幂级数的收敛半径与收敛域

定义域为 D = (−1,1) 。 设 S ( x) = ∑
x 2n ， f ( x) = xS ( x) = n = 0 2n + 1
∞
x 2 n +1 ，利用逐项求导，得到 ∑ n = 0 2n + 1
∞
f ' ( x) =
n =0
∑ x 2n
∞
=
1 ， 1− x2
所以
S ( x) =
∞
1 x dx 1 1+ x 。 = ln ∫ 2 0 x 1− x 2x 1 − x
n =1 ∞
(−1) n ，级数收敛。 n =1 n
∞
所以收敛区域为 D = [− 2 , 2 ]。 （ 4 ）设 ∑ (−1) n
n =1 ∞
∞ ln(n + 1) ( x + 1) n = ∑ a n ( x + 1) n ， lim n a n = 1 ，所以收敛半 n→∞ n +1 n =1
∞
（8）设 ∑
敛半径为 R = 4 。 当 x = ± 4 时， ∑ a n x n =
n =1 ∞
( n !) 2 (±4) n ，应用 Stirling 公式 ∑ n =1 ( 2n) !
∞ n+ 1 2 e −n
n! ～ 2π n
(n → ∞) ，
可知级数的通项
(n!) 2 (±4) n 不趋于零，因而发散。 (2n)!
3 ⎛ x −1⎞ ⑸ ∑ ⎜ ⎟ ; n =1 n ! ⎝ 2 ⎠
n! n ⑺ ∑ nx ； n =1 n
∞
ln 2 n n 2 ⑹ ∑ nn x ; n=2
( n !) 2 n x ; ⑻ ∑ n =1 ( 2n) !
∞
∞
⑼
∑ (2n + 1)!!x
n =1 ∞
∞
(2n )!!
n
。
解 （1） 设∑
x
f ( x)dx =
n =1
∑ ∫0
∞
x
nx n−1dx =
n =1
∑ xn
∞
=
x ， 1− x
S ( x) = x
∞
x d ⎛ x ⎞ 。 ⎜ ⎟= dx ⎝ 1 − x ⎠ (1 − x) 2
（2）级数 ∑
x 2n 的收敛半径为 R = 1 ，当 x = ±1 时，级数发散，所以 n = 0 2n + 1
1 3
∞ 3 n + (−2) n n 1 x = ∑ a n x n ，lim n a n = 3 ， 所以收敛半径为 R = 。 n →∞ n 3 n =1 n =1 ∞
当 x = 时， ∑ a n x n = ∑ [1 + (− ) n ] ，级数发散。
n =1
1 n =1 n
∞
∞
2 3
当 x = − 时， ∑ a n x n = ∑ [(−1) n + ( ) n ] ，级数收敛。
上式等号可能不成立，例如 ∑ a n x n = ∑ x 2n ，收敛半径为 1，
n =0 n =0
∞
∞
n =0
∑ an x n =
∞
n =0
∑ x 2n+1 ，收敛半径也为 1，但 ∑ a n bn x n 的收敛半径为 R = +∞ 。
n =0
∞
∞
4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并 指出它们的定义域。 ⑴
n =0 n =0
∞
收敛半径： (1) (3)
n =0 ∞
∑ an x 2n ;
n n n ∞
∞
(2)
∑ (a
n =0
∞
n
+ bn ) x n ;
∑a b x
n =0 n =0
。
解 （1）设 ∑ a n x 2 n 的收敛半径为 R 。 当 x < R1 时， ∑ a n x 2 n 收敛，当 x > R1 时， ∑ a n x 2 n 发散，所以
∑⎜
∞
但 ∑ (a n + bn ) x n 的收敛半径为 2 。 所以 R ≥ min(R1 , R2 ) 。
∞ n =0
（3）设 ∑ a n bn x n 的收敛半径为 R 。 由 lim n an bn ≤ lim n an ⋅ lim n bn ，可知 R ≥ R1 R2 。
n→∞ n →∞ n →∞
径为 R = 1 。
∞ ∞ 1 1⎞ 当 x = 2 时， ∑ a n ( x − 1) n = ∑ ⎛ ⎜1 + + " + ⎟ ，级数发散。 n =1 n =1⎝
2
n⎠
∞ ∞ 1 1⎞ 当 x = 0 时， ∑ a n ( x − 1) n = ∑ (−1) n ⎛ ⎜1 + + " + ⎟ ，通项不趋于零，级 n =1 n =1
∑ nx
n =1 ∞ n =1 ∞
∞
n
；
x 2n ； ⑵ ∑ n = 0 2n + 1 xn ； ⑷ ∑ n =1 n( n + 1)
∞
∞
n −1 2 n ⑶ ∑ (−1) n x ； n ⑸ ∑ n(n + 1) x ； n =1 ∞
⑹ 1+ ∑
x 2n ； n =1 ( 2n)!
