第六章控制系统的校正

第六章控制系统的校正
6.1 引言
一、校正的概述
1.自动控制系统的设计
一个单输入单输出的控制系统一般可化为图6－1
(S)是控制系统的不可变部分，即被控对象，
的形式，G
H(S)为反馈环节。

未校正前，系统不一定能达到理想
的控制要求，因此有必要根据希望的性能要求进行重
新设计。

在进行系统设计时，应考虑如下几个方面的
问题：
（1）综合考虑控制系统的经济指标和技术指标，这是在系统设计中必须要考虑的。

（2）控制系统结构的选择。

对单输入、单输出系统，一般有四种结构可供选择：前馈校正、串联校正、反馈校正和复合校正。

（3）控制器或校正装置的选择。

校正装置的物理器件可以有电气的、机械的、液压的和气动的等形式，选择的一般原则是根据系统本身结构的特点、信号的性质和设计者的经验，并综合经济指标和技术指标进行选择。

（4）校正手段或校正方法的选择。

究竟采用时域还是频域方法，须根据控制系统性能指标的表达方式选择。

控制系统的性能指标通常包括动态和静态两个方面。

动态性能指标用于反应控制系统的瞬态响应情况，它一般可用时域性能指标和频域指标两个方面：
1）时域性能指标：调整时间、上升时间、峰值时间和最大超调量等；
2）频域性能指标：开环指标包括相位裕量、增益裕量；闭环指标包括谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。

2.校正的几种方式
对单输入、单输出系统，一般有四种结构可供选择：前馈校正、串联校正、反馈校正和复合校正，其框图如图6－2。

考虑到串联校正比较经济，易于实现，且设计简单，在实际应用中大多采用此校正方法，因此本章只讨论串联校正，典型的校正装置有超前校正、滞后校正、滞后－超前校正和PID校正等装置。

图6-2控制系统校正的几种方式
3. 常用的校正方法:
（1） 频率特性法
使用的指标是频域指标，宜用频率法（如伯德图或极坐标）进行设计。

1）频率特性法校正的指标：
开环：c g K ωγ，， 闭环：B r r M ωω，，
2）频率特性的分段讨论： 低频段： 反映稳态特性. 中频段: 反映暂态特性,c ω附近. 高频段: 反映抗噪声能力.
（2）根轨迹法
指标是时域指标，则一般宜用根轨迹法进行设计，使闭环系统的极点重新配置；
4、串联校正的适用性与优缺点
串联校正简单，易于实现，因此得到了广泛的应用。

（1）串联超前校正
它是利用校正装置的相角超前补偿原系统的相角滞后，从而增大系统的相角裕度。

超前校正具有相角超前和幅值扩张的特点，即产生正的相角移动和正的幅值斜率。

超前校正正是通过其幅值扩张的作用，达到改善中频段斜率的目的。

故采用超前校正可以增大系统的稳定裕度和频带宽度，提高了系统动态响应的平稳性和快速性。

但是，超前校正对提高系统的稳态精度作用不大，且使抗干扰的能力有所降低。

串联超前校正一般用于稳态性能已满足要求，但动态性能较差的系统。

但如果未校正系统在其零分贝频率附近，相角迅速减小，例如有两个转角频率彼此靠近(或相等)的惯性环节或一个振荡环节，这就很难使校正后的系统的相角裕度得到改善。

或未校正系统不稳定，为了得到要求的相角裕度，超前网络的a值必须选得很大，将造成校正后系统带宽过大，高频噪声很高，严重时系统无法正常工作。

（2）串联滞后校正
它是利用校正装置本身的高频幅值衰减特性，使系统零分贝频率下降，从而获得足够的相角裕度。

滞后校正具有幅值压缩和相角滞后的特点，即产生负的相角移动和负的幅值斜率。

利用幅值压缩，有可能提高系统的稳定裕度，但将使系统的频带过小；从另一角度看，滞后校正通过幅值压缩，还可以提高系统的稳定精度。

滞后校正一般用于动态平稳性要求严格或稳定精度要求较高的系统。

但为了保证在需要的频率范围内产生有效的幅值衰减特性，要求滞后网络的第一个转折频率1/T足够小，可能会使时间常数大到不能实现的程度。

（3）串联滞后—超前校正
它的基本原理是利用校正装置的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。

