电子科大图论-第二次作业

图论及其应用第二次作业
要求：1、交电子档给助教【助教给每个班设置邮箱，助教设置提交回复】；
2、第7章授课结束前均可以提交；
3、希望能够独立完成。

1．判断图4-43所示的四个图是否可以一笔画。

上面四个图都是连通图，看是否能一笔画成问题本质上看图是否存在欧拉迹；连通图有欧垃迹当且仅当G 最多有两个奇点。

（a ）不可以 有4个奇点
（b ）可以 一个奇点
（c ）可以 两个奇点
（d ）可以 没有奇点
2.（1）画一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；
（2）画一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；
(3) 画一个有哈密尔顿圈但没有欧拉闭迹的图；
（4）画一个既没有欧拉闭迹也没有哈密尔顿圈的图。

3. 设n 阶无向简单图G 有m 条边。

证明：若m ≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21n +2，则G 是哈密尔顿图。

(b
) (c
) (d ) 图4-43
证明：G 是H 图。

若不然，因为G 是无向简单图，则n ≥3，由定理1：若G 是n ≥3的非单图，则G 度弱于C m,n 。

于是有：
2,1()()(2)(1)(1)2
1111(1)(2)(1)(21) 1.222m n E G E C m n m n m m n n n m m m n m ⎡⎤≤=
+---+-⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+-------≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 这与条件矛盾！所以G 是H 图。

4. 在图4-45中，哪些图是哈密尔顿图？哪些图中有哈密尔顿路？
(a)非哈密尔顿图，没有哈密尔顿路
(b)哈密尔顿图 （abcdejhfiga)
(c)哈密尔顿图 （kjdhbagciefk)
(d)非哈密尔顿图 有哈密尔顿路（hjaidebcgf)
(e)不是哈密尔顿图，因为有割点a ，有哈密尔顿路（jaibcedkgfh ）
5. 证明：若G 没有奇点，则存在边不重的圈C 1, C 2,…, C m ，使得，E (G ) = E (C 1)∪E (C 2)∪…∪E (C m )。

证明：将G 中孤立点除去后的图记为G 1，则G 1也没有奇点，且δ（G 1)，则G 1含圈C 1，在去掉()11G E C -的孤立点后，得图G 2，显然G 2仍无奇度点，且δ（G 2）≥ 2，从而G 2含圈C 1，如此重复下去，直到圈C m ，且G m －E (C m )全为孤立点为止，于是得到E (G ) = E (C 1)∪E (C 2)∪…∪E (C m )。

e （a ）
（b ） e （c ） h
（d ） 图4-45 （e ）
6. 证明：若G 有2k ＞0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1, Q 2,…, Q k ，使得，E (G ) = E (Q 1)∪E (Q 2)∪…∪E (Q k )。

证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。

设G=(n,m)是连通图。

令v 1，v 2，...v k ，v k+1，...，v 2k 是G 的所有奇度点。

在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G *(1≤i ≤k)。

则G *是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C,在C 中删去e i （1≤i ≤k ），得k 条边不重的迹Q i （1≤i ≤k ）;
E (G ) = E (Q 1)∪E (Q 2)∪…∪E (Q k )
7. 证明：若
（1）G 不是二连通图，或者
（2）G 是具有二分类（X ,Y ）的偶图，这里|X |≠|Y |，
则G 是非哈密尔顿图。

证明：（1）因为G 不是二连通图，则G 不连通或者存在割点v ，有()2w G v -≥，由相关定理得：若G 是Hamilton 图，则对于v(G)的任意非空顶点集S ，有：()w G v S -< ，则该定理得逆否命题也成立，所以可得：若G 不是二连通图，则G 是非Hamilton 图。

（2）因为G 是具有二分类（X ,Y ）的偶图，又因为|X |≠|Y |，在这里假设|X |≦|Y |，则有()w G X Y X -=>，也就是说：对于v(G)的非空顶点集S ，有：()w G S S -<成立，则可以得出G 是非Hamilton 图。

8、证明：若G 有哈密尔顿路，则对于V 的每个真子集S ，有ω(G –S )≤|S |+1。

证明：G 有H 图，设C 是G 的H 圈，则对V(G)的任意非空子集S ，容易知道：
()()||G S C S S ωω-≤-≤，必然有：()||1G S S ω-≤+。

