高等数理统计预备知识

预备知识
1.事件域
定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集所组成的集合类。

如果F 满足： （1）Ω∈F ；
（2）若A ∈F ，则对立事件A ∈F ；
（3）若,=1,2,
n A n ∈F ，则可列并
=1
n n A ∞
∈F .
则F 是一个σ代数（或称σ域），称为事件域。

F 中的元素称为事件。

2.可测空间
定义 在概率论中，二元组(),ΩF
称为概率可测空间，这里“可测”是指F
是一个事
件域，即F 中的元素都是有概率可言的事件。

3. 有限维乘积可测空间
定义 设(),,1i i i n Ω≤≤F 是n 个可测空间，像通常一样，
(){}1=,
,:,1n i i i n ωωωΩ∈Ω≤≤
称为1,
,n ΩΩ乘积空间，记为1=1
==n i n i Ω⨯ΩΩ⨯⨯Ω。

对i i A ⊂Ω，1i n ≤≤，集合
(){}1A=,,:,1n i i A i n ωωω∈≤≤
称为乘积空间Ω中的矩形集，记为1=1
A==A n i n i A A ⨯⨯⨯。

特别地，当每个i i A ∈F 时，
1=1
A==A n
i n i A A ⨯⨯
⨯
称为可测矩形。

C 表示=1
=n i i Ω⨯Ω中的可测矩形全体，即
{}1=A :,i=1,
,n n i i A A ⨯
⨯∈C F ，
则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为乘积σ域， 记为1=1==n
i n i ⨯⨯
⨯F F F F ，又称(),ΩF 为可测空间()()11,,
,,n n ΩΩF F 的乘积可测空
间，记为
()()()()11=1
,=,=,,n
i i n n i Ω⨯ΩΩ⨯
⨯ΩF F F F
4. 无限维乘积可测空间
定义 设
(){},,J αααΩ∈F 是一族可测空间，则
(){}=,J :,J αααωαωαΩ∈∈Ω∈
称为(),J ααΩ∈乘积空间，记为=J
J
αααα
∈∈Ω⨯Ω=
Ω∏。

若I 是J 的有限子集，对
,A I ααα∈∈F ，集合
(){}B=,J :,,,J i A I ααααωαωαωα∈∈∈∈Ω∈
称为乘积空间Ω中的有限维基底可测矩形柱集，=I
A A αα∈⨯称为
B 的底。

C 表示Ω中的有
限维基底可测矩形柱集全体，则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为{}J αα∈，F 的乘积σ域，记为=J
J
αααα
∈∈⨯=
∏F F F 。

又称(),ΩF 为 (){},,J αααΩ∈F 的乘积可测空间，记为()()(),=,,J
J
αααααα∈∈Ω⨯Ω=Ω∏F F F 。

在统计中，主要用到{}=1,2,J 的情形,此时,记为
1
=1
1
=
==i
i
n i i ∞
∞
=ΩΩ⨯ΩΩ⨯
⨯Ω⨯
∏,
1
=1
1
=
==i
i
n i i ∞
∞=⨯⨯
⨯⨯
∏F F F F F ,
()()()()()11=1
1
,=,=,=,,i i i i n n i i ∞
∞
=ΩΩ⨯ΩΩ⨯
⨯Ω⨯
∏F
F F F F 。

5.概率空间
定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集组成的一个σ代数（σ域），称为事件域。

如果定义在F 上的一个实值集函数()P A 满足： （1）非负性，即若A ∈F ，则()0P A ≥； （2）正则性，即()=1P Ω；
（3）可列可加性（σ可加性），即若,=1,2,
n A n ∈F ，且互不相容，则有
()+=1
=1=n n n n P A P A ∞∞
⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 则称集函数()P A 为可测空间(),ΩF
上的一个概率测度，
简称为概率。

对任一事件A ∈F ，
概率测度值()P A 称为事件A 的概率。

称三元组(),,P ΩF 为概率空间（或称概率场）。

（在一般测度论中，若将（2）改成()0P φ=，则称P 为测度，(),,P ΩF 称为测度空间；
若P 是测度，且()P Ω<∞，则称P 为有限测度；若P 是测度，且存在n A ∈F ，1n ≥，
使
1
n n A ∞
==Ω，(),1n P A n <∞∀≥，则称P 为σ有限测度）
下面举几个例子说明如何建立概率空间。

