湖北省八校2019届高三第二次联考 数学(理)(扫描版)

7
因为 b
(xi x)(zi z)
i 1
7
(xi x)2
40.182 147.714
0.272 ，
i 1
a z b x 3.612 0.272 27.429 3.849 ，
所以 z 关于 x 的线性回归方程为 z 0.272x 3.849 ．
所以
y
关于
x
的回归方程为
y
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 43
……………………4 分
（2）证明：由（1）可得：直线 l : x 1， A(1, 3) ，设直线 MN 的方程为 y kx m ， 2
代入椭圆方程，消 y 可得 (3 4k 2 )x2 8kmx 4m2 12 0 ，设 M (x1, y1), N (x2, y2 )
2x, x 1.
4
８
故不等式 f (x) 4 的解集为 x 2 x 2 ．
………………5 分
（2）若 x (0,1) 时，不等式 f (x) x 2 恒成立，即 x 1 ax 1 x 2 恒成立，
等价于当 x (0,1) 时| ax 1| 1 恒成立．
………………7 分
3 4
,
3 4
，
设平面 MBQ 法向量的法向………………9 分
m QB 0 m QM 0
(
x,
(x, y, z) (0,
y,
z)
3 4
,
3
3,
3 4
0) ,3
4
0
0
z
y
0 3x
令 x 1 则 m (1, 0, 3) . 设二面角 M BQ C 的平面角为
1
５
如图，以 Q 为原点，分别以 QA, QC, QP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴
建立空间直角坐标系．
………………6 分
平面 BQC 的法向量可取为 n (0,0,1) ；
………………7 分
Q (0,0, 则 PM
0) ，
(x,
P(0, 0, y, z
3) ，B(0, 3) ， MC
3, 0) ， (1 x,
C(1, 3 y,
3z,)0,)．P设MM (
x, y, z
3MC
)
，
x 3(1 x)
x
3 4
y
z
3( 3
3 y) 3(z)
y z
33 4 3 4
M
3 4
,
3
3 4
,
3 4
在平面 MBQ 中， QB (0,
3
,
0), QM
3 4
,
3
……………… 4 分
即得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 y 2 2 3x 2 y 0 ．
………………5 分
x
（2）将
y
1t 2
1 3t 2
代入②式，得 t 2
3t 1 0 ，
………………6 分
设方程的两个实根分别为 t1，t2，则 t1 t2 3, t1t2 1. 点 M 的直角坐标为 (0,1) .
单调递增区间为 a a2 1, a a2 1 .
………………………5 分
3
７
(2)由(1)知: a 1 且 x1 x2 2a, x1x2 1.
………………6 分
又 g (x)
1 x
b 2cx, g ( x1
2
x2 )
x1
2 x2
b c x1
x2 ,由 g(x1 )
g(x2 )
3
2 4
,
.
………………12 分
22．解：（1）把 4 cos( π ) ，展开得 2 sin 2 3 cos ， ……………1 分 6
两边同乘 ，得 2 2 sin 2 3 cos ①．
………………3 分
将 2 x2 y2 , cos x, sin y 代入①，
cos B a2 c2 b2 9 c2 63 1 ,c2 3c 54 0 .
2ac
23c 2
则 c 9 或 c 6 （舍去）.
………………8 分
cos C a2 b2 c2 9 63 81 1
，
AD
2DC
DC
1b
7 .……10 分
2ab
233 7 2 7
3
若 a 0 ，则当 x (0,1) 时| ax 1| 1 ，不满足条件；
………………8 分
若 a 0 ，| ax 1| 1 的解集为 0 x 2 ，所以 2 1 ，故 0 a 2 ． ………………9 分
a
a
综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．
………………10 分
5
９
x2
………………9 分
令
x1 x2
t 0,1 y
2(t 1) t 1
ln
t,
y
(t 1)2 t(t 1)2
0 ,所以 y 在 0,1 上单调递减，
由
y
的取值范围是
ln
2
2 3
,
，得
t
的取值范围是
0,
1 2
，
4a2
x1 x2
x2 x1
2
t
1 t
2
9 2
,
，又
a
1，
故实数
a
的取值范围是
则 48(4k 2 m2 3) ，
x1
x2
8km 3 4k 2
, x1 x2
4m2 12 3 4k 2
MAB NAB KAM KAN 0 ，
………………7 分 ………………8 分
y1
3 2
x1 1
y2
3 2
x2 1
0
，即 (kx1
m
3)( 2
x2
1)
(kx2
m
3)( 2
x1
e 0.272 x3.849
．
………………………3 分
………………………4 分 ………………………5 分
（2）（i）由
f
(
p)
C
3 5
p3 (1
p)2 ，得
f
' ( p)
C
3 5
p 2 (1
p)(3
5 p)
，因为 0
p
1，
令 f ( p) 0 得 3 5 p 0 ，解得 0 p 3 ，所以 f ( p) 在 (0，3) 上单调递增，在 (3 ,1) 上单调递减，所以
１
２
３
４
湖北省八校 2019 届高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D
C
C
C
B
A
A
C
A
C
A
D
二、填空题：
13. 4 ； 14. 3x y 1 0 ； 15. 3 ； 16. 2 1.
