从等效原理到质量与相互作用[1]

从等效原理到质量与相互作用

在物理上，等效原理可以从始至终都占据着一个很重要的位置。

从一个广泛的意义上来说，等效原理所作的事情就是找到各种物理过程中同一个物理量的不同角色，然后将之等同起来。

比如说，质量在运动学中扮演着一个被动者的角色：惯性。而在引力问题中，它却扮演着一个主动者：引力荷。在这里，惯性是与时空测地线紧密相连的概念（当然，这里有一个大前提：物质是沿着时空测地线运动的。这点在后面会谈到），而引力荷则与引力相互作用关联在一起。当我们认为质量的这两面性是等同的时候，事实上就在时空测地线与引力相互作用之间划上了等号，因而就能很自然地得到GR中的著名假定：引力就是时空弯曲。

可以说，正式质量的特殊性，带领我们找到了GR。换句话说，如果GR有问题，那么上述的等效原理肯定有问题，质量的这两面性的同一就是存在疑问的。

当然咯，这里的另一个基础假设是惯性与时空测地线的关系。这点在伽利略时代就有了论述：如果没有外力作用，物质将一直保持原有的运动状态不变。

当然，事实上我们并不知道这一结论在弯曲时空中是否一定成立，但是至少从平直时空出发，上述运动状态的描述恰好与测地线是保持一致的。

因而，原则上来说，这里我们有着两个假设：一，物体是沿着时空测地线运动的，而保持这种特性的量就体现在惯性质量上；二，惯性质量与引力质量是同一的。

现代实验基本上是确定了第二天应该肯定是成立的，而对于第一点的验证也是非常完美的——因而，惯性定理事实上就可以看作是物理化的测地线表述。即使有偏离，程度也不大，那至少告诉我们：质量在很大程度上是满足上述两点假设的——所以，不满足的部分可以看作是物质中除了质量以外的别的物理内涵所引起的，比如自旋导致的测地偏离——对应的是爱因斯坦-卡当流形。

在展开关于质量的话题前，让我们继续来看一下等下原理的另一个更重要的应用——规范原理。

如果说，SR中的等效原理将各个不同的匀速运动平直参照系之间划上了等号，那么GR的等效原理就是在各个不同的非平直参照系的局部，与平直参照系划上了等号。因而，相对论最后告诉我们的是：时空作为一个几何对象，在任何情况下（这点稍后会加以解释和追溯），它的局部总是可以看作一个平直时空。

正是这条告诉我们：时空可以看作是一个微分流形，而平直时空就是闵氏空间。当然了，这点稍后也会追加说明一些东西。

这个等效原理是很强的，它指出了作为物理对象的时空的基本数学性质，同时也告诉我们时空是很纯粹很单纯的——可以视为小正太（囧）。

那么，是否可能存在更强的等效原理呢？杨振宁告诉我们：可以。

这里就要引入另一个比微分几何更加宽泛的几何对象了：纤维丛。而与之对应的物理客体，就是具有相互作用的时空。

这个推广可以说是非常大胆的。因为从引力到时空弯曲，事实上我们是有着上述所说的两点假设作为理论依据与报障的。但是将相互作用也视为一种几何结构（也就是纤维丛），这是冒着一定风险的。

我们都知道，在SR的Lorentz Boost下，质量是会发生相应的Lorentz变化的，但是电荷不会。这个特点就告诉我们了：引力荷与电荷是截然不同的两类客体。所以，引力荷能够几何化，不表示电荷也能几何化。

但是，杨振宁的规范场论就是这么一个理论：将相互作用完全都几何化了。与引力的几何化不同，引力的几何化是几何化为时空本身，而别的相互作用的几何化则是化作了时空上的纤维丛，准确的说，是时空的主丛。

这里我们可以看到，引力与别的相互作用还是不同的。引力可以说是时空切丛的物理表象，而别的相互作用是时空主丛的物理表象。

而规范等效原理，事实上就是这么一个原理：具有相互作用的时空从局部上来说都是处处相同的。这里，附带考虑上了相互作用。

用纤维丛的话来说，如果将相互作用视为时空上的附加空间，那么这个附加空间与底流形切空间的直积空间处处平直，所以就是纤维空间，整个带有这种附加结构的时空流形就构成了纤维丛。