例1抛掷一枚硬币，观察正反面出现的情况。

0ω表示“出现正面”这一基本结果（事
件），1ω表示“出现反面”这一基本结果（事件），则基本事件空间{}01=,ωωΩ，令{}0=A ω，{}1=A ω则{}=,,,A A φΩF 是一个事件域。

对给定的实数p （0<<1p ）
，在F 上定义 ()=P A p ，()=1-P A p ，()=0P φ，()=1P Ω，
则这样定义的P 是一个概率（这个概率称贝努里（Bernoulli ）概率），(),,P ΩF 是一个概率空间（称为贝努里（Bernoulli ）概率空间）。

若1
=
2
p ，则表示硬币质量分布是匀称的。

若定义()()()===0P A P A P φ，()=1P Ω，则这样定义的P 也是一个概率，()
,,P ΩF 也是一个概率空间。

这个概率空间没有实际意义。

例2 从某工厂的某种产品中随机抽出n 件，观察其中的合格品个数。

用k ω表示“抽出的n 件中恰好有k 件合格品”的事件，令{}=0,1,
,n Z n 及
{}=:k n k Z ωΩ∈，
{}=:,k n A k Z ωΛ∈ΛΛ⊂， {}=:Z n A ΛΛ⊂F ，
则F 是Ω的一切子集所形成的集类，它是一个σ代数（σ域）。

再令
()()-=1-,n k
k n k n P A p p Z k Λ∈Λ⎛⎫Λ⊂ ⎪⎝⎭
∑，
其中p 满足0<<1p 。

则P 是F 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为二项概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P ΩF （称为二项概率空间）。

例3 观察某电话交换台在时间间隔[,+a a t ）内收到用户的呼叫次数。

用k ω表示“电话交换台在时间间隔[,+a a t ）
内恰好收到用户的k 次呼叫”的事件，令{}+=0,1,2,Z 及
{}+=:k k Z ωΩ∈，
{}+=:,k A k Z ωΛ∈ΛΛ⊂， {}+=:Z A ΛΛ⊂F ，
则F 是Ω的一切子集所形成的积类，它是一个σ代数（σ域）。

再令
()()
-=,!
k
k n k t P A e Z k λλΛ∈Λ
Λ⊂∑
，
其中>0λ。

则P 是F 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为泊松（Poisson ）概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P ΩF （称为泊松（Poisson ）概率空间）。

例4 设,a b R ∈，<a b ，在有限区间[],a b 上任取一点观测其坐标。

属于[],a b 中的点看成基本事件，即[]=,a b Ω，令
[][],=,R
a b a b B B ，
其中R B 是R 中的Borel 子集组成的σ代数。

则[],a b B 是Ω中的一切Borel 子集所形成的积类，它是一个σ代数（σ域）。

再令
()()()[],1
==,A --a b A
A P A dx b a b a μμ∈⎰
B ， 其中μ是直线R 上的Lebesgue 测度。

则P 是[],a b B 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而P 是概率（这个概率称为均匀概率），于是我们建立了一个概率空间[]()
,,,P a b ΩB （称为均匀概率空间）。

在此概率空间中，若a c d b ≤≤≤，则
()()[]()()()-c,d =c,d =(c,d]=[c,d)=
-d c
P P P P b a。

若A 是[],a b 中的有限子集或可列子集，则()=0P A 。

例5 设()=-,+R ∞∞是实直线，属于R 中的点看成基本事件，即()==-,+R Ω∞∞，令R
B 是R 中的Borel 子集组成的σ代数，定义
(
)()
()2--2=,x a R P A dx A τμ∈⎰
B 其中μ是直线R 上的Lebesgue 测度，a R ∈，>0τ是常数。

则可证明这样定义的P 是R B 上
满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为正态概率，或高斯（Gaussian ）概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P R ΩB （称为正态概率空间，或高斯
（Gaussian ）概率空间）。