当要求校正后系统的稳态和动态性能都较高时，应考虑采用滞后—超前校正。

6.2 超前校正
一. 超前校正装置
其相频特性在0<ω<∞范围内为正相角，故称之为超前校正。

用于实现在开环增益不变的情况下，提高系统的稳定裕量，使系统和动态性能满足设计要求。

T s T s K TS TS K s E s E s G c
c i c ααα11
11)()()(0++
=++==， ,10,1122<<=ααC R C R 此处令1=c K ，则TS
TS
s G c αα++=11)(
1、零、极点分布： 图6-4
2、超前校正的极坐标图：图6-5
a (1+a )/2
1 (1-a )/2
3、频率特性为： 令1=αc K ，则
根据上式作Bode 图：
得：
1
1)(++=
ωαωωT j jT j G c T
arctg T arctg αωωωϕ-=)(ααϕαωω
ωϕωαωα2110)
(1
)1(22-==⎪⎭⎪⎬⎫=
⇒=+-=arctg T d d T T arctg m m
令
T
T m αω11:•=
即m
m m ϕϕαα
α
ϕsin 1sin 1,
11arcsin
+-=
+-=或T
arctg T arctg αωωωϕ-=)(
]2
1lg
1lg lg [11:T T T T m
m αωαω+=
Θ的几何中心与为可以证明a
j G m 1
lg
10|)(|20==ωωωωm 1/a T 10lg(1/a )
1/T
фm ωm
20lg(1/a )
,
,;,.
:m 对抑噪声不利太小提供超前相角超前校正装置的作用αϕα↑↓ 1.0.,1=<αα一般常选高通滤波 二、基于根轨迹的超前校正 1、适用类型
当性能指标为时域形式时,用根轨迹法校正；
或：期望闭环主导极点Sd 位于末校正根轨迹左侧，用超前校正。

根轨迹校正的实质: 引入适当的校正装置,利用其零、极点改变原有系统的根轨迹形状，使校正后的根轨迹通过希望闭环主导极点。

即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。

2、根轨迹超前校正原理
设一个单位反馈系统，G 0(s)为系统的不变部分，G C (s)为待设计的超前校正装置， K C 为附加放大器的增益。

绘制 G 0(s)的根轨迹于下图中，
设点S d 为系统希望的闭环极点，则 S d 若为校正后系统根轨迹上的一点，必须满足根轨迹的相角条件，即
π-=∠+∠=∠)()()()(00d d c d d c S G S G S G S G
于是得超前校正装置提供的超前角为：
)()(0d d c S G S G ∠--==∠πφ
显然在S d已知的情况下，这样的 G C(s)是存在的，但它的零点和极点的组合并不唯一，这相当于张开一定角度的剪刀，以S d为中心在摆动。

若确定了零点和极点的位置，即确定了校正装置的参数。

下面介绍三种用于确定超前校正网络零点和极点的方法。

三种确定超前校正装置参数的方法：
（1）比值α最大化法
能使超前校正网络零点和极点的比值α为最大的设计方法。

按照该法去设计G
(s) 的零点和极点，能使附加放大器的增益尽可能地小。

C
以上图的点O和S d，以S d为顶点，线段O S d为边，向左作角γ，角γ的另一边与负实轴的交点，点
就是所求
的一个零点。

再以线段为边，向左作角，该角的另一边与负实轴的交点
，点就是所求的一个极点。

根据正弦定理，由图求得
于是有
将夹角γ作为自变量，对γ求导，并令其等于零，即
由上式解得对应于最大α值时的γ角为
)(21
φθπγ--=
不难看出，当希望的闭环极点 S d 被确定后，θ和φ均为已知值，因而由上式可求得γ角，然后求得相应的零极点。

