数学方法论-第五讲-RMI方法

港逆水行回甲港，共用了8小时。已知顺水每小时
比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行 60千米。那么，甲乙两港相距多少千米。
例1 水结成冰体积增加了十分之一，那么，冰化
成水后，体积减少了几分之几？
水
冰
水
例2 某班有四个课外活动小组。已知有二分之
一的学生参加语文小组，有四分之一的学生参加英
语小组，有八分之一的学生参加数学小组，还有6名 学生参加科技小组。如果参加者互不重复，该班有 多少人。
1 2 1 4 1 6人 8
例3 鸡兔同笼不知数，十二个头笼中露。 数清脚共三十只，多少只鸡多少兔？
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
一、关系映射反演方法
如果原问题“化归”为一个新问题 后，新问题与原问题是同构的（即，只 是形式不同，数学结构完全相同），这 种“化归”在数学上又称为“RMI”方法。
二、关系映射反演方法的基本含义
原象关系结构
（原象系统中的问题） 映射 映射关系结构 （映射系统中的问题）
甲，乙两船同时从B港分别向C港和A港行 驶。已知甲船速度是乙船速度的五分之六倍， A，B 两港相距540千米。甲船3小时后到达C 港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达 A港。则乙船速度是（ ）千米/小时。
C
B
A
6 [540 (3 2) 5] 15 5
一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙
现在岁数与当时岁数的差
113岁 甲17岁 乙岁数 丙岁数
甲现在岁数
乙现在岁数
丙现在岁数
（岁） 乙现在岁数是：(113 17) 3 32
（岁） 丙现在岁数是：113 25 32 56
四、运用RMI方法来解决数学问题的基本思路：
（一）能否在另一关系结构中构造出该问题的模型 （二）能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题 （三）变形－－对应（映射）－－反演
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头
脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
例7 （托尔斯泰问题）一组割草人要把两片草地上 的草割完，大片是小片的两倍。上半天人们都在大片
反演
在原象系统中作出解决 在映射系统中求得解决
曹冲称象与关系映射反演法
称大象的问题 原象系统中的问题
转化
映射
称石头的问题 映象系统中的问题
在原象系统中作出解决 大象问题得到解决
反演 转化
在映象系统中求得解决 石头问题得到解决
三、RMI方法的应用
“映射”作广义上来理解，就是指化难 为易的某种对应方法或手段，而“反演” 就是把变换后求得的解答再转换成原来问 题所要求的答案。
例6 甲、乙、丙三人现在的岁数和是113岁。当甲的岁数是乙 的岁数的一半时丙是38岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半 时，甲是17岁。那么丙现在是多少岁？
现在岁数与当时岁数的差 113岁 甲岁数 乙岁数 丙38岁
甲现在岁数
乙现在岁数
丙现在岁数
（岁） 甲现在岁数是： (113 38) 3 25
汽车10 骑车20
人10
前后两车 前后两车 的距离 的距离
汽车20
Байду номын сангаас
汽车10 汽车20
人10
前后两 车的距 离
骑车20
＝人10的6
汽车2分 钟
甲、乙两车分别从A、B两地出发，在、之间不断往返行驶。 已知甲车的速度是每小时15公里，乙车的速度是每小时35 公里，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的 地点恰好相距100公里，那么，AB两地相距多少公里？ 4 1 3 2
例4 A、B，两地相距2400米，甲从A地，
乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分
钟跑300米。乙每分钟跑240米，在30分钟后停 止运动。甲，乙两人在第几次相遇时距A地最近？ 最近距离是多少米？
1 2 3
2400 9 3 800
行程问题的数量关系
（速度比）
映射 线段图
反演 问题得到解决
在线段图上得到 帮助或求得解
例5 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2小时， 去时顺水，比返回来每小时多航行8千米，且第二小时比第 一小时少航行6千米，求甲、乙两地水路的距离？ 顺水
甲
3千米
乙
3 3 1 顺航： 6 8 （小时）前一小时里逆航： （小时） 1 4 4 4 1 逆行速度为每小时： 6 2） 12 （ （千米） 4 1 甲、乙两地水路的距离是：12 (1 ) 15 （千米） 4
地上割，午后人们对半分开，一半仍留在大片地上，
到傍晚恰好把草割完；另一半到小片地上去割，到傍 晚还剩下一小块，这一小块一个人一整天可以割完。 问这组割草人有多少？
半组人 半天
一人一天＝二人 半天
例8 一条街上，一个骑车人和一个步行人同向 而行，骑车人速度是步行人速度的3倍。每隔10 分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔20分钟 有一辆公共汽车超过骑车人。如果公共汽车从 始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么每 间隔几分钟发一辆车？