初等数论初步习题1

《初等数论初步》习题1

贾祥雪

1.1 整除

1.证明：（1）若|a b ，0m ≠，则|ma mb ；

（2）设,a b 为正整数，|a b 且|b a ，则a b =;

*(3) 设,a b 为正整数，|a b 且|c d ，则|ac bd 。

2.证明：三个连续正整数之和是3的倍数。

3.证明：若6|()a b +，则336|()a b +。

4.设n 为正整数，证明6|[(1)(21)]n n n ++。

5.15位校友聚会，能否每个人都握手5次?

6.设1n >，(1)|(11)n n -+，求n 。

1.2 素数与合数

1.判断359是不是素数。

2.利用厄拉多塞筛法找出100以内的全体素数。

3.找出5个连续自然数，每个数都是合数。

4.证明：大于11的自然数可以表示成两个合数之和。

1.3带余除法

1.写出2011-被17除的带余除法表示式。

2.请在503后面添加3个数字，使所得的6位数能被7,9,11整除。

3.将101表成3进制数。

4.5642⨯=是什么进制的乘法？

1.4 辗转相除法与最大公约数

1.求(198,252)，(1008,1260)。

2.求(1008,1260,882,1134)。

3.证明：对任意的整数,x y ，12121122(,)(,)(,)a a a a a x a a y a =+=+。

4.证明：当(,)1c a =时，有(,)(,)c ab c b =。

5.证明：当(,)1a b =时，有(,)(,)(,)c ab c a c b =。

6.证明：,1(,)(,)a b a b a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭

。 7.证明：214n +与143n +互素。

*8. 证明：当(,)1c a =且|c ab 时，有|c b 。

*9.两组整数12,,,n a a a L 与12,,,n b b b L ，第一组中任意一个与第二组中任意一个互质，则求证12n a a a L 与12n b b b L 互质。

*10.设,m n 为正整数，且1m >不是有理数。

*11.若(,)a b ax by =+，求证：(,)1x y =。

*12.若(,)1a b =，求证：(,)1a b a b +-=或2。

*13.若(,)1a b =，求22(,)a b a b ++。

1.5 最小公倍数

1.求[24871,3468]。

2.设,a b 是正整数，且[,]105a b =，(,)7a b =，求,a b 。

3.设,a b 是正整数，且[,](,)a b a b =，证明a b =。

*4.若(,)1a b =，证明：[,]a b ab =。

5.证明：333[,][,]a b a b =。

*6.举例说明(,,)[,,]a b c a b c abc <是可能的。

*7.证明：当且仅当,,a b c 两两互素时，有(,,)[,,]a b c a b c abc =

8.证明：[,,](,,)a b c ab ac bc abc =。

*9.若12,,,n a a a L 两两互素，证明：1212[,,,]n n a a a a a a =L L 。

*10.设n 为正整数，证明：1113521

S n =++++L 不为整数。 1.6 算术基本定理

1.用分解素因数法求：（1）(4712,4978,5890)；

（2）[4712,4978,5890]。

2.求(300000)τ，这里，()n τ表示n 的正约数的个数。

3.是无理数；

1.7 二元一次不定方程

1.解不定方程3710725x y -=。

2.求不定方程719213x y +=的正整数解。

3.21世纪有这样的年份，这个年份减去22等于它各个数字的和的495倍，求这年份。

4.（百牛问题）有银百两，买牛百头，大牛每头十两，小牛每头五两，牛犊每头半两，问买的一百头牛中，大牛，小牛，牛犊各几头？

复习题：

1.证明：设0n >，|n n a b ，则|a b 。

2.证明：若21n +为素数，必有2m n =，m 为自然数。

3.设5p >，且p 和21p +都为素数，证明：41p +必为合数。

4.设1n >为奇数，证明：11|1(1)!2

1n n n ⎛⎫+++- ⎪-⎝⎭L 。 5.证明：设,a b 为正整数，则等差数列,2,,a a ba L 中能被b 整除的项的个数等于(,)a b 。

6.证明：(,[,])[(,),(,)]a b c a b a c =。

7.设m 为正整数，k 为大于1的正整数，证明(1)m m +不是任何整数的k 次幂。（提示：算术基本定理） 8.证明形如43m +的素数有无穷多个。

9.求1000027的素因数分解式

10.求(198,252)。

11.求11132175x y -=的正整数解。

12.设()|()m p mn pq -+，证明：()|()m p mq np -+。

*13.若n 是43k +型的正整数，则n 一定有43k +型的质因子。