在这个概率空间中，若,a b R ∈，且<a b ，则
()()[]()()(
)()
2
--2,=,=(,]=[,)=x a b
a
P a b P a b P a b P a b dx τ。

若A 是R 中的有限子集或可列子集，则()=0P A 。

例6 考虑一个n 次独立试验序列，在第k 次试验中可能出现r 个基本结果
()()
1,,r k k
ωω。

令()k
s k ω表示第k 次试验出现的结果。

这个试验的基本事件空间为 ()()
(
)
{}
11=,
,:=1,
,;=1,,n s
s
n k s r k n ωωΩ，
它是由n
r 个基本结果组成。

取{}=:A A ⊂ΩF 是由Ω的一切子集组成的σ域。

对给定的实 数>0,=1,
,s p s r ，且1+=1r p p ，令
()(
)
()()
1
11
,
,=
,
n s s n n
s s A P A p p A ωω∈∈∑
F
则P 是F 上的概率（称为多项概率）。

(),,P ΩF 是一个概率空间（称为多项概率空间）。

若
()
()
(
){}11=,
,n s s n
A ωω是基本事件，则()1
=n s s P A p
p ，且1
1=1
=1
=1n n r
r
s s s s p
p ∑
∑。

在此例中，如果考虑的是一个n 次独立重复试验，每次试验中可能出现r 个结果
()()1,,r ωω，用()k
s k ω在第k 次试验中出现结果()k
s ω，=1,,;=1,,k s r k n ，则是此例
的一个特殊，可建立相同的概率空间。

6.有限维（独立）乘积概率空间
定义 设
(),,,1i i i P i n
Ω≤≤F 是n 个概率空间，则在乘积可测空间
()()11,,n n Ω=Ω⨯⨯Ω⨯⨯F F F 上存在唯一概率测度P ，满足
()()()
()1111==P ,n
n i i n n i i i P A A P A A P A A =⨯⨯∈∏F ,
称P 为概率测度1,,n P P 的（独立）乘积概率测度，记为1=n P P P ⨯⨯。

称
()()111,,=,,n n n P P P ΩΩ⨯⨯Ω⨯⨯⨯⨯F F F 为(),,,1i i i P i n Ω≤≤F 的（独立）乘积概
率空间，或直积概率空间。

7.无限维（独立）乘积概率空间
可数无限维（独立）乘积概率空间：
定义 设
(),,,1,2,
i i i P i Ω=F 是一列概率空间，则在乘积可测空间
()=1=1,,i i i i ∞∞
⎛⎫
Ω=⨯
Ω⨯ ⎪⎝⎭
F F 上存在唯一概率测度P ，满足:对任意正整数n ，有 ()()
()11111
==P ,,1,
,n
n i i i n n i i i n i P A A P A A P A A i n ∞
=+=⎛
⎫⨯
⨯⨯Ω∈= ⎪⎝⎭∏∏F
称P 为概率测度,1
,2i P i =的（独立）乘积概率测度，记为1
2
1
1
=
=P =i i
i i P P P P ∞
∞
==⨯⨯⨯
∏，
称()=1=11,,,,P i i i i i i P ∞∞∞
=⎛⎫Ω=⨯Ω⨯⨯ ⎪⎝⎭
F F 为概率空间(),,,1,2,i i i P i Ω=F 的（独立）乘积概率空
间，或直积概率空间。

不可数无限维（独立）乘积概率空间：
定义 设J 是一个不可数的参数集，(){}
,,,J P ααααΩ∈F 是一族概率空间，则在乘积可测空间()(),=,J J
αααα∈∈Ω⨯
Ω⨯F
F 上存在唯一概率测度P ，满足:对J 的任意有限子集
I J ⊂，有
()=,,I
J I
I
P A P A A I ααααααααα
α∈∈-∈⎛
⎫
⨯Ω∈∈
⎪⎝⎭∏∏∏F 。

称这个概率测度P 为概率测度族,P J αα∈的
（独立）乘积概率测度，记为==J
J
P P P ααα
α
∈∈⨯∏，称
()(),,,,,,J J J
J
J
J
P P P αααααααααααα∈∈∈∈∈∈⎛
⎫Ω=Ω=⨯Ω⨯⨯ ⎪⎝⎭
∏∏∏F F F 为概率空间
(),,i i i P ΩF ,1,2,
i =的（独立）乘积概率空间，或直积概率空间。

