06-抽样分布与参数估计
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▪ 从所有县中，分别随机抽选10、30、100、200个
县，计算其人口数的平均数。
▪ 将同一实验反复进行200次，观察平均数的分布
规律。
o 说明：为简化实验起见，在此进行的是无放回实验， 结果与有放回的情况略有差异。
统计学原理
统计学原理
样本均值的抽样分布特征
▪ N>30时，样本均值服从正态分布。 ▪ 样本均值以总体均值为期望值 ▪ 样本均值的标准差为总体标准差除以样
差作为总体标准差的替代。
s
(xi x)2
n 1
统计学原理
例题：估计总体平均数
▪ 一次调查中获得了36个样本的数据如下 ▪ 23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 ▪ 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 ▪ 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32 ▪ 试在95%的置信度水平下，估计总体平均数的置信区间。
▪ 也可称为置信度或置信系数（Confidence
Coefficient）。
统计学原理
置信度与置信区间的关系
▪ 以正态分布为例，当置信度为P时，置信
区间为[μ-tσ,μ+tσ]
▪ 其中，μ为期望值，σ为标准差。 ▪ T称为概率度，以下为对应关系
概率度（t） 概率值（p） 概率度（t） 概率值（p）
统计学原理
估计中的要点
▪ 参数估计是从统计量的抽样分布入手，
2 x
2
n
N N
n 1
2 x
2
n
N n N
2
n
(1
f
)
2 x
2
n
(1
f
)
(若n
N)
2 x
2
n
由上述的推导可见，在总体单位数特别大的情况下， 有放回与无放回抽样的效果是相同的。
统计学原理
例题：关于扑克牌的游戏
▪ 从一副扑克牌（52张）中，有放回地抽
出30张，其平均点数的分布规律如何？
▪ 如果以点数来赌胜负，什么区间的胜率
统计学原理
对计算结果的说明
▪ 严格地说，在这个例子中，不应当根据正态分布进行估
计，而应当使用T分布进行估计。
▪ 如果使用T分布，自由度为35，95%置信度的概率度(t)是
2.03，而非1.96。计算出来的置信区间比正态分布的情 况要略大一些。
▪ 置信区间略大的原因，在于使用S替代总体标准差时，本
身也包含了一定的误差。
方式也存在相关。一般讨论统计量的抽样分布 时，总是基于有放回的简单随机抽样。
o 有放回简单随机抽样：从总体中抽出一个单位后， 将其放回总体，再抽选下一个单位。
o 有放回简单随机抽样的各个样本单位之间是相互独 立的。
统计学原理
抽样分布的实验
▪ 使用1999年中国2159个县级行政区人口数资料进
行实验。
▪ 点估计是用样本统计量的某个取值直接作为总
体参数的估计值。
▪ 区间估计（Interval Estimate）是在点估计的
基础上给出总体参数估计的一个区间范围。
▪ 总体参数的估计区间，称为置信区间。
统计学原理
置信度
▪ 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区
间中包含总体真值的次数所占的比例称为置信 水平（Confidence Level）。
统计学原理
计算结果
▪ 计算样本平均数：X=39.5 ▪ 计算样本标准差：s=7.7736 ▪ 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956
▪ 95%置信度对应的T值为1.96 ▪ 得总体平均数的置信区间为：
o 上限：39.5+1.96×1.2956=42.04 o 下限：39.5-1.96×1.2956=36.96
▪ 实践中，社会调查的样本量一般都比较大，正态分布与T
分布的差异不明显，因此可以用正态分布进行近似分析。
▪ 例如，当样本量为200时，T分布的95%概率度为1.9719，
与正态分布的1.96已经没有太大区别了。
统计学原理
第三节 常见的参数估计题型
本章为选修内容，涉及到数 理统计中较多知识，需要通 过习题来加以掌握。
本量的平方根。
E(x) X
， x
n
统计学原理
样本均值分布与中心极值定理
▪ 正态总体中，样本均值的分布仍为正态分布。 ▪ 非正态总体，根据中心极值定理
