函数与方程知识点总结.doc

函数与方程知识点总结

1、函数零点的定义

（ 1）对于函数 y f (x) ，我们把方程 f ( x) 0 的实数根叫做函数y f (x)的零点。

（ 2）方程 f (x) 0 有实根函数 y f (x) 的图像与x轴有交点函数 y f ( x) 有零点。因此判断一个函数是

否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) 0 ，所得实数根就是 f (x) 的零点

（ 3）变号零点与不变号零点

①若函数 f (x) 在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x)

②若函数 f (x) 在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。的不变号零点。

③若函数 f (x) 在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) 0 是f (x)在区间a, b内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（ 1）零点存在性定理：如果函数y f ( x) 在区间[ a, b]上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，

函数 y f (x) 在区间

a,b 内有零点，即存在

x0

( , ) ，使得

，这个 x 也就是方程

f ( x) 0

的根。

a b f ( x ) 0 0

（ 2）函数y f ( x) 零点个数（或方程 f (x) 0 实数根的个数）确定方法

①代数法：函数 y f (x) 的零点 f (x) 0 的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（ 3）二次函数零点个数确定

0 y f (x) 有2个零点 f (x) 0 有两个不等实根；

0 y f (x) 有1个零点 f (x) 0 有两个相等实根；

0 y f ( x) 无零点 f (x) 0无实根；对于二次函数在区间a, b上的零点个数，要结合图像进行确定.

1、二分法

（ 1）二分法的定义 : 对于在区间[a,b]上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数y f ( x),通过不断地把函数y f ( x) 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

（ 2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[ a,b] ,验证f (a) f (b) 0 ,给定精确度;②求区间(a, b)的中点c ;③计算f (c) ;

(ⅰ )若 f (c) 0 ,则c就是函数的零点 ;( ⅱ ) 若 f (a) f (c) 0 ,则令b c (此时零点x0(a, c) );

(ⅲ ) 若 f (c) f (b) 0 ,则令a c (此时零点x0(c, b) );

④判断是否达到精确度,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或b);否则重复②至④步.

【经典例题】

【例 1】函数f (x)=2x+x3 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是（ B ）

A 、0 B、 1 C、2 D、 3

【解析】解法1：因为f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+2 3 2=8 ，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不断，故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.

解法 2：设y1=2x，y2=2 x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B 正确 .

4

2

5 10

2

【例 2】函数f(x)＝ 2x＋ 3x 的零点所在的一个区间是( B )

4

A 、 (－ 2，－ 1)

B 、(－ 1,0) C、 (0,1) D、 (1,2)

【解析】∵ f(－ 1)＝ 2 －1 5 0

＋ 3×(－ 1)＝－ <0 ， f(0) ＝2 ＋0＝ 1>0 ，∴ f(－ 1) f(0)<0.

6 2

∴ f( x)＝ 2x＋ 3x 的零点所在的一个区间为 (－ 1,0)．

8

【例 3】下列函数中能用二分法求零点的是( C )

【例 4】若函数 f ( x) a x x a ( a 0且 a

1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （1， ）.

【解析】

函数 f (x) = a x x a ( a

0 且 a 1)有两个零点，

方程 a x

x a 0 有两个不相等的实数根，即

两个函数 y a x 与 y x a 的图像有两个不同的交点，当

0 a 1 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不

合题意；当 a

1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【例 5】函数 f (x)

x 2 2x 3, x 0

， 零点个数为

（ B

）

2 ln x, x 0

A 、 3

B 、 2

C 、 1

D 、 0

【例 6】若函数 f ( x)

x 3 x 2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f (1) = － 2

f (1.5) = 0.625 f (1.25) = － 0.984

f (1.375) = － 0.260

f (1.4375) = 0.162

f (1.40625) = － 0.054

那么方程 x 3 x 2 2x 2

0 的一个近似根（精确到

0.1）为

（ C ）

A 、 1.2

B 、 1.3

C 、1.4

D 、 1.5

【例 7】如果二次函数 y x 2

x m 3 有两个不同的零点， 则 m 的取值范围是 （ C ）

A 、 (

11

,

)

B 、 ( ,

11) C 、 ( ,

11

) D 、 (

11

,

)

4

2

4 2

【例 8】方程 lg x x 0 根的个数为

（ D ）

A 、无穷多

B 、 3

C 、 1

D 、

【例 9】用二分法研究函数

f ( ) x 3 3 1

f (0) 0， f (0.5) 0 ，可得其中一个零点

x x 的零点时，第一次经计算

x 0

，第二次应计算

. 以上横线上应填的内容为

( A )

A 、（0， 0.5）， f (0.25)

B 、（ 0， 1）， f ( 0.25)

C 、（ 0.5， 1）， f (0.75)

D 、（ 0， 0.5）， f ( 0.125)

反思： (1) 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；

③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．

解决这类问题的常用方法有解方程法、 利用零点存在的判定或数

形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

(2) 提醒：函数的零点不是点，是方程

f ( x) 0 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的

零点也就是函数 y ＝ f ( x ) 的图象与 x 轴的交点的横坐标．