矿大 数理统计试卷2011(答案)

中国矿业大学

2011 级硕士研究生课程考试答案

考试科目数理统计

考试时间2011.12

研究生姓名

学号

所在学院

任课教师

中国矿业大学研究生院培养管理处印制

一、（15分）设区域}0,10|),{(x y x y x G ≤<≤<=，随机变量),(Y X 在G 上服从均

匀分布，求(|)E X Y .

解：),(Y X 的概率密度为：⎩⎨

⎧∈=others

G y x y x f ,0),(,2),(于是),(Y X 关于X 和Y 的边缘概

率密度为⎩⎨⎧≤<-=⎪⎩⎪⎨⎧≤<==

⎰⎰

∞

+∞

-others y y others

y dy dx y x f y f y Y ,010),1(2 ,01

0,2),()(1

所以⎪⎩⎪

⎨⎧≤<≤<-==

others

x y x y y f y x f y x f Y Y X ,00,10,11

)()

,()|(| 2

1)1(2

1

1111)|()|(2

1|y y y dx y

x

dx y x xf

y Y X E y

Y

X +=

--=

-=

=

=⎰

⎰

+∞

∞

-

所以 1(|)

2

Y E X Y +=

二、（15分）将一颗骰子随机抛掷120次，观察其出现的点数，结果如下：

试问这颗骰子的六个面是否均匀？)05.0(=α 解 0:{}1/6,1,2,,6H P X i i ===

统计量为()

k

i i i i

f np np χ

=-=

∑

2

2

1

，拒绝域为 ()k αχ

χ2

2

1≥-

其中2

0.056,120,1/6,(5)11.071i k n p χ====

2

2

2

0.051

()

8.1(5)11.071k

i i i i

f np np χχ=-=

=<=∑

所以接受原假设 ，即可以认为这颗骰子的六个面是均匀的

三、（15分）设某元件寿命X 的概率密度为2()2,()

(;)0

,()x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩，求θ的极大似

然估计量，并判别是否为优效估计量

解：2()12,()()0,()i n x i i e

x L x θθθθ--=⎧≥⎪=⎨⎪<⎩

∏ 1ln ()ln 222n

i

i L n n x θθ==+-∑ ln ()

20

d L n d θθ

=>

()L θ关于θ单调增加 12ˆmin(,,,)n x x x θ∴

=

下判别优效：(罗克莱美下界) 2

ln (,)()(

)f x I E θθθ

∂=∂ ln (,)

2,()f x x θθθ

∂=≥∂,

22

ln (,)ln (,)()()()(,)4f x f x I E f x dx θθθθθθθ

+∞∂∂===∂∂⎰，

故罗克莱美下界为 11()()

4R I nI n

θθ=

=

令 12m in(,,,)n Z x x x = ()1(1(

))n

z X F z F x =--

2()

()2()

n z z f z ne

z θθ--=≥ 1()2E Z n

θ=

+

2

2

2

1()2E Z n

n

θ

θ

=

+

+

2

2

2

1()()()4D Z E Z E Z n

=-=

()()R I D θθ≠ 故不是优效估计量

四、（15 分）甲乙两个砖厂各生产一批机制红砖, 抽样检查测量砖的抗折强度(千克), 得到结果如下: 甲厂 1110,27.3, 6.4n x S ===

乙厂 228,30.5, 3.8n y S ===

已知甲乙两厂生产的砖的抗折强度分别服从22

1122(,),(,)N N μσμσ正态分布, 试求两厂红砖

抗折强度均值差12μμ-的置信区间? )05.0(=α

解答：（1）检验假设 22

22

012112:;

:H H σσσσ=≠

取统计量 21

2

2

S F S =

，

拒绝域为 212(1,1)F F n n α≥--或1212(1,1)F F n n α-≤--

由2

2

121210,8,40.96,14.4,n n S S ====

0.0250.9750.0251(9,7) 4.82,(9,7)0.283(7,9

F F F ==

=得 40.96 2.83714.44

F =

=

显然 0.283<2.837<4.82,所以接受原假设，认为抗折强度的方差没有显著差异。 (2) 对12μμ-

做区间估计，122

((2)(8.6478,2.2478)X Y t n n S α-±+-=-

(注：我只算了一遍，不知准确与否，自己判断吧，呵呵

)

w S =

五（20分，每小题10分）

1、考虑过原点的线性回归模型 1,1,2

,,i i i Y X i n βε=+=

误差i ε仍满足回归模型基本假设，求1β的最小二乘估计1ˆβ，并推导出1ˆβ的分布

解： Q =

2

1

ˆ()n

i

i i y

y

=-∑= 2

11

()min n

i

i i y

x β=-=∑， (2)

分

1

ˆ1

0dQ d ββ= 得 11

ˆ2()0n

i i i

i y x x β=--=∑……………………………....2分

则1

121

ˆn

i

i

i n

i

i x y

x

β===

∑∑………………………………………………………..1分

1ˆβ是i y 的线性组合，由i y 相互独立，服从正态分布，则1ˆβ服从正态分布…..1分