（2）零极点抵消法
在控制工程实践中，通常把 G C (s) 的零点设置在正对希望闭环极点 S d
下方的负实轴上，或位于紧靠坐标原点的两个实极点的左方，此法一般可使校正后系统的期望闭环极点成为主导极点。

(3)幅值确定法
设系统的开环传递函数:
且令超前校正装置的传递函数：
若要求校正后系统的稳态误差系数
，则由上式可首先确定：
在开环增益确定后，根据根轨迹
原理，若为校正后的闭环极点，则它除必须满足相角条件外，还应满足幅值条件：
上式中。

同样根据平面三角形原理，对于
有：
而对于有：
由上二式消去，并由式（6－29）可得：根据三角函数性质，上式可写成如下形式：
进而有：
由于 K可由稳态误差系数确定，由未校正传递函数求出，因此根据上式求出角。

最后确定校正装置的零极点和具体参
数。

通过上述分析可知，对于超前校正装置的参数确定，可用三种方法进行设计，其中第一法则是从抑制高频噪声角度出发进行设计，第二法是工程经验方法，第三法则先在满足静态性能指标的条件下设计满足动态性能指标的控制器。

但必须指出，上述三法均用于对静态性能要求不高而系统的动态性能需要改善的控制系统，校正后的系统应满足根轨迹的相角条件和幅值条件。

若系统的静态性能指标较高，可能无法设计合适的超前校正装置，此时应采用滞后－超前校正装置。

3、基于最大a 值的设计方法的一般步骤
1） 根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环
增益 K 和闭环主导极点S d 的位置．
2） 画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左侧，以确
定是否应加超前校正装置。

3） 根据式)()(0d d c S G S G ∠--==∠πφ解出超前校正网络在 S d 点处应提供的相位超前角φ。

4） 求)(2
1
φθπγ--=，尔后用图解法求得 G C (s)的零点和极点，进而求出
校正装置的参数。

5） 画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。

6） 根据根轨迹的幅值条件，确定校正后系统工作在 S d 处的增益和静态误
差系数。

如果所求的静态误差系数与要求的值相差不大，则可通过适当
调整 G C (s)零点和极点的位置来解决；如果所求的静态误差系数比要求的值小得多，则需考虑用别的校正方法，如用滞后—超前校正。

例1：P228
例2：设火炮指挥系统如图所示，其开环传递函数
)
15.0)(12.0()(++=
s s s k
s G
系统最大输出速度为2转/min ，输出位置的容许误差小于2︒/秒。

(1) 确定满足上述指标的最小k 值，计算该k 值下的相位裕度和幅值裕度。

(2) 前向通路中串联超前校正网络G c (s )=(1+0.4s )/(1+0.08s )，试计算相位裕度。

解 (1) ss e R k =
容许的位置误差希望的输出速度=6260/3602=︒
︒⋅= 故 )
15.0)(12.0(6
)(++=
s s s s G
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=ωωωωωωω2.05.06lg
205.06lg
206lg 20)(L 5522><<<ωωω 令L (ω)=0，可得ωc =3.5
︒<︒-=--︒-︒=09.4)5.0arctan()2.0arctan(90180c c ωωγ
所以系统不稳定。

(2) 串联超前校正网络G c (s ) = (1+0.4s ) / (1+0.08s )
s
s
s s s s G 08.014.01)15.0)(12.0(6)(++⋅++=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ωωωωωωωωωωωωωωωω08.05.02.04.06lg 202.05.04.06lg
205.04.06lg 205.06lg
206lg 20)(L
5
.125
.12555.25.222
><<<<<<<ωωωωω 令L (ω)=0，可得ωc = 4.8
)2.0arctan()4.0arctan(90180c c ωωγ--︒-︒=
︒>︒=--02.20)08.0arctan()5.0arctan(c c ωω
可见串入超前校正网络后，γ 增大，系统变为稳定。

三、基于频率响应法的超前校正
1、基本原理
通过所加的校正装置的相位超前特性来增大系统的相位裕量，改变系统开环频率特性，并要求校正网络最大的相位超前角фm ,出现在系统新的剪切频率处，使校正后系统具有如下特点：低频段的增益满足稳态精度的要求；中频段对数幅频特性的斜率为 –20dB/dec ，并具有较宽的频带，使系统具有满意的动态性能；高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声的影响。