8. 转移概率
定义 设()11,ΩF 和()22,ΩF 是两个概率可测空间，()12,P A ω是定义于12Ω⨯F 取值于
[]0,1的函数，若满足i)对每个11ω∈Ω，()1,P ω⋅是()22,ΩF 上的概率测度；ii)对每个
2A ∈F ，()2,P A ⋅是()11,ΩF 上的可测函数，则称P 是()11,ΩF 到()22,ΩF 的转移概率测
度，简称为12Ω⨯F 上的转移概率，记作12P 。

例1设()11,ΩF 和()22,ΩF 是两个概率可测空间，()Q ⋅是()22,ΩF 上的概率测度， ()()12122112,,,P A Q A A ωω=∈Ω∈F
则12P 是12Ω⨯F 上的转移概率
例2设()11,ΩF 和()22,ΩF 是两个概率可测空间，f 为()11,ΩF 到()22,ΩF 的可测映照， ()()()212121
1
1
2
2
,,,A P A I f A ωωω=∈Ω∈F
则12P 是12Ω⨯F 上的转移概率
定理 设()11,ΩF 和()22,ΩF 是两个概率可测空间，1P 是()11,ΩF 上的概率测度，12P 是
12Ω⨯F 上的转移概率，则在乘积可测空间()1212,Ω⨯Ω⨯F F 上存在唯一概率测度P ，满足
()()()1
1212
1
2
1
1
1122,,
,A P A A P A P d A A ωω⨯=
∈∈⎰F F
系 在上述定理条件下，在()22,ΩF 上存在唯一概率测度2P ，满足 ()()()1
2212
1
2
1
1
22,,
P A P A P d A ωωΩ=∈⎰F
9.随机变量
定义 由概率可测空间(),ΩF
到可测空间(),R R B （或(),R R B ）的可测映照X 称为
（有限）实值随机变量（或广义实值随机变量）也记为X ∈F 。

若1,,n X X 是n 个（有
限）实值随机变量（或广义实值随机变量），则()1=,
,n X X X 称为n 维（有限）实值随
机变量（或n 维广义实值随机变量），或称为n 维（有限）实值随机向量（或n 维广义实值随机向量）。

()1=,
,n X X X 是由概率可测空间(),ΩF
到可测空间(),n
n R R B （或
(),n n
R R
B ）的可测映照。

10.概率分布
定义 设(),,P ΩF 是一个概率空间，X 是(),ΩF
到(),R R B （或(),n
n R R B ）的随机变
量，由
()()()-1=,X R P B P X B B ∈B （相应地，n R B ∈B ）
规定(),R R B （相应地，()
,n n
R R B ）上的概率测度。

则X P 称为X 在(),R R B （相应地，
(),n n
R R
B ）上的（诱）导出概率测度，又称导出概率分布（律）或简称分布（律）。

注：由上述定义，我们从概率空间(),,P ΩF 通过X （诱）导出了一个新的概率空间
(),,R X R P B （或(),,n
n X R
R P B ），在统计研究中，主要是从这个概率空间出发，并且称R 为
样本空间。

定义 设()1=,
,n X X X 是由概率空间(),,P ΩF 到(),n
n R R B 的n 维实值随机变量。

其分布律为X P ，对任意正整数k （1-1k n ≤≤），及任意任意正整数11<<k i i n ≤≤，令
(
)
1=,
,k i i Y X X ，则Y 的分布律Y P 称为
X 的k 维边际（缘）分布律。

11.分布函数
对一维随机变量：
定义 设(),,P ΩF 是一个概率空间，X 是(),ΩF
到(),R R B 的随机变量，则称
()()=,F x P X x x R ≤∀∈
为随机变量X 的概率分布函数，简称分布函数。

因为()()()()
()-1
==(-,]=(-,],X F x P X x P X x P x x R ≤∞∞∀∈，所以()F x 也称为
概率分布X P 的分布函数。

