计算机图形学B样条曲面的表达式

计算机图形学 23
1
Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。
三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t ) T M h Gh
t [0,1]
T Mh t3 t2

1 2 2 1 3 3 2 1 t 1 0 0 1 0 0 0 0 1
k 0
2
(1 t ) P0 2t (1 t ) P t P2 1
2 2
t [0,1]
( P2 2 P P0 )t 2( P P0 )t P0 1 1
2
p (t ) t 2
Leabharlann Baidu
1 2 1 P0 t 1 2 2 0 P1 1 0 0 P2
计算机图形学 3
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8.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性
2.几何不变性
3.易于定界
4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观
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8.1.3 曲线曲面的表示
p p(t )
参数表示方法的优点：
t [0,1]
1．点动成线
2．选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。 3．斜率
计算机图形学
6
8.1.4 插值和逼近样条
采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称
为样条。
样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在
每段的边界处满足特定的连续条件。 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。
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曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的 形状时，形状完全通过给定的型值点列。
p(0) Pk , p(1) Pk 1 p(0) Rk , p(1) Rk 1
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推导：
p(t ) [t
3
t
2
ax b x t 1] cx d x
ay by cy dy
az bz cz dz
1阶几何连续性，记作G1 连续性，指一阶导数在相邻段 的交点处成比例
2阶几何连续性，记作G2 连续性，指相邻曲线段在交点
处其一阶和二阶导数均成比例。
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8.1.6 样条描述
n次样条参数多项式曲线的矩阵：
x(t ) ant a2t a1t a0 n 2 1 y (t ) bnt b2t b1t b0 z (t ) c t n c t 2 c t 1 c n 2 1 0
0 0 1 Pk P 1 1 1 k 1 0 1 0 Rk 2 1 0 Rk 1 1 1 Pk P 2 1 k 1 M h Gh 1 0 Rk 0 0 Rk 1
基矩阵 几何约束条件 基函数(blenging function)，或称混合函数。
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8.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式
曲线：
x(t ) a x t 3 bx t 2 c x t d x 3 2 y (t ) a y t by t c y t d y z (t ) a t 3 b t 2 c t d z z z z
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H(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 -0.2 H2(t) 0.4 0.6 H3(t) 0.8 1 t H0(t) H1(t)
图8-4
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Hermite基函数
计算机图形学 26
`
特点分析：
1.可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点
[t
3
t
2
a b t 1] T C c d
计算机图形学 22
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a 0 b 1 C c 0 d 3 2 2 3 3 0 0 0 1
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约束。
2.基于Hermite样条的变化形式：Cardinal样条和
Kochanek-Bartels样条
3.Hermite曲线具有几何不变性
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计算机图形学
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8.3 Bezier曲线曲面
8.3.1 Bezier曲线的定义
图8-5
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Bezier曲线的例子
28
计算机图形学
BEN0,3 (t ) (1 t )
2
3
BEN1,3 (t ) 3t (1 t ) 2 BEN2,3 (t ) 3t (1 t ) BEN3,3 (t ) t 3
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B0,3(t)
B3,3(t)
B1,3(t)
B2,3(t)
0
t
图8-6
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图8-1
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曲线的拟合
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曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面 的形状时，求出的形状不必通过控制点列
图8-2
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曲线的逼近
计算机图形学 9
求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制 多边形或特征多边形
三次Bezier曲线四个Bezier基函数
计算机图形学 33
1 3 3 3 6 3 p(t ) t 3 t 2 t 1 3 3 0 0 0 1 T M be Gbe