9．对下列问题给出一个好算法：
（1）构作一个图的闭包；
（2）若某图的闭包是完全图，求该图的哈密尔顿圈。

（1）构作一个图的闭包：
根据图的闭包定义，构作一个图的闭包，可以通过不断在度和大于等于n 的非邻接顶点对间添边得到。

据此设计算法如下：
图的闭包算法：
1） 令G0=G ，k=0;
2） 在Gk 中求顶点u0与v0，使得：
00()()max{()()|uv ()}
k k k k G G G G k d u d v d u d v E G +=+∉ 3） 如果
00()()k k G G d u d v n +≥则转4）；否则，停止，此时得到G 的闭包。

4） 令100,1
k k G G u v k k +=+=+，转2）。

复杂性分析：在第k 次循环里，找到点u 0与v 0，要做如下运算：（a ）找到所有不邻接点对---需要n(n-1)/2次比较运算；（b ）（b ）计算不邻接点对度和---需要做n(n-1)/2-m(G)次加法运算；（c ）选出度和最大的不邻接点对---需要n(n-1)/2-m(G)次比较运算。

所以，总运算量为：
211(1)2(1)m(G)()22n n n n O n ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭
所以，上面的闭包算法是好算法。

（2）若某图的闭包是完全图，求该图的H 圈。

方法：采取边交换技术把闭包中的一个H 圈逐步转化为G 的一个H 圈。

该方法是基于如下一个事实：
在闭包算法中，100
k k G G u v +=+，0u 与0v 在G k 中不邻接，且度和大于等于n ，如果在G k+1中有H 圈C k+1如下：
100120(,,,...,,)k n G u v v v u +-= 我们有如下断言：
在G k+1上，1,i i v v +∃使得001,()i i k u v v v E G +∈若不然，设0()k G d u r =那么在G k 中，至少有r 个顶点与v 0,则0()(1)k G d v n r n r ≤--<-这样与u 0，v 0在G k 中度和大于等于n 矛盾！ 上面结论表明：可以从C k+1中去掉u 0v 0而得到新的H 圈，实现H 圈的变交换。

由此，我们设计算法如下：
1） 在闭包构造中，将加入的边依次加入次序记为(1)
i e i N ≤≤，这里，N=n(n-1)/2-m(G).在G N 中任意取出一个H 圈C N ，令k=N;
2） 若e k 不在C k 中，令
11,k k k k k G G e C C --=-=；否则转3）； 3） 设00k k e u v C =∈，令1k k k G G e -=-；求C k 中两个相邻点u 与v 使得
u 0，v 0，u ，v 依次排列在C k 上且有：001,()k uu vv E G -∈，令
10000{,}{u ,}k k C C u v uv u vv -=-+
4） 若k=1,转5）；否则，令k=k-1,转2）；
5） 停止。

C 0为G 的H 圈。

复杂性分析：一共进行N 次循环，每次循环运算量主要在3），找满足要求的邻接顶点u 与v,至多n-3次判断。

所以总运算量：N(n-3)，属于好算法。

10．（1）证明：每个k 方体都有完美匹配（2k ≥）；
（2）求2,n n n K K 和中不同的完美匹配的个数。

(1) 证明每个k 方体都是k 正则偶图。

事实上，由k 方体的构造：k 方体有2k 个顶点，每个顶点可以用长度为k 的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。

如果我们划分k 方体的2k 个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X ，否则归入Y 。

显然，X 中顶点互不邻接，Y 中顶点也如此。

所以k 方体是偶图。

又不难知道k 方体的每个顶点度数为k,所以k 方体是k 正则偶图。

由推论：k 方体存在
完美匹配。

(2) 我们用归纳法求K2n 和Kn,n 中不同的完美匹配的个数。

K2n 的任意一个顶点有2n-1种不同的方法被匹配。

所以K2n 的不同完美匹配个数等于(2n-1)K2n-2,如此推下去，可以归纳出K2n 的不同完美匹配个数为：(2n-1)!!
同样的推导方法可归纳出K n, n 的不同完美匹配个数为：n!
11．证明：一棵树最多只有一个完美匹配。