对多维随机变量： 定义 若()1=,
,n X X X 是概率可测空间(),ΩF 到(),n
n R R B 的n 维随机变量，则
()()()1111,
,=,,,=,,n n n n n F x x P X x X x x x x R ≤≤∀∈ 称为()1=,
,n X X X 的n 维分布函数，简称分布函数。

简记()()1,
,n F x x F x 。

因为()()()()
()()-1
1==(-,]=(-,],=,
,n X n F x P X x P X x P x x x x R ≤∞∞∀∈，
这里(){}1
(-,]=,
,y :-<y ,=1,
,n i i x y x i n ∞∞≤，所以()F x 也称为概率分布X P 的分布函
数。

定义 设()1=,
,n X X X 是由概率空间(),,P ΩF 到(),n
n R R B 的n 维实值随机变量。

，对任意正整数k （1-1k n ≤≤），及任意任意正整数11<<k i i n ≤≤，令()
1=,,k i i Y X X ，
则Y 的分布函数Y F 称为X 的k 维边际（缘）分布函数。

12.概率分布与分布函数的关系
对一维随机变量：
定理1 若()F x 是某随机变量X 的概率分布函数，则
（i ）()F x 在R 是不减的（即()(),=-0,,,a b F F b F a a b R a b ∆≥∈≤）； （ii ）()F x 在R 是右连续的；
（iii ）()()--=lim =0x F F x →∞
∞，()()++=lim =1x F F x →∞
∞。

定理2 若()F x 是R 上的有限函数，且满足：
（i ）()F x 在R 是不减的（即()(),=-0,,,a b F F b F a a b R a b ∆≥∈≤）； （ii ）()F x 在R 是右连续的；
（iii ）()()--=lim =0x F F x →∞
∞，()()++=lim =1x F F x →∞
∞。

则必存在唯一的概率空间(),,P ΩF 及其上的随机变量X ，使
()()=,P X x F x x R ≤∀∈
对多维随机变量：为了方便讨论，在下面使用了多元函数的差分运算符号。

对于函数
()1,,n F x x ，及()1=,
,n n a a a R ∈，()1=,,n n b b b R ∈令
()(),1-1+11-1+1=,,,,
,-,
,,,
,k k k
x a b k k k n k k k n F F x x b x x F x x a x x ∆， （1）
-11111-1-111,,,,,=k k k k k l l l k k
k k k k k k
k k l
l
l l l l x
x x x
x
a b a b a b a b a b F F ⎡⎤∆∆∆∆∆⎣⎦
， （2）
其中1,,l k k 是1,
,n 中l 个不同的数；
1
11
,,,=n
n n
x x a b a
b a b F F ∆∆∆ （3） 由（1）—（3）知F 经过l 阶差分运算后，可以用F 在某些点的值的代数和具体表出。

且在（2）中将1,
,l k k 的次序任意调换后所得结果是一样的。

而且还有
1111
1
1
1
1
1
,c ,c ,,,,+=k k k k k k l l l k k
k k k k
k k k k
k k l
l l
l
l
l
x x
x
x x x
a a c
b
c b a b a b F F F ∆∆∆∆∆∆。

定理1 若()1,,n F x x 是某n 维随机变量()1=,,n X X X 的概率分布函数，则F 具
有下列性质：
（1）,0a b F ∆≥，其中,n a b R ∈,且a b ≤（即,=1,,k k a b k n ≤）
； （2）()1,
,n F x x 对每个边缘k x 都是右连续的；
（3）对于任意11<
<(1)l k k n l ≤≤≥，
(
)11-1+1-1+1,,-,,
,,-,,
=0l l k k k k F
x x x x ∞∞，()+,
,+=1F ∞∞。

定理2 若()1,,n F x x 是n R 上的有限函数，且满足：
（1）,0a b F ∆≥，其中,n
a b R ∈,且a b ≤（即,=1,
,k k a b k n ≤）
；
（2）()1,,n F x x 对每个边缘k x 都是右连续的；
（3）对于任意11<
<(1)l k k n l ≤≤≥，
(
)11-1+1-1+1,,-,,
,,-,,
=0l l k k k k F
x x x x ∞∞，()+,
,+=1F ∞∞。