实质: c m ωωγ=↑，一般，
2、基本步骤:
1） 根据()∞e 的要求，确定系统的开环增益K ，并据此画出未校正系统的伯
德图，并测出其相位裕量 1γ。

2） 由期望的相位裕量值 γ，计算需添加的相角超前值ϕ：εγγϕ+-=1。

ε值可以这样估计：如果未校正系统的开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为-40dB/dec ，一般取 οο105～=ε；如果该频段的斜率为-60dB/dec ，则取..2012的后移修正修正值～c ωε---=οο 3） 令αϕϕ，并求=m 。

m
m
ϕϕαsin 1sin 1+-=
，时，〉ο60m ϕ可考虑用有源校正或二级
无源校正网络。

4） 找到()()m c j H j G ωωα
ωω=⇒-=1
lg
10
5） 确定超前校正装置的传递函数()s G c ：
αωωm T
==
1
1 ()1
1
12++=
=
=
Ts Ts s G T
c m
ααωαω
6） 画出校正后系统的伯德图，并验算相位裕量是否满足要求？如果不满
足，则需增大 ε值，从步骤3）开始重新进行计算，直到满足要求。

3、作用与特点: （1）作用：
增大了ωc ，增加了γ，改善了系统的暂态性能，使σ%明显下降。

（2）特点：
1）这种校正主要对未校正系统中频段的频率特性进行校正，使校正后中频段幅值的斜率为 -20dB/dec ，且有足够大的相位裕量。

2）超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。

校正后系统的剪切频率会增大。

这表示校正后系统的频带变宽，瞬态响应的速度变快；但系统抗高频噪声的能力也变差。

3）虽然超前校正一般能较有效地改善系统的动态性能，但当未校正系统的相频特性曲线在剪切频率附近急剧地下降时，若用单级的超前校正网络去校正，收效不大。

因为校正后系统的剪切频率向高频段移动。

在新的剪切频率处，由于未校正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量。

此时可采用多级串联校正。

例3：P231
例4：设开环传递函数)
101.0)(1()(++=
s s s k
s G ，单位斜坡输入R (t )= t ，输入产生稳态误
差e ≤ 0.0625。

若使校正后相位裕度γ*不低于45︒，截止频率ωc * > 2(rad/s )，试设计校正系统。

解： 0625.01
≤=k
e 16≥k
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=ωωωωωωω01.016lg
2016lg
2016lg 20)(L 10010011><<<ωωω 令L (ω)=0 ，可得 ωc = 4
︒<︒=--︒-︒=4512)01.0arctan(arctan 90180c c ωωγ
不满足性能要求，需加以校正。

系统中频段以斜率-40dB/dec 穿越0dB 线，故选用超前网络校正。

（要增大稳定裕量） 设超前网络相角为ϕm ，则
︒=︒+︒-︒≥︒+-≥43101245)12~5(*γγϕm
5/1sin 1sin 1=+-=
m
m
ϕϕα
中频段01
lg 10)()(=+''=''α
ωωc c
L L
所以 9.5=''c
ω 验算 )(180c
m ωϕϕγ''++︒='')01.0arctan(arctan 9043180c c ωω''-''-︒-︒+︒= = 48︒> 45︒
)/(1αωT c
='' 38.0)/(1=''=αωc T 所以超前校正网络后开环传递函数为
s
s
s s s s G 076.0138.01)101.0)(1(16)(++⋅
++=
6.3 滞后校正
如果一个控制系统具有良好的动态性能，但其静态性能指标较差（如静态误差较大）时，则一般可采用滞后校正装置，使系统的开环增益有较大幅度的增加，而同时又可使校正后的系统动态指标保持原系统的良好状态，而改善稳态性能。

一、滞后校正装置
其相频特性∞<<ω0频率范围内为负相角。

1、滞后校正传递函数
滞后校正网络，图P 223
()TS TS K s G c c ββ
++=11= TS
TS
K β++11 βc K K = ，1>β。

