线性规划求最值(详细)

y
x y 5 0
x
y
0
x+y=0
x 3
5
表示的平面区域.
-5O
x
x-y+5=0 x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
.
1.点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0两侧，则a的范围 . 解：点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0的两侧，将这两
.
.
4. P(x0,y0)在Ax+By+C<0表示的区域内，则 Ax0+By0+C<0 - - -- - - -- 在Ax+By+C>0- - - -- - -，则Ax0+By0+C>0
5.点P(x1,y1), Q(x2,y2) 在直线Ax+By+C=0的 (1)同侧，则 ( Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) >0 (2)两侧，则 ( Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) <0
可行域
目标函数 Z=Ax+By
转化
一组平行线 y Ax Z
ΒB
最优解 转化
四个步骤： 1.画：画可行域
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方
法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线
3. 求：求交点点的坐标，并求最优解
4.答： .
一、目标函数
z A x B y 即 y A x 1 z 表 示 一 组 平 行 线 ，
求
y 最大值 x
CB
其中 P(x,y)
A
由图 kO A知 kOP kOCO
解 2 xy 23 y 4 00得 C(1,2 3)
(xy)maxkOC23
.
小结：目标函数的常见类型
1.z=Ax+By(A,B为常数)可化为
y
Ax B
z
B表示
与y A x 平行的一组平行线,其中 z 为截距。
B
B
2.z
同侧同号， 异侧异号
6.二元一次不等式Ax+By+C> 0(<0) 对应区域判别方法:
特殊点法
直线定界，特殊点定域； 当C≠0时,取原点(0,0)为特殊点，
当C=0时, (1,0)或(0, 1) 为特殊点。
若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，
否则是另一侧区域为需画区域. 。
例：画出不等式组
由图知 PM2 1的最小值AM2 1
zmi n 211
A P(x, y)
补： x2y2 OP 2 其中 P(x,y)
B
由图d知O09P021的46最 54小（值 d(为x2dO到2 y直2线)mAMiBn距O12离365）x4y4
.
(2)x，y满足 xx2yy2400 解: xyxy 200yk3OP0
.
3. xx
y 3
5
0
z2x4y最小 -6， 值 k求
解 xz ： 2 yx k4y化 0 y 为 1xz xy50
与y 1 x平行 2 2
当 直 可 线 过 求 AA2(3,点 -3-， k)z最 小 .xyOk03
z m i2 n 3 4 ( 3 k ) 6
A
k0
.
4.z=mx+y(m>0)取得最大值的最优解有无数个,求m
A2 B2
yb xa
PA
x2 y2 OP
x2 y2 OP 2
k y
P(x,y)O , (0,0) x
OP
.
例 解 2.x, zy满 ： （ 足x 3x yx≥ 1 )002 4y y 42补 求 1 z： Px2zM求 2yx2212yx2最 最小 小值 值
其P (中 x,y)M , (1 ,0)
解 z m ： y x 化 y 为 m z x
m0
y C (1, 22 )
直y线 mxz与直 A重 C 线合时 5
线段AC上的每一点都是最优解
斜k率 mkAC BA(1(1,,11))
kAC
3 22 5
51
wk.baidu.com
7 20
0
m 7x1 20
A(5,3)
x
.
A (x1,y1)B ,(x2,y2)
(2)求z=x+2y的最值
（ (2 1） )画区z域2x3y化 为 y O2x 4z
表 示 斜 率 为 2 ， 纵 截 距 为 z 的 3 一 组 平 3行 线
(3)直线过点
A
3
3
时纵截距最大，此时z最大,过点
O
时z最小
（z4m ）解ax2 方程4组3 4x6 x211y64Z8m得.in 点A0(4,2注) ：倾斜斜率角越越大大，
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值y的可行解 A(5,2),B(1,1)
线性规划问题：
x=1 2x+y=ｚ 可行域
线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
.
理解记忆：三个转化
约束条件
转化
注意：斜率大小及截距符号。
.
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解 ： zxy化 为 yxz，
与 直 线 yx平 行 ,纵 截 距 为 -z
B
直线过点 A时z值最大;
过点 B 时z值最小.
A
解方程组得点A(1,1),B(0,3) O
z m a x 1 1 0 ,z m in 0 3 3 3z0
O
(4)直线过点 A时z值最大;过点 B时z值最小.
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
Z m a x 1 1 0 ,Z m in 0 3 3
.
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件：
3
x
5
y
25
x 1
目标函数，线性目标函数 z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
1.二元一次方程Ax+By+C=0 对应的图形为 直线.
2.二元一次不等式Ax + By + C＞(<)0表示对应直线 Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
3.>0 (或<0) 时, 直线画成虚线;区域不包括边界直线 ≥0(或≤0)时,- --- --- - -实线.区域包括- - - - - -- --
x 0
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)zxy化 为 yxz， 斜 率 为 1，
B
纵 截 距 为 -z的 一 组 平 行 线 l
(3)平 移 直 线 yx
(4)直线过点A时纵截距-z最小，z最大;
OA
x y1
过点B时纵截距-z最大，z最小.
交点A(1,0),B(0,1)
特殊 P(x,地 y)O ,(0,0)
A B (x2x1)2(y2y1)2
kAB
y2 x2
y1 x1
OP x2 y2
kOP
y x
P (x 0 ,y 0 )l,:A B x C y 0 d Ax0 By0 C
k (xa)2(yb)2
(xa)2(yb)2
PA
PA
P(x,y),A(a,b)
2
Z m a x 1 0 1 ,Z m i n 0 1 1 .
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
.
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
2x y 3
求z=x-y的最值
(2)zxy化为yxz，
B
斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
A
(3)平 移 直 线 yx
BB
其 中 A为 斜 率 ， 1z为 纵 截 距 ，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小.
---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
y y0 x x0
表示定点P(x0,y0) 与可行域内的动点M(x,y) 连线的斜率
3. z ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 或 z ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2
表示定点Q （x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离 或距离平方。
.
(2)x，y满足 xxyy4200 (2)求2y1的范围
点坐标代入3x+y-a=0后，符号相反，
∴(-3+2+a)(9-3-a) <0， 得－1＜a＜6.
2.点(-1,2) 在5x+y-a<0表示的区域内，则a的范围 .
-5+2-a <0，得a>-3
.
x+2y≤8
例1. 4x≤16 求z=2x+3y的最值 4y≤12
B(2,3)
x≥0 ,y≥0
3
A
补(1)求z=x+4y的最值
(1)求 zx2y2 2 x1 yy052最 50 小值 xxy120C
(1)解z： x2（ y-5） 2 PM 2
M
其P 中 (x,y)M , (0,5)
由图P知 M2最小值 d2
A
2k B 由 (2d) 2dx为y0M1115到图 k 1直2N 2线AB yx3C2知 距k112N 离z2mP in k yxN 92((A 可 112)N) 求 AO(1P,3PNN)((,B x,(13y,， )1,)12 )