则必存在唯一的概率空间(),,P ΩF 及其上的n 维随机向量()1=,
,n X X X ，使
()()()1111,
,=,,,=,,n n n n n P X x X x F x x x x x R ≤≤∀∈
定理1和定理2说明概率分布X P 和分布函数X F 相互唯一确定的。

因此概率分布X P 可用分布函数X F 表示。

在理论上，一般我们不去研究X P ，而是通过研究分布函数来掌握随机变量X 的概率特征。

再者，分布函数是一种特殊的点函数，而点函数在古典分析中已有大量的研究，它便于计算，因此分布函数在概率统计中有着重要的理论意义和实际意义。

例10(续例1) 在例1中令
()0
1
1,===0,=if X X if ωωωωω⎧⎨
⎩ 则X 是定义在Ω上的函数，可验证X 是(),,P ΩF 上的实值随机变量，其分布函数为
()0,<0=1-,0<11,1X x F x p x x ⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
由此分布函数表示的分布律称为贝努里（Bernoulli ）分布律，或称为(0-1)分布律，记为
()~1,X b p 。

例20(续例2) 在例2中令
()==,k n X X k k Z ω∈
则X 是定义在Ω上的函数，可验证X 是(),,P ΩF 上的实值随机变量，其分布函数为
()()-=1-,n k
k X k x n F x p p x R k ≤⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∑，
由此分布函数表示的分布称为二项分布律，记为()~,X b n p 。

例30 (续例3) 在例3中令
()+==,k X X k k Z ω∈
则X 是定义在Ω上的函数，可验证X 是(),,P ΩF 上的实值随机变量，其分布函数为
()()
-=,!
k
k X k x
t F x e x R k λλ≤∀∈∑
，
由此分布函数表示的分布称为泊松（Poisson ）分布律，记为()~X P t λ。

例40 (续例4) 在例4中令
()[]==,,X X x x x a b ∀∈
则X 是定义在[]=,a b Ω上的函数，可验证X 是(),,P ΩF 上的实值随机变量，其分布函数为
()0,
<-=,<-1,
X x a x a F x a x b b a
x b ⎧⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪⎩，
由此分布函数表示的分布律称为均匀分布律，记为()~U ,X a b 。

例50 (续例5) 在例5中令
()==,X X x x x R ∀∈
则X 是定义在=R Ω上的函数，可验证X 是(),,P ΩF 上的实值随机变量，其分布函数为
(
)()
2--2-=,t a x
X F x dt x R τ∈⎰
， 由此分布函数表示的分布律称为正态（或高斯（Gaussian ））分布律，记为()
2
~N ,X a τ。

例60 (续例6) 在例6中令
()()
(
)()
11=,
,=,=1,
,n s
s
s s n s X X m s r ωω
其中s m 是()
()(
)
11,
,n s
s n ωω中()
()=1,
,s k k n ω的个数。

则()1=,,r X X X 是定义在Ω上的
r 维实向量值函数，可验证()1=,,r X X X 是(),,P ΩF 上的r 维实值随机变量。

令
(){}11=,
,:,=1,
,,+
+=r s n r m m m Z s r m m n ∈X
其中{}=0,1,
,n Z n ，则
()()()(
)()
()1111111,,=,=1,,=,,==
,
,,r s s n s n s
m m r r r r X m s r P X m X m p p m m ωω∈∑
X
其上式中每个加项都是1
1r m
m r p p ，而由组合公式知上式共有
1!
!m !
r n m 项，故
()()1
11111!
=,
,==
,
,,!m !
r m m r r r r r n P X m X m p p m m m ∈X
因此分布函数为
()()()()1
1111,=1,,11,=1,,1++==,
,=
=,,=!
=
,=,
,!
m !s s r s s r X X r r r m x s r
m m r
r
r m x s r r m m n
F x F x x P X m X m n p p x x x R
m ≤≤∈∑
∑
13．计数测度
定义 设X 是n
R 的可数（有限或无穷可列）子集，B X 是X 中的一切子集组成的σ代数，在B X 上定义集函数
()=B B μ中包含X 中元素的个数，B ∈B X
则可证明μ是B X 上的测度（若X 为有限集，则μ是有限测度；若X 为无穷列集，则μ是σ有限测度）
，称为计数测度。

