曲线和方程时精修订
高二数学曲线和方程人教版(文)知识精讲
高二数学曲线和方程人教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：曲线和方程二. 本周教学重、难点：1. 重点：曲线的点集与方程的解集之间的对应关系。
2. 难点：求曲线的方程和曲线的交点。
【典型例题】[例1] 作出方程1||22+-=x x y 的曲线。
解：∵ |1|||)1|(|1||222-=-=+-=x x x x y把x 换成x -，方程不变 ∴ 图象关于y 轴对称当0≥x 时，⎩⎨⎧>-≤≤-=-=-=)1(1)10(1|1||1|||x x x x x x y可分段作出方程的图象，如下图-11O xy[例2] 用坐标法证明：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和。
证明：如图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P （y x ,）为任意点，矩形四个顶点为A （11,y x ），C （22,y x ），B （21,y x ），D （12,y x ）则有2222212122)()()()(||||y y x x y y x x PC PA -+-+-+-=+212222122)()()()(||||y y x x y y x x PD PB -+-+-+-=+2∴ 2222||||||||PD PB PC PA +=+[例3] 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
解法一：设点M 的坐标为（y x ,）∵ M 为线段AB 的中点 ∴ A 的坐标为（0,2x ），B 的坐标为（y 2,0） ∵ 21l l ⊥，且1l 、2l 过点P （2，4） ∴ PA ⊥PB ，1-=⋅PB PA k k ，而)1(2204≠--=x x k PA ，0224--=yk PB∴)1(11212≠-=-⋅-x yx 整理，得052=-+y x （1≠x ） ∵ 当1=x 时，A 、B 的坐标分别为（2，0）（0，4） ∴ 线段AB 的中点坐标是（1，2），它满足方程052=-+y x 综上所述，点M 的轨迹方程是052=-+y x解法二：设M 的坐标为（y x ,），则A 、B 两点的坐标分别是（0,2x ）、（0，y 2），连结PM 。
高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程[学生用书P192]1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1k y表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p2左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[学生用书P192]直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点P (1，1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝5（x －2）2＋（y －1）2，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×52－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.定义法求轨迹方程(师生共研)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．1.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB →＝－2MA →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y24＝1.[学生用书P407(单独成册)][A 级 基础练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn x ；④若m＝0，n >0，则C 是两条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －mn x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y 225＝1 B ．x 225＋4y 225＝1 C.4x 225－y 225＝1D.x 225－4y 225＝1解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 225＝1.故选B.6．设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.答案：x 2＋(y ＋2)2＝207．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －28．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6，经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[B 级 综合练]11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②联立①②解得x ＝－6k2k 2＋1，即x N ＝－6k2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.[C 级 提升练]15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。
《解析几何》第13讲 双曲线及其标准方程(修订)
第13讲
1．双曲线的定义的内涵与外延
文字语言：
平面内与两个定点 F1 ， F2的距离之差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
即： |PF1|-|PF2| ＝2a（2a<|F1F2|）,点M的轨迹是双曲线．
思考1：
|
|
① |PF1|-|PF2| ＝2a (2a<|F1F2|), 点M的轨迹是 双曲线的一支 ．
2014-11-25
性 对称轴：x轴，y轴 质 对称 性 对称中心：__________ 坐标原点
思考3：你能区分双曲线和椭圆吗？
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
c=
2014-11-25
.
c=
.
a2=b2+c2
c2=a2+b2
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示双曲线， 5－ k k － 3
标准方程
y2 x2 x2 y2 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b a b
图形
x≥a或x≤－a 范围 思考 2： ________________
y≥a或y≤－a ________________ 对称轴：x轴，y轴
如何判定双曲线焦点的位置？ 对称中心：坐标原点
P
A
y =x+b
KAB KPQ = -1
Q B
求点Q(x,y)的坐标 成为本题的关键.