1 P0 0 P 1 0 P2 0 P3
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2阶参数连续性，
记作C2 连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点
处具有相同的一阶和二阶导数。
(a)0阶连续性
(b)1阶连续性
(c)2阶连续性
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计算机图形学
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2.几何连续性
0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定
义相同，满足：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
第8章 曲线和曲面
提出问题
由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或 实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出 一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规 律和趋势等。
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第8章 曲线和曲面
工业产品的几何形状：
初等解析曲面
复杂方式自由变化的曲线曲面
模线样板法
定义：
p(t ) Pk BENk ,n (t )
k 0
n
t [0,1]
Bernstein基函数具有如下形式：
n! nk nk k k k BENk ,n (t ) t 1 t Cn t 1 t k!n k ! k 0,1,, n
注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。
dy m dy / dt n dy / dt dx m dx / dt n dx / dt
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4．t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界的 5．可对参数方程直接进行仿射和投影变换 6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出 来
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n 2 1
t [0,1]
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计算机图形学
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an x(t ) y (t ) t n t 1 p (t ) a1 z (t ) a0 T C T M S G t [0,1]


bn cn b1 c1 b0 c0

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计算机图形学
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通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合函数， 调和函数）：
H 0 (t ) 2t 3t 1 3 2 H1 (t ) 2t 3t 3 2 H 2 (t ) t 2t t 3 2 H 3 (t ) t t
3 2
p(t ) Pk H0 (t ) Pk 1H1 (t ) Rk H 2 (t ) Rk 1H3 (t )
k 0 n
P0 BEN0,n (1) P BEN1,n (1) Pn BENn ,n (1) 1 Pn
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2．一阶导数
n! k 1 nk n k 1 k ,n (t ) BEN k (k t (1 t ) (n k )(1 t ) t ) k!(n k )! n(n 1)! t k 1 (1 t ) ( n 1)( k 1) (k 1)!((n 1) (k 1))! n(n 1)! t k (1 t ) ( n 1) k k!((n 1) k )! n( BENk 1,n 1 (t ) BENk ,n 1 (t ))
计 算 机 辅 助 几 何 设 计 CAGD（Computer Aided
Geometric Design）
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8.1 曲线曲面基础
8.1.1 曲线曲面数学描述的发展
弗格森双三次曲面片 孔斯双三次曲面片 样条方法 Bezier方法 B样条方法 有理Bezier 非均匀有理B样条方法
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
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1阶参数连续性
记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相
交点处有相同的一阶导数：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 ) 且pi(ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 )
19
特点： 1.只适用于型值点分布比较均匀的场合 2.不能“局部控制”
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计算机图形学
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8.2.2 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk 和Pk+1 之间的曲线段为p(t),t∈[0,1]，
给定矢量Pk、Pk+1、Rk 和Rk+1，则满足下列条件的三
次参数曲线为三次Hermite样条曲线：
t [0,1]
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计算机图形学
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8.3.2 Bezier曲线的性质
1．端点
p(0) Pk BENk ,n (0)
k 0
n
P0 BEN0,n (0) P BEN1,n (0) Pn BENn ,n (0) 1 P0
p(1) Pk BENk ,n (1)
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1．一次Bezier曲线(n=1)
p(t ) Pk BENk ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
k 0
1
t [0,1]
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计算机图形学
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2．二次Bezier曲线(n=2)
p (t ) Pk BENk , 2 (t )
计算机图形学
t [0,1]
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18
8.2.1 自然三次样条
定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一条 自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共
连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即
自然三次样条具有C2连续性。
还需要两个附加条件才能解出方程组
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计算机图形学

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计算机图形学
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3．三次Bezier曲线(n=3)
p(t ) Pk BENk ,3 (t )
k 0
3
(1 t ) 3 P0 3t (1 t ) 2 P 3t 2 (1 t ) P2 t 3 P3 1
t [0,1]
BEN0,3 (t ) P0 BEN1,3 (t ) P BEN2,3 (t ) P2 BEN3,3 (t ) P3 1
图8-2
2013-6-15 计算机图形学
曲线的逼近
10
8.1.5 连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t )
• 参数连续性
t[ti0 , t i1]
• 几何连续性
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计算机图形学
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1.参数连续性
0阶参数连续性，记作C0 连续性，是指曲线的几
何位置连接，即