注：概率统计中用的较多的是{}1,2,X =。

14． Lebesgue-Stieltjes 测度
直线上L-S 测度：
设()=-,+R ∞∞，()F x 是R 上的实值、有限、不减、右连续函数，令
()=1
=(,]:-<<+, (,]=1,, 1n
i i i i i i i a b a b a b i n n ⎧⎫
∞≤∞≥⎨⎬⎩⎭
∑且不相交，C
则C 是R 上的半域（不是域），在半域C 上定义集函数μ：
,=1=1
=1(,]==(,]i i n n
n
i i a b i i i i i a b F F a b μ⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑∑∑，
其中,=(,]=()-()a b F F a b F b F a ∆。

可证明μ是C 上的σ有限测度，再由测度拓展定理知 μ可唯一地拓展到一维Borel
σ域()=R σB C 上去，再通过完备化定理可得R B 上的唯一一个
σ有限完备测度，记为F μ，称F μ为由F 产生的Lebesgue-Stieltjes 测度，简称为L-S 测度。

特别，当()=F x x （或()=+,F x x c c 是常数）时，由此产生的σ有限完备测度F μ称为Lebesgue 测度，简称为L 测度。

n R 上的L-S 测度：
设()1,
,n F x x 是n R 上的有限函数，对每个变元i x 都是右连续的，且对任意的
()1=,n n a a a R ∈，()1b=,
n n b b R ∈，,1i i a b i n ≤≤≤，有
()()
()()(),11-1+111
11<=,
,-,
,,,+
,
,,
,-+-1,,0
n a b n i i i n i n
n
i j n n i j n
F F b b F b b a b b F b a a b F a a ≤≤≤≤∆≥∑∑
令
()(){}11=(,]:=,
,,=,
,,=-=+n n i i i i a b a a a b b b a R a b R b ∈∞∈∞或，或C
其中当=+i b ∞时，(),]
,+i i i a b a ∞（，则C 是n R 上的半域，在半域C 上定义集函数μ：
若,n a b R ∈，a b ≤，=(,]A a b ，令
()(),=(,]=a b A a b F μμ∆
若=(,]A a b 是n
R 中的无限区间，令
(){}1=(-,]=,
,:-<,=1,
,N n i I N N x x N x N i n ≤，
()()+=lim (,]I N N A a b μμ→∞
，
则可证明μ是C 上的σ有限测度，再由测度拓展定理知，μ可唯一地拓展到n 维Borel
σ
域()=n R σB C 上去，再通过完备化定理可得()
,n n
R R B 上的唯一一个σ有限完备测度，记为
F μ，使在C 上有
()()=,F A A A μμ∀∈C
这个测度F μ称为由F 在()
,n n
R R B 上产生的Lebesgue-Stieltjes 测度，简称为L-S 测度。

特别
当
()112
,,=n n F x x x x x
时，相应的σ有限完备化测度F μ就称为n 维Lebesgue 测度，简称为L 测度。

15. 离散型随即变量与连续性随即变量 定义 设()1=,
,n X X X 是由概率空间(),,P ΩF 到(),n
n R R B 的n 维实值随机变量，
且每一个i X 只取有限个或无穷可列个值，则称X 为n 维离散型随即变量。

若i X 只取12,,i i x x 为值，则
(
)
1111,
,,,,
1,2,
,1,,n n
j n nj j j i P X x X x p j i n =====
称为X 的分布列。

定义 设()1=,,n X X X 是由概率空间(),,P ΩF 到(),n
n R R B 的n 维实值随机变量，
它的分布函数为()1,,n F x x ，若存在(),n
n R R B 上的非负可测函数()1,
,n p x x ，使得
()()()1
11
11,,,
,,,,n
x x n n n n n F x x p t t dt dt x x x R -∞
-∞
=
∀=∈⎰⎰
则称()1=,
,n X X X 是n 维连续型随机变量，而()1,,n p x x 称为X 的概率分布密度（简
称分布密度，或概率密度）。

上式右端的积分为L （勒贝格）积分，当()1,,n p x x 的R （黎
曼）积分存在时也是R 积分。