滞后校正装置的作用: 低通滤波. 能抑制噪声. 改善稳态性能. ↑β,抗噪声能力↑ .一般β=10.
2、滞后校正装置的极点及频率特性
当K=1时，滞后校正装置()TS
TS
s G c β++=11的零、极点分布图、极坐标图如
图：
滞后校正装置()TS
TS
s G c β++=11的Bode 图如下：
1/βT
20lg(1/βT) 1/T
与超前校正类似，ωm 位于1/T 和1/βT 的几何中心处，计算公式与前类似： β
ωT m 1=
m ϕ1
1
arcsin
+-=ββ,m m ϕϕβsin 1sin 1sin -+=
为不使滞后相角影响γ,一般取10
51c
c T ωωΛ
=.
3、滞后校正装置具有如下特点：
1） 输出相位总滞后于输入相位，这是校正中必须要避免的； 2） 它是一个低通滤波器，具有高频率衰减的作用；
3） 利用它的高频衰减作用（ω=1/T ），使校正后系统剪切频率前移，从而达
到增大相位裕量的目的。

二、基于根轨迹的滞后校正
通过设置校正装置的零极点，使之形成一对在S 平面上靠近原点的偶极子，这样，在基本保持原系统主导极点的前提下，可提高系统的静态误差系数而不致使系统的动态性能变坏。

将滞后装置的零.极点配置在虚轴附近,并相互靠近,这样()d c
s G ∠很小,但
β=c
c
p z 很大,可达到改善稳态性能但不影响暂态性能的目的. 根轨迹法滞后校正的一般步骤：
（１）画出未校正开环系统的根轨迹；
（２）根据系统设计的时域指标，确定主导极点S d ，进而计算未校
正系统的增益Ｋ及静态误差系数K V ；
（３）滞后校正装置的β=校正后的静态误差系统与未校正系统的静
态误差系数之比。

（４）确定校正装置的零点和极点。

零点的确定方法是：以主导极
点 S d 为顶点，引线为起始边，向左旋转 οο105～，此边与负实
轴的交点即为校正装置的零点（-1/T ），由（３）中β值进而确定校正装置极点（-1/βT ）。

（５）画出校正后系统的根轨迹。

若新的主导极点 S d 或静态误差系
数与设计要求相关较大，则宜适当调整β或（-1/T ） ，直至满足要求。

需要说明的是，上述推导过程中按 K V 进行说明，但对于 K P 或 K a 结论相似。

例1：P237
三、基于频率响应法的滞后校正
1、作用: <1>.
↑
⇒↓γωc , <2>.()∞↓e
根据滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与系统的不可变部分 G 0(S)串联时，它对频率特性的低频段影响甚微，但会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低，剪切频率 ωC 减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕量。

由此可见，滞后校正在一定的条件下，也能使系统同时满足动态和静态性能的要求。

不难看出，滞后校正的不足之处是：校正后系统的剪切频率会减小，频带变窄，瞬态响应速度变慢；同时，在剪切频率处，滞后校正网络会产生一定的相角滞后量。

为此，应尽可能地减少滞后角。

理论上可选取 G C (S)的两个转折频率 ω1、 ω2比 ωC 越小越好，但考虑到物理实现上的可行性，一般取 ω2=1/T= ωC /5--ωC /10为宜。

2、步骤:
1）根据给定静态误差系数的要求，计算系统的开环增益K 。

并画出未校正系统的伯德图，求出相应的相位裕量和增益裕量。

2）在已作出的相频曲线上寻找一个频率点，要求在该点处的开环频率特性的相角为：
εγφ++-=0180。

以这一频率作为校正后系统的剪切频率c ω 。

上式中，γ为系统所要求的相位裕量，修正值,155οο～=ε 补偿滞后校正带
来的相位滞后。

3）设未校正系统在 c ω处的幅值等于20lg β，据此确定滞后网络的β值。

据此可保证在剪切频率 c ω处，校正后开环系统的幅值为0。

4）选择滞后校正网络中的一个转折频率10
512c
c T ωωω～
==，则另一个转折频率为 T
βω1
1=。

5）画出校正后系统的伯德图，并求出校正后系统的相位裕量。

校核设计指标，如果不满足要求，则可通过改变T 值，重新设计滞后校正网络。

例2：设单位反馈系统的开环传递函数)
12.0)(1()(++=
s s s k
s G ，试设计串联校正装置，满
足k v = 8(rad/s )，相位裕度γ * = 40︒。