统计学原理
样本均值抽样特征的推导
统计学原理
统计学原理
统计学原理
无放回条件下的简单随机抽样
统计学原理
无放回条件下抽样公式的简化
f=n/N，称为抽样比
统计学原理
第六章 抽样分布与参数估计
抽样分布、参数估计和 假设检验是推断统计的 三个中心内容
统计学原理
第一节 抽样分布
统计学原理
基本概念
▪ 统计量：由样本构造出来，不依赖于任
何总体参数的函数。
▪ 参数：描述总体分布状况的数。
统计学原理
抽样分布
▪ 抽样分布：统计量的分布形式 ▪ 统计量的分布依赖于总体的分布，同时与抽样
是95%？
统计学原理
统计学原理
第二节 参数估计
主要讨论总体平均数的 参数估计
统计学原理
参数估计的一般问题
▪ 参数估计：用样本统计量去估计总体的参
数。
▪ 估计量与估计值
o 用于估计总体参数的样本统计量的名称叫估 计量；
o 根据一个具体样本计算出来的估计量的数值 叫估计值。
统计学原理
点估计与区间估计
统计学原理
统计学原理
从前例逆推
▪ 已知某总体方差为100，其一个由36个
单位组成的样本的平均数为50，试在95 ％的置信度水平下，估计总体平均数的 置信区间。
统计学原理
统计学原理
统计学原理
总体标准差的替代
▪ 对总体均值进行估计时，需要使用到总体
标准差的Leabharlann Baidu值。
▪ 当总体标准差未知时，可以使用样本标准
统计学原理
有放回条件下的简单随机抽样
▪ 依据：样本平均数的分布特征
o 1．样本量n＞30时，样本平均数服从正态分布
o 2．样本平均数以总体平均数为期望值
o 3．样本平均数的方差为
2x 2
n
统计学原理
导入：估计样本平均数的范围
▪ 某总体方差为100，平均值为40，抽出一
个36个单位构成的样本，试在95％的置信 度水平下，估计样本平均数的范围。
1.28
80%
1
68.27%
1.64
90%
2
95.45%
1.96
95%
3
99.73%
2.58
99%
统计学原理
评价估计量的标准
▪ 无偏性（Unbiasedness）
o 估计量的期望值等于总体参数值。
▪ 有效性（Efficiency）
o 估计量的标准差最小。
▪ 一致性（Consistency）
o 大样本获得的估计量比小样本更接近总体参 数值。
县，计算其人口数的平均数。
▪ 将同一实验反复进行200次，观察平均数的分布
规律。
o 说明：为简化实验起见，在此进行的是无放回实验， 结果与有放回的情况略有差异。
统计学原理
统计学原理
样本均值的抽样分布特征
▪ N>30时，样本均值服从正态分布。 ▪ 样本均值以总体均值为期望值 ▪ 样本均值的标准差为总体标准差除以样
差作为总体标准差的替代。
s
(xi x)2
n 1
统计学原理
例题：估计总体平均数
▪ 一次调查中获得了36个样本的数据如下 ▪ 23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 ▪ 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 ▪ 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32 ▪ 试在95%的置信度水平下，估计总体平均数的置信区间。
▪ 也可称为置信度或置信系数（Confidence
Coefficient）。
统计学原理
置信度与置信区间的关系
▪ 以正态分布为例，当置信度为P时，置信
区间为[μ-tσ,μ+tσ]
▪ 其中，μ为期望值，σ为标准差。 ▪ T称为概率度，以下为对应关系
概率度（t） 概率值（p） 概率度（t） 概率值（p）
统计学原理
估计中的要点
▪ 参数估计是从统计量的抽样分布入手，
2 x
2
n
N N
n 1
2 x
2
n
N n N
2
n
(1
f
)
2 x
2
n
(1
f
)
(若n
N)
2 x
2
n
由上述的推导可见，在总体单位数特别大的情况下， 有放回与无放回抽样的效果是相同的。
统计学原理
例题：关于扑克牌的游戏
▪ 从一副扑克牌（52张）中，有放回地抽
出30张，其平均点数的分布规律如何？
▪ 如果以点数来赌胜负，什么区间的胜率
统计学原理
对计算结果的说明
▪ 严格地说，在这个例子中，不应当根据正态分布进行估
计，而应当使用T分布进行估计。
▪ 如果使用T分布，自由度为35，95%置信度的概率度(t)是