∞
⑺
∑
n +1 n x 。 n =1 n!
所以收敛区域为 D = (− 4,4) 。 （9）设 ∑
a ⎡ (2n + 2)!! (2n + 1)!!⎤ (2n )!! n ∞ x = ∑ a n x n ， lim n+1 = lim ⎢ ⋅ ⎥ = 1 ，所 n →∞ ( 2n + 3)!! n →∞ a ( 2 )! ! n n =1 n =1 ( 2n + 1) !! ⎦ ⎣ n
n
当 x = ± a 时， ∑ 域为 D = (− a, a) 。
xn 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区 n n n =1 a + b
∞
（3）设a x + b x2 + a2 x3 + b2 x4 +…+ an x2n - 1 + bn x2n + … = ∑ cn x n ，则
n =1
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∞
n →∞
n =0 n =0 ∞ ∞
R = R1 。
（2）设 ∑ (a n + bn ) x n 的收敛半径为 R 。
n =0
∞
55
当 x < min(R1 , R2 ) 时， ∑ (a n + bn ) x n 收敛。
n =0
∞
当 x > min(R1 , R2 ) ， R1 ≠ R2 时， ∑ (a n + bn ) x n 发散。
n →∞
⎛ an ⎝ n
+
bn n2
∞
⎞ 1 ⎟ = a ，所以收敛半径为 R = 。 ⎟ a ⎠
当 x = − 时， ∑ ⎜ ⎜
1 a
⎛ a n b n ⎞ n ∞ ⎛ (−1) n b n (−1) n ⎜ + 2⎟ ⎟ x = ∑⎜ n + n2an n n n =1⎝ n =1 ⎝ ⎠
54
⎞ ⎟ ，级数收敛。 ⎟ ⎠
n =1
1 3
∞
1 n =1 n
2 3
1 1⎞ 所以收敛区域为 D = ⎡ ⎢− , ⎟ 。 ⎣ 3 3⎠
∞ ∞ 1 1⎞ n n （2）设 ∑ ⎛ ⎜1 + + " + ⎟( x − 1) = ∑ a n ( x − 1) ， lim n a n = 1 ，所以收敛半 n =1
⎝
2
n⎠
n =1
n→∞
∞ n
所以收敛半径为 R = +∞ , 收敛区域为 D = (− ∞,+∞) 。 （6）设 ∑
R = 1。
ln 2 n ln 2 n n 2 ∞ n n a = lim n 2 = a x x lim = 1 ，所以收敛半径为 ， ∑ n n n n →∞ n →∞ nn n =1 n=2 n
∞
当 x = ±1 时，显然 ∑ a n x n 收敛，所以收敛区域为 D = [− 1,1] 。
径为 R = 1 。 当 x = 0 时，∑ an ( x + 1) n = ∑ (−1) n
n =1 n =1 ∞ ∞
ln(n + 1) 是 Leibniz 级数， 所以收敛。 n +1
当 x = −2 时， ∑ an ( x + 1) n = ∑
n =1
∞
ln(n + 1) ，级数发散。 n =1 n + 1
∞
以收敛半径为 R = 1 。 当 x = −1 时， ∑ a n x n = ∑ (−1) n
n =1
n =1
∞
∞
(2n )!! 是 Leibniz 级数，所以收敛。 (2n + 1) !!
当 x = 1 时， ∑ an x n = ∑
n =1
∞
b (2n )!! (2n)!! 1 ， 令 bn = ， lim n( n − 1) = ， n →∞ (2n + 1)!! bn+1 2 n =1 ( 2n + 1) !!
