高等数理统计预备知识

预备知识

1.事件域

定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集所组成的集合类。如果F 满足： （1）Ω∈F ；

（2）若A ∈F ，则对立事件A ∈F ；

（3）若,=1,2,

n A n ∈F ，则可列并

=1

n n A ∞

∈F .

则F 是一个σ代数（或称σ域），称为事件域。F 中的元素称为事件。 2.可测空间

定义 在概率论中，二元组(),ΩF

称为概率可测空间，这里“可测”是指F

是一个事

件域，即F 中的元素都是有概率可言的事件。 3. 有限维乘积可测空间

定义 设(),,1i i i n Ω≤≤F 是n 个可测空间，像通常一样，

(){}1=,

,:,1n i i i n ωωωΩ∈Ω≤≤

称为1,

,n ΩΩ乘积空间，记为1=1

==n i n i Ω⨯ΩΩ⨯⨯Ω。对i i A ⊂Ω，1i n ≤≤，集合

(){}1A=,,:,1n i i A i n ωωω∈≤≤

称为乘积空间Ω中的矩形集，记为1=1

A==A n i n i A A ⨯⨯⨯。特别地，当每个i i A ∈F 时，

1=1

A==A n

i n i A A ⨯⨯

⨯

称为可测矩形。C 表示=1

=n i i Ω⨯Ω中的可测矩形全体，即

{}1=A :,i=1,

,n n i i A A ⨯

⨯∈C F ，

则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为乘积σ域， 记为1=1==n

i n i ⨯⨯

⨯F F F F ，又称(),ΩF 为可测空间()()11,,

,,n n ΩΩF F 的乘积可测空

间，记为

()()()()11=1

,=,=,,n

i i n n i Ω⨯ΩΩ⨯

⨯ΩF F F F

4. 无限维乘积可测空间

定义 设

(){},,J αααΩ∈F 是一族可测空间，则

(){}=,J :,J αααωαωαΩ∈∈Ω∈

称为(),J ααΩ∈乘积空间，记为=J

J

αααα

∈∈Ω⨯Ω=

Ω∏。若I 是J 的有限子集，对

,A I ααα∈∈F ，集合

(){}B=,J :,,,J i A I ααααωαωαωα∈∈∈∈Ω∈

称为乘积空间Ω中的有限维基底可测矩形柱集，=I

A A αα∈⨯称为

B 的底。

C 表示Ω中的有

限维基底可测矩形柱集全体，则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为{}J αα∈，F 的乘积σ域，记为=J

J

αααα

∈∈⨯=

∏F F F 。又称(),ΩF 为 (){},,J αααΩ∈F 的乘积可测空间，记为()()(),=,,J

J

αααααα∈∈Ω⨯Ω=Ω∏F F F 。

在统计中，主要用到{}=1,2,J 的情形,此时,记为

1

=1

1

=

==i

i

n i i ∞

∞

=ΩΩ⨯ΩΩ⨯

⨯Ω⨯

∏,

1

=1

1

=

==i

i

n i i ∞

∞=⨯⨯

⨯⨯

∏F F F F F ,

()()()()()11=1

1

,=,=,=,,i i i i n n i i ∞

∞

=ΩΩ⨯ΩΩ⨯

⨯Ω⨯

∏F

F F F F 。

5.概率空间

定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集组成的一个σ代数（σ域），称为事件域。如果定义在F 上的一个实值集函数()P A 满足： （1）非负性，即若A ∈F ，则()0P A ≥； （2）正则性，即()=1P Ω；

（3）可列可加性（σ可加性），即若,=1,2,

n A n ∈F ，且互不相容，则有

()+=1

=1=n n n n P A P A ∞∞

⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 则称集函数()P A 为可测空间(),ΩF

上的一个概率测度，

简称为概率。对任一事件A ∈F ，

概率测度值()P A 称为事件A 的概率。称三元组(),,P ΩF 为概率空间（或称概率场）。 （在一般测度论中，若将（2）改成()0P φ=，则称P 为测度，(),,P ΩF 称为测度空间；

若P 是测度，且()P Ω<∞，则称P 为有限测度；若P 是测度，且存在n A ∈F ，1n ≥，

使

1

n n A ∞

==Ω，(),1n P A n <∞∀≥，则称P 为σ有限测度）

下面举几个例子说明如何建立概率空间。

例1抛掷一枚硬币，观察正反面出现的情况。0ω表示“出现正面”这一基本结果（事

件），1ω表示“出现反面”这一基本结果（事件），则基本事件空间{}01=,ωωΩ，令{}0=A ω，{}1=A ω则{}=,,,A A φΩF 是一个事件域。对给定的实数p （0<<1p ）

，在F 上定义 ()=P A p ，()=1-P A p ，()=0P φ，()=1P Ω，

则这样定义的P 是一个概率（这个概率称贝努里（Bernoulli ）概率），(),,P ΩF 是一个概率空间（称为贝努里（Bernoulli ）概率空间）。若1

=

2

p ，则表示硬币质量分布是匀称的。 若定义()()()===0P A P A P φ，()=1P Ω，则这样定义的P 也是一个概率，()

,,P ΩF 也是一个概率空间。这个概率空间没有实际意义。

例2 从某工厂的某种产品中随机抽出n 件，观察其中的合格品个数。用k ω表示“抽出的n 件中恰好有k 件合格品”的事件，令{}=0,1,

,n Z n 及

{}=:k n k Z ωΩ∈，

{}=:,k n A k Z ωΛ∈ΛΛ⊂， {}=:Z n A ΛΛ⊂F ，

则F 是Ω的一切子集所形成的集类，它是一个σ代数（σ域）。再令

()()-=1-,n k

k n k n P A p p Z k Λ∈Λ⎛⎫Λ⊂ ⎪⎝⎭

∑，

其中p 满足0<<1p 。则P 是F 上满足非负性、正规性、σ可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为二项概率），于是我们建立了一个概率空间(),,P ΩF （称为二项概率空间）。

例3 观察某电话交换台在时间间隔[,+a a t ）内收到用户的呼叫次数。用k ω表示“电话交换台在时间间隔[,+a a t ）

内恰好收到用户的k 次呼叫”的事件，令{}+=0,1,2,Z 及

{}+=:k k Z ωΩ∈，