基本不等式的应用最值问题

自主预习
1.由基本不等式导出的几个结论 (1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)，由 a2＋b2≥2ab， 两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． (2)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得．
(3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ ≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
[解析] (1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最 值时，等号成立的条件．
正解：∵0＜x＜π2，∴0＜sinx＜1，但 sinx＝si2nx时 sinx＝ 2， 不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件， 因此取不到最小值 2 2.
令 u＝sinx，∵0<x<π2，0<u<1，∴可利用 y＝u＋2u在(0,1)上是 减函数得出 y＞3.
单位时间 [解析] 根据车流量＝每辆车经过所需时间，
有
Q＝
1 d＋s
＝
1 000v 2
1 000v 5100v2s＋s
＝ s2
5110000v0＋1v≤25
000 s.
当且仅当2 5100v＝1v，即 v＝50(km/h)时，等号成立．
∴在交通繁忙时，应规定车速为 50km/h，才能保证此地段 的车流量最大.
第三章 3.4 第2课时
2．利用基本不等式求最值常用技巧 (1)“1”的代换 (2)折项 (3)添项 (4)配凑因式
分析下列各题的解题过程，有错误的加以 更正．
(1)求Baidu Nhomakorabea数 y＝sinx＋si2nx(0<x<π2)的值域．
解：y＝sin＋si2nx≥2 sinx·si2nx＝2 2， ∴函数的值域为[2 2，＋∞)．
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常 常将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数 用等于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替， 也可以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
即 4a＋6b＝12，而2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163 ＋2＝265，当且仅当 a＝b 时，等号成立．故选 A.
名师辨误做答
求 f(x)＝2＋log2x＋lo5g2x(0<x<1)的最值． [错解] f(x)＝2＋log2x＋lo5g2x ≥2＋2 log2x·lo5g2x＝2＋2 5. ∴f(x)有最小值 2＋2 5，无最大值． [辨析] 错误的原因是忽视了各项必须全为正数的条件．
[解析] y＝xx2＋＋14＝x＋12－x＋21x＋1＋5 ＝x＋1＋x＋5 1－2≥2 5－2 (x＋1>0)， 等号在 x＋1＝x＋5 1，即 x＝ 5－1 时成立， ∴函数的值域为[2 5－2，＋∞)．
若 x>－1，求 y＝x2－x＋2x1－2的最小值．
[解析] ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y＝x＋12－x＋41x＋1＋1 ＝(x＋1)＋x＋1 1－4≥2－4＝－2. 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时，函数 y 取最小值－2.
解法三：(配凑法)由1x＋9y＝1 得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－ 9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2 x－1y－9＝16.
当且仅当 x－1＝y－9 时取等号． 又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
[点评] 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且 都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经 常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法 2 通过消元， 化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另 一个变量范围给出限制．
yx x·y
＝4 等号在 x＝y 即 a－b＝b－c
也就是 b＝a＋2 c时成立．
∴m≤4 时原表达式恒成立． 这样我们通过换元，简化了表达式，暴露了条件式的实质， 拓展了解题的思路，要认真体会．
设 x、y 满足约束条件3x－x－y＋y－26≥≤00 x≥0，y≥0
，若目标函数 z＝ax
(2)求 x 1－x2的最大值．
解：令 y＝x 1－x2， 则 y＝ x21－x2≤x2＋21－x2＝12， 等号在 x2＝1－x2，即 x＝± 22时成立， ∴所求最大值为12.
(3)已知 a＞3，求 a＋a－4 3的最小值． 解：∵a＞3，∴a>0，a－4 3＞0.∴a＋a－4 3≥2 a·a－4 3.当 a＝ a－4 3，即 a＝4 时，a＋a－4 3取最小值 2 a4－a3＝8.
解法二：(消元法)由1x＋9y＝1，得 x＝y－y 9. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝y－y 9＋y＝y＋y－y－9＋9 9＝y＋y－9 9＋1＝(y－9)＋y－9 9 ＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋y－9 9≥2 y－9·y－9 9＝6.
当且仅当 y－9＝y－9 9，即 y＝12 时取等号，此时，x＝4， ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
当且仅当
log2x＝lo5g2x，即
x＝2
1
时，等号成立． 5
∴f(x)max＝2－2 5.
