第二章 复习

求证：△MDE是等腰三角形. ❖ 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结
CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。 B
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点
D M
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和
底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延 长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由. ❖ 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内
作出一个与△GEC全等的三角形。
说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三 角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。
）
B
1
2
CE
∴∠2= ∠E（
）
∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（
）
∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠EБайду номын сангаас
∴BD=DE（
）
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，
∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的
高线CE交AB于E，交AD于F，求证：
CD=CF 分析：
CD=CF
B
∠1=∠2
∠∠11==9∠0°B－+∠∠BAADD
∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB（等角对等边） 在△BDE和△CEM中
BD CE B MCE
C
E
A
∴△BDM≌△CEM（SAS） BM CM ∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形
例7. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.
❖ 以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
❖ 如图：若AB=AC A
❖ ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，
BD=DC
12
❖ ②若BD=DC，连结AD，必有结论：
∠1=∠2，AD⊥BC
B
D
C
❖ ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，
BD=DC
❖ 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
2.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为 _____________。
3.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E， 交AB于D，连结BE，若∠A=50°， ∠EBC=__________。
4.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的 周长为50，△ABD的周长为40，则 AD=____________。
(一)
等腰三角形的性质与判定
1.性质 (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角 形。 等边三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边 三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
❖ 思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°， AE=CD，
∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。
❖ ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
❖ ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
❖ （三角形的外角等于和它不相邻
A
的两个内角的和）
D
❖ ∵∠A=90°
B
C
❖ ∴AC= 1DC
❖ ∴AC= 12 BD
2
例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和
AC上，且BD=CE，M是AB的中点.
❖ 1. 下列结论叙述正确的个数为（ ）
❖ （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合；
❖ （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等；
❖ （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴；
❖ （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角 形。
❖ （A）0个 个
（B）1个 （C）2个 （D）3
1.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为 __________，底角为___________。
D
E
∠∠２2==90∠°3－+∠∠DCAADC 1 2 F
3
C
A
∠ACB =∠903°=∠，BCE是AC边上高
9. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
❖ 证明：∵AB=AC ❖ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ❖ ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ❖ ∴∠BEC=∠CDB=90° ❖ ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
❖ 等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数，是等腰 三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时 往往设法用未知数表示图中的角，从中得 到含这些未知数的方程或方程组）
（2）证明线段或角相等
5.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹 角为_____________。
10、如图，D是正△ABC边AC上的中点，
E是BC延长线上一点，且CE=CD，说明
BD=DE的理由.
解:∵ △ABC是正三角形 ∴ ∠ABC= ∠ACB=600
A
（
）
∵ D是AC边上的中点
D
∴∠1= 12∠ABC=300（ ∵CE=CD
❖ ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ❖ ∴BM=CM（等角对等边）
A
E
M
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
例3.已知：如图，∠1 A=90°，∠B=15°，BD=DC. 请说明AC= 2 BD的理由.
❖ 解∵BD=DC，∠B=15°