配方法及其应用归纳总结

配方法及其应用归纳总结
资料编号:20190729
一、配方法
对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用.
配方时主要用到下面两个公式:
（1）()2
222b a b ab a +=++; （2）()2
222b a b ab a -=+-. 重要结论:
（1）2
22112⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±x x x x ; （2）()()()[]2222222
1a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++; （3）()()()[]
22222221a c c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++. 例1.证明结论（2）.
证明:[]ca bc ab c b a ca bc ab c b a 2222222
1222222+++++=+++++ ()()()[]2222222222
1a ca c c bc b b ab a ++++++++= ()()()[]
22221a c c b b a +++++=. 二、配方法的应用
配方法是一种很重要的数学方法,有着广泛的应用.常用于:
（1）求字母的值;
（2）证明字母相等;
（3）解一元二次方程;
（4）证明代数式的值非负;
（5）比较大小;
（6）求函数的最值.
三、配方法用于求字母的值
例2. 已知052422=+-++b a b a ,则=a _________,=b _________.
解:∵052422=+-++b a b a
∴()()0124422=+-+++b b a a
∴()()0122
2=-++b a ∵()22+a ≥0,()2
1-b ≥0 ∴01,02=-=+b a
∴1,2=-=b a .
说明:配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值,注意过程书写的规范.
例3. 已知b a ab b a ++=++122,求b a 43-的值.
解:∵b a ab b a ++=++122
∴0122=---++b a ab b a
∴022222222=---++b a ab b a
∴()()()0121222222=+-++-++-b b a a b ab a
∴()()()0112
22=-+-+-b a b a ∵()2b a -≥0,()21-a ≥0,()2
1-b ≥0 ∴01,01,0=-=-=-b a b a
∴1==b a
∴14343-=-=-b a .
习题1. 已知x xy x y x 6134222=+++,则=x _________,=y _________.
习题2. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则=++z y x _________.
习题3. 已知c b a 、、满足176,12,72222-=--=-=+a c c b b a ,求c b a ++的值.
四、配方法用于证明字母相等
例4. 已知c b a 、、是△ABC 的三边,且满足0222=---++ca bc ab c b a ,判断这个三角形的形状,并说明理由.
解:△ABC 是等边三角形.
理由如下:∵0222=---++ca bc ab c b a
∴022*******=---++ca bc ab c b a
∴()()()022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a
∴()()()02
22=-+-+-a c c b b a ∵()2b a -≥0,()2c b -≥0,()2
a c -≥0 ∴0,0,0=-=-=-a c c
b b a
∴c b a ==
∵c b a 、、是△ABC 的三边
∴△ABC 是等边三角形.
习题4. 已知()()2
2223c b a c b a ++=++,求证:c b a ==.
五、配方法用于解一元二次方程
用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.
（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;
c bx ax -=+2
（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;
a
c x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一
次项系数一半的平方;
2
2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ （4）四开 直接开平方; a
ac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;
a ac
b a b x 2422-=+或a
ac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.
a
ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:
一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:
a
ac b b x 242-±-=. 例5. 用配方法解方程:01422=++x x .
解:1422-=+x x
()2
212
11121122
1
2222±=+=++-=++-=+x x x x x x ∴221=+x 或2
21-=+x ∴2
21,22121--=+-=x x .
习题5. 用配方法解下列方程:
（1）011242=--x x ; （2）03232=-+x x .
六、配方法用于证明代数式的值
例6. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.
证明:432574254255752
22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+-=+-x x x x x ∵2
25⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x ≥0 ∴043252>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,即0752>+-x x ∴不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.
例7. 求证:代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.
证明:()()()()1451168251042810222222+++-=+++++-=++-+y x y y x x y x y x ∵()25-x ≥0,()2
4+y ≥0 ∴()()01452
2>+++-y x ,即04281022>++-+y x y x ∴不论y x ,取何值,代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.
习题6. 用配方法证明:不论x 取任何实数,代数式2
942+
-x x 的值总是正数.
习题7. 求证:不论y x ,取何值,代数式25222+
+-+-y x y xy x 的值总是非负数. 提示:()5242222
12522222++-+-=+
+-+-y x y xy x y x y xy x .
七、配方法用于比较大小 例8. 若代数式871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N ,则N M -的值 【 】
（A ）一定是负数 （B ）一定是正数
（C ）一定不是负数 （D ）一定不是正数
思路:作差比较大小法:作差N M -,然后用配方法说明差的符号,从而也可以说明N M ,的大小关系.
解:∵871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N
∴1587102222----+-+=-a b a a b a N M
()323341297
1292
22+-=++-=+-=a a a a a
∵()2
23-a ≥0 ∴()03232
>+-a ,即N M N M >>-,0 ∴N M -的值一定是正数,选择【 B 】.
习题8. 用配方法说明代数式1422--x x 的值总大于422--x x 的值.
八、配方法用于求函数的最值
对于二次函数c bx ax y ++=2()0≠a ,通过配方法可将其化为顶点式()k h x a y +-=2
,然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值.在顶点式中,a
b a
c k a b h 44,22
-=-=. （1）当0>a ,且a
b x 2-=时,函数有最小值,最小值为a b a
c y 442min -=; （2）当0<a ,且a
b x 2-=时,函数有最大值,最大值为a b a
c y 442max -=. 例9. 求函数x x y 92+-=的最大值.
解:481294814819481481992
222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-=x x x x x x x y ∵01<-=a
∴函数x x y 92+-=有最大值,最大值为4
81max =y . 例10. 分别在下列范围内求函数322--=x x y 的最大值与最小值.
（1）20<<x ; （2）2≤x ≤3.
解:()()41412322
22--=-+-=--=x x x x x y （1）∵20<<x
∴当1=x 时,函数322--=x x y 有最小值,最小值为4min -=y ,无最大值;
（2）∵()412
--=x y ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大
∵2≤x ≤3
∴当2=x 时,y 有最小值,最小值为()34122
min -=--=y ; 当3=x 时,y 有最大值,最大值为()04132
max =--=y . 习题9. 函数x x y 2
3212-=的最小值为_________. 习题10. 函数x x y 322--=的最大值为_________.。