[点评] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
＋by(a>0，b>0)的最大值为 12，则2a＋3b的最小值为( )
25 A. 6 C.131
8 B.3 D．4
[答案] A
[解析] 作出平面区域，如图阴影部分所示，当直线 ax＋ by＝z(a>0，b>0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0 的交 点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值 12，
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． [分析] 要求 x＋y 的最小值，根据极值定理，应构建某个 积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行 “1 的代换”，也可以“消元”等．
[解析] 解法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 xy·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
[解析] ∵aa－－bc＋ab－－cc ＝a－ba－＋bb－c＋a－bb－＋cb－c ＝2＋ab－－bc＋ab－－bc≥2＋2 ab－－bc·ab－－bc＝4. 当且仅当ab－－bc＝ab－－bc，即 2b＝a＋c 时，等号成立． ∴m≤4，即 m∈(－∞，4]．
[点评] (1)分离 m 以后，注意到 a－c＝(a－b)＋(b－c)是 求解aa－－bc＋ab－－cc的最小值的关键．
(消去 x 后，原来 x 的限制条件，应当由代替它的 y 来“接 班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)
变形技巧：拆项与配凑
y＝xx2＋＋14(x>－1)的值域为________． [分析] 分子是 x 的二次式，分母是一次式，适当将分子 变形可化为 x＋1 的表达式或由分母构造平方差，则可化为 “积为定值”的和式．
建模应用引路
基本不等式在实际问题中的应用
(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形 的周长最小？
(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积 最大？
[解析] 设扇形中心角为 θ，半径 r，面积 s，弧长 l，则 s ＝12lr＝12θr2，l＝rθ.
(1)s 为定值，则 θ＝2r2s，∴扇形周长 p＝2r＋l＝2r＋rθ＝2r ＋2rs≥4 s.等号在 r＝sr即 r＝ s时成立，
[正解] ∵0<x<1，∴log2x<0， ∴－log2x>0，－lo5g2x>0， ∴(－log2x)＋(－lo5g2x)≥2 －log2x－lo5g2x＝2 5， 即－(log2x＋lo5g2x)≥2 5， ∴log2x＋lo5g2x≤－2 5.
∴f(x)＝2＋log2x＋lo5g2x≤2－2 5，
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab
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第三章
第 2 课时 基本不等式的应用—最值问题
课前自主预习 课堂典例讲练
名师辨误做答 课后强化作业
课前自主预习
温故知新
利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件： ________、________、________.
[答案] 一正 二定 三相等
新课引入
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为 a、b 的矩形牧场， 现在已有材料能做成 lkm 的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩 形牧场面积最大？
∴半径是 s时扇形周长最小．
(2)周长 p＝2r＋rθ 一定，∴θ＝pr－2，面积 s＝12θr2＝12r(p －2r)＝r(p2－r)≤[r＋p22－r]2＝1p62，等号在 r＝p2－r 即 r＝p4时成 立，∴半径 r＝p4时，面积最大．
随着经济建设步伐的加快，汽车已步入家庭，公路上交通 日益繁忙．为确保交通安全，交通部门规定：某事故易发地段 内的车距 d(m)正比于车速 v(km/h)的平方与车身长 s(m)的积， 且比例系数为2 5100，那么在交通繁忙时，该如何规定车速，才 能保证此地段通过的车流量 Q 最大？
∴x 1－x2的最大值为12.
(3)此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是形式的套用 公式．
正解：∵a>3，∴a－3>0， ∴a＋a－4 3＝(a－3)＋a－4 3＋3≥2 a－3·a－4 3＋3＝7，等号 在 a－3＝a－4 3即 a＝5 时成立．
课堂典例讲练
思路方法技巧
变形技巧：“1”的代换
(2)注意到 a＞b＞c.及式子a－1 b＋b－1 c≥a－m c中分母都是多 项式略嫌复杂，可换元简化．
令 x＝a－b＞0，y＝b－c＞0. 则 a－c＝x＋y.
∴a－1 b＋b－1 c≥a－m c恒成立，
即：1x＋1y≥x＋m y恒成立．
即：m≤(x＋y)(1x＋1y)恒成立．
∵(x＋y)(1x＋1y)＝2＋yx＋xy≥2＋2
∴此函数值域为(3，＋∞)．
(2)此解答过程错误，当 x<0 时，y＝x 1－x2≠ x21－x2，忽 视了对符号的关注．
正解：由 1－x2≥0 知－1≤x≤1，当 0＜x≤1 时，x 1－x2＝ x21－x2≤x2＋21－x2＝12，
等号在 x2＝1－x2 即 x＝ 22时成立；当 x＝0 时，x 1－x2＝0， 当－1≤x＜0 时，x 1－x2＜0，
探索延拓创新 直线的两点式方程 设 a＞b＞c，且a－1 b＋b－1 c≥a－m c恒成立，则 m 的 取值范围是__________． [答案] (－∞，4]
[分析] 由 a＞b＞c 知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.因此， 不等式等价于aa－－bc＋ab－－cc≥m，要使原不等式恒成立，只需aa－－bc ＋ab－－cc的最小值不小于 m 即可．