2.03，而非1.96。计算出来的置信区间比正态分布的情 况要略大一些。
▪ 置信区间略大的原因，在于使用S替代总体标准差时，本
身也包含了一定的误差。
方式也存在相关。一般讨论统计量的抽样分布 时，总是基于有放回的简单随机抽样。
o 有放回简单随机抽样：从总体中抽出一个单位后， 将其放回总体，再抽选下一个单位。
o 有放回简单随机抽样的各个样本单位之间是相互独 立的。
统计学原理
抽样分布的实验
▪ 使用1999年中国2159个县级行政区人口数资料进
行实验。
▪ 点估计是用样本统计量的某个取值直接作为总
体参数的估计值。
▪ 区间估计（Interval Estimate）是在点估计的
基础上给出总体参数估计的一个区间范围。
▪ 总体参数的估计区间，称为置信区间。
统计学原理
置信度
▪ 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区
间中包含总体真值的次数所占的比例称为置信 水平（Confidence Level）。
统计学原理
计算结果
▪ 计算样本平均数：X=39.5 ▪ 计算样本标准差：s=7.7736 ▪ 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956
▪ 95%置信度对应的T值为1.96 ▪ 得总体平均数的置信区间为：
o 上限：39.5+1.96×1.2956=42.04 o 下限：39.5-1.96×1.2956=36.96
▪ 实践中，社会调查的样本量一般都比较大，正态分布与T
分布的差异不明显，因此可以用正态分布进行近似分析。
▪ 例如，当样本量为200时，T分布的95%概率度为1.9719，
与正态分布的1.96已经没有太大区别了。
统计学原理
第三节 常见的参数估计题型
本章为选修内容，涉及到数 理统计中较多知识，需要通 过习题来加以掌握。
本量的平方根。
E(x) X
， x
n
统计学原理
样本均值分布与中心极值定理
▪ 正态总体中，样本均值的分布仍为正态分布。 ▪ 非正态总体，根据中心极值定理
统计学原理
样本均值抽样特征的推导
统计学原理
统计学原理
统计学原理
无放回条件下的简单随机抽样
统计学原理
无放回条件下抽样公式的简化
f=n/N，称为抽样比
统计学原理
第六章 抽样分布与参数估计
抽样分布、参数估计和 假设检验是推断统计的 三个中心内容
统计学原理
第一节 抽样分布
统计学原理
基本概念
▪ 统计量：由样本构造出来，不依赖于任
何总体参数的函数。
▪ 参数：描述总体分布状况的数。
统计学原理
抽样分布
▪ 抽样分布：统计量的分布形式 ▪ 统计量的分布依赖于总体的分布，同时与抽样
是95%？
统计学原理
统计学原理
第二节 参数估计
主要讨论总体平均数的 参数估计
统计学原理
参数估计的一般问题
▪ 参数估计：用样本统计量去估计总体的参
数。
▪ 估计量与估计值
o 用于估计总体参数的样本统计量的名称叫估 计量；
o 根据一个具体样本计算出来的估计量的数值 叫估计值。
统计学原理
点估计与区间估计
统计学原理
统计学原理
从前例逆推
▪ 已知某总体方差为100，其一个由36个
单位组成的样本的平均数为50，试在95 ％的置信度水平下，估计总体平均数的 置信区间。
统计学原理
统计学原理
统计学原理
总体标准差的替代
▪ 对总体均值进行估计时，需要使用到总体
标准差的Leabharlann Baidu值。
▪ 当总体标准差未知时，可以使用样本标准
统计学原理
有放回条件下的简单随机抽样
▪ 依据：样本平均数的分布特征
o 1．样本量n＞30时，样本平均数服从正态分布
o 2．样本平均数以总体平均数为期望值
o 3．样本平均数的方差为
2x 2
n
统计学原理
导入：估计样本平均数的范围
▪ 某总体方差为100，平均值为40，抽出一
个36个单位构成的样本，试在95％的置信 度水平下，估计样本平均数的范围。
1.28
80%
1
68.27%
1.64
90%
2
95.45%
1.96
95%
3
99.73%
2.58
99%
统计学原理
评价估计量的标准
▪ 无偏性（Unbiasedness）
o 估计量的期望值等于总体参数值。
▪ 有效性（Efficiency）
o 估计量的标准差最小。
▪ 一致性（Consistency）
o 大样本获得的估计量比小样本更接近总体参 数值。