以研究，发展成为「垛积术」，解决了更为复杂的高阶等差级数求和问题。沈括在数学上的另一个重要贡献是「会圆术」。这是我国数学史上第一个求弓形弧长的近似公式。

贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法?古集》（二卷）（?xiào，意：数导）均已失传。

他的主要贡献是创造了贾宪三角和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。

杨辉一生编写的数学书很多，但散佚也很严重。据史料记载，他至少有以下书，曾在国内或国外刊行：

《详解九章算法》12卷（1261）

《详解算法》若干卷

《日用算法》（1262）

《乘除通变算宝》3卷（1274）

《续古摘奇算法如卷（1275）

《田亩比类乘除捷法如卷（1275）其中《详解九章算法》残缺不全，《详解算法》、《日用算法》迄今未见传本。而后3种共7卷合刊在一起，被称为《杨辉算法》。

杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图（即误传为“杨辉三角”），就是极其宝贵的数学史料。

杨辉继沈括研究“隙积术”之后，研究了“垛积术”，即关于高阶等差数列的研究。他首次将所谓“幻方”问题作为数学问题研究，并创“纵横图”之名。他给出了三阶至十阶

幻方的实例，对某些构成原理也有所研究。杨辉之前在中国尚无这方面的研究成果，杨辉之后，明、清两代中国数学家关于纵横图的研究相继不绝，因此杨耀的著述也是研究关于幻方乃至组合数学历史的珍贵资料。杨辉还非常关心日常计算技巧，改进算法程序。

杨辉不仅著述甚丰，而且是一位杰出的数学教育家。他特别注重数学的普及教育，其许多著作都是为此而编写的教科书。杨辉主张在数学教育中贯彻理论联系实际的原则，在《日用算法》中，他说：“以乘除加减为法，称斗尺田为问；用法必载源流，命题须责实用。”他还主张贯彻循序渐进的原则，在《算法通变本末》（即《乘除通变算宝》上卷）中，专门为初学者制了一份“司算纲目”，要求学习者抓住要领，反复练习，这是我国历史上第一部数学教学大纲。他又告诫初学者：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题。”又说：“题繁难见法理，定摆小题验法理，义既通虽用繁题了然可见也。”可见，他十分强调习题应有典型性。杨辉一生治学严谨，教学一丝不苟，他的这此教育思考和方法，至今也有很重要的参考价值。

秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。秦九韶的大衍求一术，不但远比欧洲发明得早，有其历史上的崇高地位，而且在方法上也比欧洲人的办法来得简洁、具体，易于作数值计算。直到现在，与数论里的“一次同余式”的办法相比较，仍有其优越性。所以这个算法一直被欧美学者推崇，称为“中国剩余定理”。

李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。

朱世杰是中国数学黄金时代(宋元时期)最后的且是最伟大的数学家。史家总是描述他是所有时期伟大的数学家之一。然而，朱世杰的生平少有人知，就连他生日和祭日的确切数据也没人知道。他住在现今北平附近的燕山。他曾”以数学名家周游湖海二十余年，四方之来学者日众”，说明他以数学研究和数学教学为业游学四方。他的两本最重要的数学著作是<<算学启蒙>>，共3卷259问，成书于公元1299年，是一部当时较好的教科书；而<<四元玉鉴>>，共3卷288问，写于公元1303年。在「玉鉴」中的四元术是天、地、人、物表示在单一的方程式中的四个未知数。<<算学启蒙>>曾流传到朝鲜、日本等国，在中国一度失传，直到1839年得到朝鲜翻刻本，才再重新翻印流传。朱世杰的著作深深地影响着亚洲数学的发展。<<四元玉鉴>>为中国代数发展达致巅峰。书中主要论及处理齐次方程组、帕斯卡尔三角形，以及解高次方程(如14次方程)。朱世杰解14次方程式的方法就是现在所周知的霍纳(Horner)方法(用19世纪的数学家霍纳之名)。虽然朱世杰似乎是第一个发表帕斯卡尔三角形和霍纳方法的数学家，但是他的名字并没有和他的发现齐名，但这并无损朱世杰在数学上所做出的重要贡献。

沈括(1031-1095)，字存中，浙江钱塘(今杭州市)人。北宋天圣九年，出生于一个下层官吏的家庭，家境并不富裕，沈括常自谓“出自寒门”。母徐氏，是苏州吴县人，知书达礼，谙通文墨；父沈周，为官清正，不主张严刑苛法，到泉州任职时，沈括随往。皇佑三年