∞
n! ～ 2π n
n+
1 2 e −n
(n → ∞) ，
53
可知级数的通项
n! (±e) n 不趋于零，因而发散。 n n 所以收敛区域为 D = (− e, e) 。
⎡ [(n + 1)!] 2 (2n)! ⎤ 1 a ( n !) 2 n ∞ x = ∑ a n x n ， lim n+1 = lim ⎢ ⋅ ⎥ = ，所以收 n →∞ [ 2( n + 1)]! ( n!) 2 n →∞ a n =1 n =1 ( 2n) ! n ⎣ ⎦ 4
n =0
∞
但 当 R1 = R2 时 ， ∑ (a n + bn ) x n 的 收 敛 半 径 有 可 能 增 加 ， 例 如
n =0
∞
n =0
∑ an x n
∞ n =0
∞
=
n =0
∑ x n ，收敛半径为 1 ， ∑ bn x n
n =0
∞
∞
=
⎛ 1 ⎞ − 1⎟ x n 收敛半径也为 1 ， n ⎠ n = 0⎝ 2
当 x = 时， ∑ ⎜ ⎜
1 a
⎛ an bn ⎞ n ∞ ⎛ 1 bn ⎜ = + x + 2⎟ ∑⎜ n ⎟ n2an n =1⎝ n n =1 ⎝ n ⎠
∞
⎞ ⎟ ，级数发散。 ⎟ ⎠
1 1⎞ 所以收敛区域为 D = ⎡ ⎢− , ⎟ 。 ⎣ a a⎠
（2） lim n
n →∞
1 1 = ，所以收敛半径为 R = a 。 n a a +b
∞
解 （1）级数 ∑ nx n 的收敛半径为 R = 1 ，当 x = ±1 时，级数发散，所以
n =1
定义域为 D = (−1,1) 。 设 S ( x) = ∑ nx n ， f ( x) =
n =1 ∞
S ( x) ∞ n −1 = ∑ nx ，利用逐项求积分，得到 x n =1
56
∫0
所以
n =1
∞
⎡ (n + 1)! n n ⎤ 1 a n+1 n! n ∞ n = lim ⎢ （7）设 ∑ n x = ∑ a n x ， lim ⋅ ⎥ = ，所以收敛半 n →∞ a n →∞ ( n + 1) n +1 n! ⎦ e n =1 n =1 n n ⎣ 径为 R = e 。 ∞ ∞ n! 当 x = ± e 时， ∑ a n x n = ∑ n (±e) n ，应用 Stirling 公式 n =1 n =1 n
⎝
2
n⎠
数也发散。 所以收敛区域为 D = (0,2) 。
52
（3）设 ∑ (−1) n
n =1
∞
∞ x 2n (−1) n 1 n n a = lim 2 n = a x lim ， ，所以收敛 = ∑ n n n n n →∞ n →∞ n⋅2 n⋅2 2 n =1
半径为 R = 2 。 当 x = ± 2 时， ∑ a n x n = ∑
∞
所以收敛区域为 D = (− 2,0] 。
∞ ⎡ a n+1 3n x − 1 ⎞ n!⋅2 n ⎤ 3 n +1 n = lim ⎢ （5）设 ∑ ⎛ ⋅ ⎜ ⎟ = ∑ a n ( x − 1) ， lim ⎥ = 0， n →∞ a n →∞ ( n + 1)!⋅2 n +1 3n ⎦ n =1 n =1 n ! ⎝ 2 ⎠ n ⎣
习 题 10. 3
幂级数
1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。
3 n + (−2) n n x ; ⑴ ∑ n n =1
∞
⑵ ⑷
1 + + " + ⎟( x − 1) ∑⎜ n⎠ ⎝ 2
n =1 ∞
∞
⎛
1
1⎞
n
;
⑶ ∑ (−1) n
n =1
∞ n
∞
x 2n ; n ⋅ 2n
n
∑ (−1)
n =1
n
ln(n + 1) ( x + 1) n ； n +1
∞
由 Raabe 判别法可知级数发散。 所以收敛区域为 D = [− 1,1) 。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。
⎛ an bn ⎞ n ⑴ ∑⎜ ⎟x ; ⎜ + n2 ⎟ n =1 ⎝ n ⎠
∞
xn ⑵ ∑ an + bn ; n =1
∞
⑶ a x + b x2 + a2 x3 + b2 x4 + … + an x2n - 1 + bn x2n + …。 解（1） lim n ⎜ ⎜
lim n c n = lim 2 n −1 a n = a ，所以收敛半径为 R =
n →∞
1 a
。
当x=± 为D = ⎜ ⎜−
⎝ ⎛ 1 a ,
1 a
， ∑ cn x n 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域
n =1
∞
1 ⎞ ⎟ ⎟。 a⎠
∞
3. 设
∑ an x n 与 ∑ bn x n 的收敛半径分别为R1和R2, 讨论下列幂级数的