解： k v = 8 ，ν=1， k = 8
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=ωωωωωωω2.08lg
208lg
208lg 20)(L 5511><<<ωωω 令L (ω)=0 ，可得 ωc = 2.8
γ = 180︒ - 90︒ - arctan ωc - arctan(0.2ωc ) = -9.5︒< 40︒ 不满足性能要求，需加以校正，选用滞后网络校正。

令 ︒=︒+=''466*)(γωϕc
得 ︒=''-''-︒-46)2.0arctan(arctan 90c c
ωω ︒=''+''44)2.0arctan(arctan c c
ωω 所以 ωc "= 0.72 根据 0)(1
lg
20=''+c
L ωβ
得 β= 1/0.09 再由
c
T
ω''=1.01
得 T = 13.9 故选用的串联迟后校正网络为
s
s
Ts Ts s G c 3.15419.13111)(++=++=
β
验算 )()(180c c
c ωϕωϕγ''+''+︒='' )2.0arctan(arctan 90)3.154arctan()9.13arctan(180c c c c
ωωωω''-''-︒-''-''+︒= = 40.9︒ > 40︒
6.4 超前-滞后校正
一、滞后—超前校正装置
如果未校正系统为不稳定，或对校正后系统的动态和静态性能均有较高的要求时，只采用上述的超前校正或滞后校正，难于达到预期的校正效果。

此时，宜对系统采用串联滞后—超前校正。

1、传递函数形式
图P242，传递函数为：
()2
2
11
111T s T s T s T s K s G c c βγ++•++
= ，式中 1,1>>βγ。

在设计滞后-超前校正时，有βγ≠和βγ=两种情况，工程一般采用后者。

此处讨论βγ=情况。

传递函数为：
()2211
11
1T s T s T s T s K s G c c ββ++•++
=s T s T s T s T K c 221
111111ββ++•++= 它同时具有滞后环节和超前环节的特点,其中前半部分起超前作用，后半部分起滞后作用。

2、滞后－超前校正装置的极点及频率特性
令1=c K ，根据滞后－超前装置的传递函数，可得到其频率特性：
ωβω
ω
β
ωω22111111)(T j jT T j jT j G c ++•++=
其对应的幅频特性和相频特性分别为：
根据上面二式可分别画出其零、极点分布图、极坐标图、伯德图。

从图中
看出，因，滞后部分的零极点更靠近原点，使系统的静态性能得到改善。

从图中可以看出当 ω从0→ 1ω 变化时，滞后－超前校正装置起滞后作用，而当ω从1ω→+∞ 变化时，校正装置起超前作用。

其伯德图如P243。

相位过零频率：2
111
T T =ω
二、基于根轨迹的滞后—超前校正
1、滞后—超前校正的基本思路
超前校正主要用于提高系统的稳定裕度，改善系统的动态性能，而滞后校正则可以减少系统的稳态误差。

由此设想，若把这两种校正结合起来应用，必然会同时改善系统的动态和静态性能，这就是滞后—超前校正的基本思路。

当希望的闭环主导极点S d 位于未校正系统根轨迹的左方时，如只用单个超前网络对系统进行校正，虽然也能使校正后系统的根轨迹通过 S d 点，但无法使系统在该点具有较大的开环增益，以满足静态性能的需要。

对于这种情况，一般宜采用滞后—超前校正。

设滞后—超前校正装置的传递函数为：
()1
1
22211
11)()(T s T s T s T s s G s G s G c c c ββ+
+•++
==
其中 )(1s G c 起滞后校正作用，它使系统在 S d 处的开环增益有较大幅度的增
大，以满足静态性能的需要； )(2s G c 起超前校正作用，利用它所产生的相位超前角2c φ 使根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点 S d ，从而改善系统的动态性能。