纤维丛说到底，是时空上的一种附加结构。所以引力与别的相互作用虽然都几何化了，却还是具有本质的不同。

这种不同在物理上也有所体现：动质量是Lorentz协变矢量的分量，而力荷却是Lorentz标量。

更主要的不同，在于别的相互作用都需要作用在质量上，随后才能改变物体的运动状态：。从场论来描述的话，为：，这里相互作用必须作用在质量上的意味并不是很明显，相反，这里却给人以“质量是一种场的自耦合”的感觉。

当然，如果只从经典的角度出发，我们应该能看到：引力外的相互作用作用在物质（的质量）上，随后改变物体的运动状态。而这点恰好与“附加结构”这个联系在一起：附加结构导致了物体运动的测地偏离，而附加结构本身不改变时空测地性质。

从这点来看，纤维丛理论作为相互作用的表述应该是合理的——尤其当我们看到QED以及弱电统一理论的空前成功后，当然，QCD现在还有一定的困难。

所以，在进行量子化以前，我们可以看到，整个物理就是具有相互作用这种附加几何结构的纤维丛微分流形。

而质量，在这里的角色非常特殊：它是连接相互作用与物质运动的桥梁，它是将纤维丛“固定”在时空流形上的“锚点”。

可是，这个论点在量子化的量子规范场论体系中却受到了挑战。从上面的最简单标量场的运动方程可以看出，量子体系中的质量并不显然地在扮演桥梁的角色，它更想是一个场自身与自身相互作用的“荷”，一种“自作用荷”。

对于自由场而言，无质量场是不存在色散的：，从而做傅立叶变换后，只要四维波矢满足：（这里只考虑平直时空）。时间分量为能量（也就是频率），而空间分量就

是动量，那么其“速度”就是：，取模后就有：。从而，任意频率的波，其速度都

是相同的，所以不存在色散。

但是对于有质量的波来说，情况就不同了：，从而速度的模为：，而且是能量（频率）的函数——具有不能能量的波的前行速度是不同的。这就是色散。

可见，质量的一大特性就是导致了波函数的色散。

在非线性理论中我们知道，如果一个系统是非线性的，且有色散，那么它很可能包含有孤子解。而且，事实上对于某些特殊类型的非线性理论，它可以具有无穷多中不同的孤立子，比如非线性模型。同时，我们也能看出，在同样的外势作用下，波函数的改变也是不同的。

比如以理论为例，它的拉氏量为（度规为）：

从而运动方程为：

这是非线性且色散的，显然波场越强，等效于波的能量更高的情况，从而速度越慢。因而，这种相互作用场中是允许出现孤立子波解的。事实上，我们甚至可以认为就是由于相互作用的非线性，以及质量的色散性，导致了波场的孤立子解，使得其显现出粒子性。从这个意义上来说，高度非线性的引力理论与强相互作用理论也许暗示着我们：粒子之所以稳定存在，其根源就是质量的色散效应与相互作用的非线性效用。从这个角度来看，质量所扮演的角色就是将各个不同的相互作用“固化”、“纠缠”在一起，并且保持其相对稳定的一种“黏着剂”。

这里稍微说明一下。色散导致不同频率的波的（空间上看来的）前行速度不同，而非线性效应是使得不同强度（振幅）的波的前行速度不同，所以当我们将不同频率的波的振幅进行适当的调配，可以使得各波分量的前行速度保持一致，从而使得整个波的波形保持不变（当然咯，更复杂意义上来说，也有“呼吸孤立子波”，那是有周期性震荡的孤立子）。

对于自由波的运动方程，从单色波部分我们可以看出，质量的作用是用来“记忆”波场的波矢与频率的关系，是一种惯性。而出现相互作用时，相同强度的相互作用在波场运动状态改变量中的份额随着质量的增加而减少。因而，在场论中，质量也体现着“惯性”的一面。当然，更多的时候，看上去更像是一种场的自耦合——所以，惯性与自耦合是等价的，场与自身的耦合事实上可以视为是一种“记忆”告诉自己以前的运动方式是什么样的。

事实上，当我们把眼光从经典的粒子物理衍生到经典的场论中时，我们会发现质量的角色发生了很大的改变。