特殊数列求和的方法

浅谈特殊数列求和的方法

【摘要】特殊数列求和所用的裂项相消法、错位相减法、分组求和法这三种常规的、重要的方法课本没有相关的例题介绍，根据特殊数列的不同特点和结构对特殊数列的求和进行了分类，通过一些具体例子归纳出特殊数列求和的方法，对求和出现的问题研究了六点对策。

【关键词】特殊数列；裂项相消法；错位相减法；分组求和法纵观近几年来的高考试题，数列一直被列为重要考察内容之一，数列求和问题更是数列中的一个重要组成部分，常常在压轴题中出现。对于一些既非等差又非等比的特殊数列，学生常感到无从下手求和。高中数学必修五（人民教育出版社）对数列的求和只是介绍了等差数列和等比数列求和公式的推导和应用，而特殊数列求和所用的裂项相消法、错位相减法、分组求和法等这些常规的、重要的方法在课本中都没有相关的例题介绍，只是在课本第47页第4题和第61页a组第4题出现了特殊数列求和的题目。由于课本没有这些方法的详细介绍，教师在教学过程中往往是直接讲结论后让学生模仿着去应用，学生不清楚这个结论逐步形成的过程，就体会不到蕴涵在其中的思想方法，只懂得机械的模仿，在做题时，如果题目稍有变化，他们的思维就转不过弯来，或者时间长了他们就容易遗忘。因此，笔者认为有必要根据特殊数列的不同特点和结构对特殊数列的求和进行分类，并通过一些具体例子归纳出特殊数列求和

的方法。

一、特殊数列求和的方法

研究数列求和，首先要注意数列的特征，认清是否是我们熟悉的等差数列或等比数列。若是等差数列或是等比数列，则用公式法可直接解决。若既不是等差数列又不是等比数列的特殊数列，可以考虑裂项相消法、错位相减法、分组求和法这三种常规的重要的方法。在运用公式法求等差、等比数列的和时，要注意认清特征、数清项数、分清条件、记清公式，含有参数的求和要注意分类讨论。

方法一：裂项相消法

裂项相消法原理：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能相互抵消，剩下首尾若干项。对于，其中{an}是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用，其中d=an+1-an。裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项相消分为逐项相消和隔项相消两种。

裂项相消法步骤：①先分析数列的项的结构，把通项“裂”成几项（注意：裂开后的通项当n=k和n=k+d时能相消情况出现后才行）；

②解题时对裂开后的通项令n取1，2，3……n，然后相加得sn；

③把和式中每一对相消的式子除去，整理剩下的式子即为所求的和。相消时应该注意消去项的规律，即清楚消去的项和保留的项。方法二：错位相减法

错位相减法原理：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个

等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，即形如

an=bncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；列出sn=a1+a2+a3+…+an，再把式子两边同时乘以等比数列cn的公比q，即

qsn=a1q+a2q+a3q+…+anq；然后错开一位，两式相减即可。错位相减法在等比数列求和公式的推导中出现过。

错位相减法步骤：①在sn=a1+a2+a3+a4+…+an的两边同时乘以公比q；②两式相减，左边为（1-q）sn,右边的含有q的同次式相减；③右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的各项成等比数列，可用公式求和。

错位相减法注意“同、异”。同：利用公差和公比，化不同为整齐划一；异：错位求和法异在合并，合并次数相同的项；错位相减法异在抵消，抵消相同的项。

方法三：分组求和法

分组求和法原理：分组求和是将不能直接求和的数列适当拆开，分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。即若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列{bn}{cn}可分别求出前n项和sn，tn，则用分组求和法。分组求和方法是转化与划归的数学方法在数列中的具体应用。

特殊数列的求和除了以上常用的三种方法外，还有倒序相加法、拆项转化法、构造法、分段求和法等。

二、特殊数列求和出现的问题及采取的对策

1.特殊数列求和出现的问题：①没有认清特殊数列的特征，不会转化通项；②未理解每种方法的适用范围，运算时不注意数清项数；

③没有分清所给的条件，特别是含有参数的求和时不注意分类讨论，或是分类不全面。④特殊数列求和过程包含比较繁琐的运算，有不少学生懂得用什么方法去求和，但由于运算有点繁琐，学生计算时容易出错，特别是运用错位相减法解题时往往不能得到正确答案。

2.采取的对策：①在讲等差数列求和公式的应用及等比数列求和公式的推导时引导学生发散思维、采用多种方法，从这些方法中渗透错位求和与裂项求和的思想，让学生清楚这些求和方法是怎么形成的，要在什么情况下使用。②等比数列求和要落实到位，力保运算过程不要出错。③增加特殊数列求和题型的练习量。④延长这类题型的练习周期。⑤特殊数列求和的基本思路是向等差数列及等比数列的前n项和转化，归结为学生已经解决的问题，因此平时要注重培养学生化归的思想。⑥求特殊数列的和时要注意方法的选取，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式、计算准确。参考文献：

[1]王力勇.裂项相消法的几点思考[j].数学教研，2001（8）：37.

[2]张思明.数列求和方法[j].数学通讯，1998（9）：23.等