三、解答题：
17.解：（1）
（ − ， ）与 n (cos C, cos B) 共线，(2a c) cos B b cos C .
0
得:
ln x1 x2
b(x1 x2 ) c(x12 x22 ) .
………………7 分
y (x1
x2
)g(
x1
2
x2
)
2( x1 x2 x1 x2
)
b(x1
x2 ) c(x21
x22
)
2( x1 x2 ) x1 x2
ln x 1 x2
2( x 1 1)
x2 x1 1
ln x 1 . x2
y
k(x
1)
3 2
，直线
MN
经过点
A(1,
3 2
)
，不满足题意，
则 k 1 .故直线 MN 的斜率为定值 1 .………………12 分
2
2
20．解：（1）根据散点图可以判断， y cedx 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类
型．
………………………1 分
对 y cedx 两边取自然对数得 ln y ln c dx ，令 z ln y ， a ln c ， b d ，得 z a bx ．
1)
0
.
2kx1 x2
(m
k
3 2
)(
x1
x2 )
2m
3
2k(4m2 12) 3 4k 2
(m
k
3) 2
8km 3 4k 2
2m
3
0
2
６
化简可得 (2k 1)(2m 2k 3) 0 ，
………………10 分
k 1 或 2m 2k 3 0 . 2
当
2m
2k
3
0
时，直线
MN
的方程为
，则 cos cos m,n
……………………11 分
m n mn
3 1 2
3 2
π . 所以二面角 M BQ C 的大小为 π .
6
6
19. （1）解：由题意可得 a 2c,bc 3
……………………12 分 ……………………2 分
又a2 b2 c2 得 a2 4,b2 3, c2 1
5
55 5
…………………12 分
21.解:（1）
f (x) 的定义域为 (0, ) ，
f (x)
1 x2
1
2a x
x2
2ax 1 . x2
………1 分
（i）若 a 1,则 f (x) 0 ，当且仅当 a 1 ， x 1 时 f (x) 0 ，
………………2 分
（ii）若 a 1 ，令 f (x) 0 得 x1 a a2 1, x2 a a2 1 .
5
5
5
f
( p) 有唯一极大值
f
(3) ，也为最大值.所以当 5
p= 3 时， 5
f ( p)max
216 625
……………9 分
（ii）由（i），当 f ( p) 取最大值时 p= 3 ，所以 X ~ B(5, 3) ，
5
5
…………………10 分
E( X ) 5 3 =3, D( X ) 5 3 2 = 6 .
即 (2sin A sin C) cos B sin B cos C ，2sin Acos B sin(B C) sin A ………4 分
即 sin A(2cos B 1) 0 .
sin A 0,cos B 1 . 2
B (0, π), B π .……………6 分 3
（2） b 3 7, a 3, B π ，在 ABC 中，由余弦定理得： 3
ADC 90,AQB 90
即 QB AD. ………………2 分
又∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ， ∴ BQ ⊥平面 PAD ． …………4 分
∵ BQ ⊂平面 PQB ，
∴平面 PQB ⊥平面 PAD ．
………………5 分
（2）∵ PA PD ， Q 为 AD 的中点，∴ PQ ⊥ AD ． ∵面 PAD ⊥面 ABCD ，且面 PAD ∩面 ABCD = AD ，∴ PQ ⊥面 ABCD ．
………………3 分
当 x (0, a a 2 1) (a a 2 1,) 时， f (x) 0 ；
当 x a a2 1, a a2 1 时， f (x) 0 .
所以:当 a 1时, f (x) 单调递减区间为 (0, ) ,无单调递增区间;
当 a 1 时, f (x) 单调递减区间为 0, a a2 1 , a a2 1, ；
在 BDC 中，由余弦定理得：
BD2 CB2 DC 2 2CB DC cos C 9 7 2 3 7 1 19 , 27
BD 19
………………12 分
18. 解：（1） AD // BC, BC 1 AD ， Q 为 AD 的中点， 2
∴四边形 BCDQ 为平行四边形，
CD // BQ.
………………7 分 ………………8 分
则由参数 t 的几何意义即得 MA t1 , MB t2 ,且 t1t2 0 ，
| MA | | MB | t1 t2 t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 3 4 7 .………10 分
2x, x 1, 23．解：（1）当 a 1时， f (x) x 1 x 1 即 f (x) 2,1 x 1, ………………3 分