2、用根轨迹法进行滞后—超前校正的一般步骤:
（1） 根据对系统性能指标的要求，确定希望闭环主导极点 S d 的位置。

（2） 设计校正装置的超前部分 )(2s G c 。

设计时要兼顾到既使 )(2s G c 在 S d
处产生的相位超前角 2c φ满足 S d 点的相角条件，又使 )(2s G c 极点与零点的比值β足够大，以满足滞后部分使系统在 S d 点的开环增益有较大
幅度增大的需要。

即计算⇒2c ϕ超前的2
2
22c c c c z p z p =⇒β，。

（3） 根据所确定的β值，按滞后校正的设计方法去设计 )(1s G c 。

（4） 画出校正后系统的根轨迹。

由根轨迹的幅值条件，计算系统工作在 S d
处的静态误差系数。

如果所求的值小于给定值，则需增大β值，应从步骤（2）开始重新设计。

三、基于频率响应法的滞后—超前校正
应用频率法设计滞后－超前校正装置，即利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕量，以改善其动态性能，但因加大了带宽，易受高频噪声的影响，降低了系统的抗干扰能力；利用它的滞后部分来改善系统的静态性能，但会恶化系统的动态性能，对系统的相对稳定性不利。

因此采用这种校正方式，应合理应用滞后和超前校正各自的优点，克服它们各自的弱点，经多次试探才能成功。

滞后—超前校正的一般步骤:
（1） 根据K 作原系统的Bode 图. （2） 取合适的2c ω. （3） 根据2c ω选滞后校正,
10
212
22c c T ωω～= （4） 据滞后环节β
α1
=
⇒,计算超前校正的α
α
ϕ+-=-11sin 1
m （5） 超前环节根据())lg 20,(22c c G ωω确定.
（6） 检验?γγ=
例1：某系统的开环对数幅频特性曲
线如图所示，其中虚线表示校正前的，实线表示校正后的，求解：
（1） 确定所用的是何种串联校正，并写出校正装置的传递函数G c (s )； （2） 确定校正后系统稳定时的开环增益；
（3） 当开环增益k =1时，求校正后系统的相位裕度γ ，幅值裕度h 。

解： (1) 由系统校正前、后对数幅频特性曲线可得校正装置的对数幅频特性曲线，如图所示。

从图中可看出所用的是串联滞后—超前校正。

从而可得
)
11.0)(110()1()(2
+++=s s s s G c
或者，由系统对数幅频特性曲线可知，校正前系统开环传递函数为
)
101.0()1()
110()(2
1+++=
s s s s k s G 校正后，系统开环传递函数为
)
101.0)(11.0()(2++=
s s s k
s G
由G 2(s ) = G c (s )G 1(s )，可得
)
11.0)(110()1()(2
+++=s s s s G c
为一个滞后——超前校正网络。

(2) 由校正后系统开环传递函数
)
101.0)(11.0()(2++=
s s s k
s G
可得其闭环特征方程
010*********)(23=+++=k s s s s D
列出劳斯表如下：
系统要稳定，劳斯表第一列全为正，因而
s 3 1 1000 s 2 110 1000k s 1
1101000110000k
- s 0 1000k
110000 - 1000k > 0 1000k > 0
可得 0 < k < 110
(3) 当k =1时，
)
101.0)(11.0(1
)(2++=
s s s s G 其对数幅频特性
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=321000lg 2010lg 201lg 20)(ωωωωL 1001001010≥<≤<ωωω
从中解得 ω c = 1
由 ϕ(ω) = -90︒ - arctan (0.1ω) - arctan (0.01ω)
可得 ϕ(ωc ) = -96.28︒ γ =180︒+ ϕ(ωc ) = 83.72︒ 又因为 ϕ(31.6) = -180︒ 可得 ωg =31.6 故 8.109)
(12==g j G h ω。