第二单元 两个重要极限与函数连续性
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经济数学基础 第2章 导数与微分
第二单元 两个重要极限与函数连续性
第一节 两个重要极限
一、学习目标
通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.
二、内容讲解
第一个重要极限公式：
1
sin lim
=→x
x x
几何说明：如图，设x 为单位圆的圆心角，则x 对应的小三角形的面积为2
sin x
，
x 对应的扇形的面积为2x
，x 对应的大三角形的面积为2
tan x 当0→x 时，它们的面
积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.
第二个重要极限公式：
e
)
11(lim =+
∞
→x
x x
；e
)1(lim 1
=+→x x x
三、例题讲解
例1 x
x x 3sin lim
0→
经济数学基础 第2章 导数与微分
解：
x
x x 3sin lim
→=
333sin 3lim
=→x x x 3
33sin lim
=→x
x x
例2 求极限x
x x
)
311(lim +∞
→
解:
3
1
3133
13e ])
311(lim [)
311(lim )311(lim =+
=+
=+
∞
→⋅
∞
→∞
→x
x x x x
x x
x x
例3 求极限x
x x 1
)21(lim -→
解
2
2
210
)
2(210
1
e
]
))
2(1(lim [))
2(1(lim )21(lim ---
→--→→=-+=-+=-x
x x x x x x x x
四、课后练习
练习1 求极限x x
x 3sin 2sin lim
0→
练习2 求极限3
1
)
2(
lim +∞
→-x x x
x
五、课后作业
1.x
x x 2tan lim
→；2.x x
x 5sin 4sin lim
0→；3.)
3sin(6
lim
2
3---→x x x x ；4.x
x x sin 121lim
-+→；5.x
x x 1sin
lim ∞
→；
6.x x
x x sin 1sin lim
2
0→；7.x
x x 2)
21(lim +
∞
→；8.11
)
11(lim +∞
→-
x x x
；9.x
x x 30
)
2
1(lim -
→+
；10.x
x x x )
3
1
(
lim -+∞→
经济数学基础 第2章 导数与微分
第二节 函数的连续性
一、学习目标
通过本课程的学习，我们要知道连续的数学表示，知道数学中间断的概念. 将会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同，会进行连续函数的运算.
二、内容讲解
生活中的实例：高山流水，植物生长，工业连续化生产连续函数的定义
定义2.4——函数的间断与连续
设函数)(x f 在点0x 的邻域内有定义，若满足
)
()(lim 00
x f x f x x =→，则称函数)
(x f 在点
x 处连续.点
x 是)(x f 的连续点.
函数间断、间断点的概念： 例如 函数3
2
,x
y x y ==
x
y x y cos ,sin ==
x
y x y e
,ln ==在定义域内都是
连续的.
问题思考：设
)(x f 在点0x 处连续，则
?
)()(0
00−−→−-∆+=∆→∆x x f x x f y
答案 ：0. 因为)(x f 在点0x
处连续
)(lim )(lim ))()((lim lim 00
000000
x f x x f x f x x f y x x x x →∆→∆→∆→∆-∆+=-∆+=∆0
)()(00=-=x f x f ，
所以，极限为0.
三、例题讲解
例1
⎩⎨
⎧>-≤+=1
3
211
)(x x x x x f ,问)(x f 在1=x 处是否连续？
注意：此函数是分段函数，1=x 是函数的分段点.