证明：若不然，设M1与M2是树T 的两个不同的完美匹配，那么M1ΔM2≠Φ,容易知道：T[M1ΔM2]每个非空部分顶点度数为2，即它存在圈，于是推出T 中有圈，矛盾。

12．对每1k >,找出一个没有完美匹配的k 正则简单图的例子。

证明：设K 为奇数，作G 如下：取2k-1个顶点1221,,...,k v v v - ，在奇脚标顶点和偶脚标顶点之间两两连以外边，再连接13572523,,...,k k v v v v v v --边，所得图记为0G ，显然除0G 除21k v -外其余顶点的度均为k ，而21k v -的度为k-1，取k 个两两不相交的0G 的拷贝和一个新顶点0v ，并把每个0G 拷贝中对应于21k v -的顶点与0v 相连以边。

最后所得的图记为G ，显然G 是k-正则的简单图。

又由于0G 含2k-1个顶点，则G 的顶点数为：k*（2k-1）+1。

所以如果G 有一个完美匹配M 的话，则2*(21)11|M|=22
k k k k -+-=- 。

假设M 是G 的一个完美匹配，则其边应来自k 个独立的0G ，和跟0v 相关联的一条边。

而每个0G ，其包含的顶点数为2k-1，所以0G 能提供给M 的边最多为k-1条，k 个这样的0G 能提供给M 的边最多为k*（k-1），因此M 最多包含的边为k*（k-1）+1<k 2-(k-1)/2,因此G 不可能有完美匹配
当k 为偶数时，取G=K k+1,则G 的顶点数为k+1,显然G 的顶点数为奇数，所以G 无完美匹配。

13．证明63n K -有一个3－因子分解。

证明：K6n-2= K 2(3n-1) , 所以，可以分解为6n-3个边不重的1因子之和。

而任意3个1因子可以并成一个3因子。

所以，共可以并成2n-1个3因子。

即K6n-2可以分解为2n-1个3因子的和。

14．给出分4,4K 为生成林的一个最小分解。

证明：首先将其分解为4条路112...i i i i i i n i n P x y x y y x -+--+= 脚标按模4计算。

114233
221344
332411
443122P x y x y x P x y x y x P x y x y x P x y x y x ====
即为
4,4K 的生成森林的一个最小分解。

15．证明：若n 是偶数，且12)(+≥n G σ，则n 阶图G 有3－因子。

证明：因δ(G)≥n/2+1 ,由狄拉克定理：n 阶图G 有H 圈C .又因n 为偶数，所以C 为偶圈。

于是由C 可得到G 的两个1因子。

设其中一个为F1。

考虑G1=G-F1。

则δ(G1)≥n/2。

于是G1中有H 圈C1。

作H=C1∪F1。

显然H 是G 的一个3因子。

16．对0k >，证明： 每个k 正则偶图是1－可因子分解的；
证明：因为每个k （k>0）正则偶图G 存在完美匹配，设Q 是它的一个一因子，则G-Q 还是正则偶图，由归纳可知，G 可作一因子分解。

17．证明：一棵树G 有完美匹配当且仅当()1o G v -=对所有的v ∈V (G ) 成立。

证明：
必要性：一方面：若G 有完美匹配，由托特定理：o(G-v)≦1；另一方面：若树G 有完美匹配，则显然G 为偶阶树，于是 o(G-v)≥1;所以：o(G-v)=1。

充分性：由于对任意点v ∈V(G), 有o(G-v)=1。

设Cv 是G-v 的奇分支，又设G 中由v 连到G-v 的奇分支的边为vu ，显然，由u 连到G-u 的奇分支的边也是uv 。

令M=｛e(v):它是由v 连到G-v 的奇分支的边，v ∈V(G) ｝则：M 是G 的完美匹配。

18. 对n ≥1，K 4n +1 是4-可因子分解的。

证明：K 4n +1=K 2(2n)+1，所以，可以分解为2n 个边不重的2因子之和，而任意2个2因子
可以并成一个4因子。

所以，共可以并成n 个4因子。

即K 4n +1可以分解为n 个4因子之和。

所以：n ≥1，K 4n +1 有一个4因子分解。