2
2
( ∞,3) ∪ (5, +∞) 则 k 的取值范围是 ．
变式 1. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线， 则 k 的取值范围是 (5, +∞) ．
高中数学第2章2.6曲线与方程2.6.3曲线的交点讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．6.3曲线的交点[对应学生用书P43]给出下列两组直线，回答问题． (1)l 1：x ＋2y ＝0，l 2：2x ＋4y －3＝0； (2)l 1：2x －y ＝0，l 2：3x ＋y －7＝0. 问题1：两组直线的位置关系． 提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？ 提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0.(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0方程特征 交点个数位置关系 直线与椭圆a ≠0，Δ>0 2 相交 a ≠0，Δ＝0 1 相切 a ≠0，Δ<0 0 相离直线与双曲线a ＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a ≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离直线与抛物线a＝0 1直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>0 2 相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离[对应学生用书P44]直线与圆锥曲线的位置关系[例1] 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析] 将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－52或k＞52时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±52时，方程①只有一解．故当k＝±12或k＝±52时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－52＜k＜52，且k≠±12时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通] 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点； Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0， 直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0， 直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)＋1，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．①当Δ＝0，即k ＝－1或12时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k <－1或k >12时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．综上：当k ＝－1或12或0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的长．[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A 、B 坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝(0－53)2＋(－2－43)2＝1259＝553. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的公共解．对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0.则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)[(53)2－4×0]＝553.法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝53.由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝15×(5－x 1)，F 1B ＝15×(5－x 2)，则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253＝553.[一点通] 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)结合根与系数的关系，利用变形公式l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 l ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解．(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________． 解析：由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 答案：164．直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1相交于两点A 、B ，则AB ＝________.解析：设直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 22－y 2＝1，得7x 2－24x ＋20＝0，∴x 1＋x 2＝247，x 1x 2＝207，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(247)2－4×207＝457. 答案：4575．如图，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．解：由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1消去x ，整理得25y 2－187 y －81＝0，∴y 1＋y 2＝18 725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫187252＋4×8125＝72225， ∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2 7×72 225＝721425.两曲线相交的综合问题[例3] 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上面的方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1， 因为P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1， 解得k ＝－12，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 又因为A ，B 在椭圆上， 所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．6．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1FA ＋1FB为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知，FA ＝x 1＋p 2，FB ＝x 2＋p2.1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．7．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA u u u r ＝512PB u u u r，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)．x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0＜a ＜2，且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e ＞62，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA u u u r ＝512PB u u u r，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.由a ＞0，解得a ＝1713. 8．(陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．解： (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意得，O 1A ＝O 1M . 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝ x 2＋42， 又O 1A ＝ (x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝ x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)·x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x 或y ，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．[对应课时跟踪训练(十七)]1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________． 解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0， 解得x 1＝4或x 2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)． 答案：(4,0)，(－1,0)2．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为________． 解析：由数形结合可知两曲线有4个交点． 答案：43．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2. 则Q 点坐标为(－2,0)． 设直线y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.若直线l 与y 2＝8x 有公共点， 则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0. 解得－1≤k ≤1. 答案：[－1,1]4．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0， ∴m >1.答案：(1，＋∞)5．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 ________．解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12. 即直线l 的斜率为－12.∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为42，离心率为64. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，MN 的中点为A (2，－1)，求直线l 的方程． 解：(1)由题意2a ＝42， ∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝64，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 25＝1.(2)∵点A 在椭圆内部，∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y25＝1.消去y 得(8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0， ∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5， 又∵A (2，－1)为弦MN 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)8k 2＋5＝4， ∴k ＝54，从而直线方程为5x －4y －14＝0.7．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N 且满足OM u u u u r ⊥ON u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ①所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM u u u u r ⊥ON u u u r ，即OM u u u u r ·ON u u u r＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.8．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， ∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 即3＋4k 2－m 2>0.∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾； 当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。
2020-2021学年北师大版数学选修2-1学案：3.4.1 曲线与方程 Word版含解析
§4曲线与方程4．1曲线与方程授课提示：对应学生用书第46页一、方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．二、求曲线方程(直接法)的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；2．写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}；3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；4．化方程f(x，y)＝0为最简形式；5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程．[疑难提示]对曲线与方程的理解曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制．[想一想]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.[练一练]2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0解析：“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错．B 显然错．答案：D授课提示：对应学生用书第47页探究一 曲线与方程的概念[典例1] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，化简整理得5m 2＋8m －36＝0，解得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．也就是说，曲线C 是一个点集，以方程f (x ，y )＝0的实数解为坐标的点的集合F ＝{(x ，y )|f (x ，y )＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C ⊆F ；(2)F ⊆C .由两个集合相等的概念知C ＝F .所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准．1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由．(1)曲线C ：过点A (2,0)且平行于y 轴的直线；方程f (x ，y )＝0：|x |＝2.(2)曲线C ：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f (x ，y )＝0：xy ＝1.解析：(1)过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上的点的坐标x ＝2都是方程|x |＝2的解；而以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C 的方程为x ＝2，方程|x |＝2表示两条直线．(2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy ＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy ＝1的解为坐标的点都在曲线C 上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C 的方程为xy ＝±1，方程xy ＝1表示位于一、三象限的双曲线．2．(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．解析：(1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25， 因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.探究二 根据方程研究曲线[典例2] 方程y ＝|x |x2所表示的图形是( )[解析] 方程y ＝|x |x 2＝⎩⎨⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，结合各选项的图形可得正确的图形为 B.[答案] B判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止．对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线．3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，得2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，所以方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D.答案：D4．(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？解析：(1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)，(2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴方程表示的图形为点A (1，－1)．探究三 求曲线的方程求曲线方程的常用方法—⎪⎪⎪⎪ —直接法—定义法—代入法—参数法5．已知A (0,4)，点B 是曲线2x 2＋1－y ＝0上任意一点，且M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程．解析：设B (x 1，y 1)，M (x ，y )，由M 是线段AB 的中点，得⎩⎨⎧x ＝x 12y ＝y 1＋42，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y －4. 又点B 在曲线2x 2＋1－y ＝0上，∴2x 21＋1－y 1＝0，∴2×(2x )2＋1－(2y －4)＝0，即8x 2－2y ＋5＝0，∴动点M 的轨迹方程是8x 2－2y ＋5＝0.6．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在⊙C 1的内部，且和⊙C 1内切，和⊙C 2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹是以C 1与C 2为焦点的椭圆．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48.即动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解析：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)． 设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．连接AP ，BP .因为点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0.于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.8．A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程．解析：解法一(直接法) 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图所示)，则A (0，3)．设外心P 的坐标为(x ，y )，∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．∵P 也在AB 的垂直平分线上，∴|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简，得x 2－6y ＋5＝0.即△ABC 的外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.解法二(参数法) 建立坐标系(同解法一)，得A (0,3)．设BC 边的垂直平分线的方程为x ＝t ，①则点B 的坐标为(t ＋2,0)，于是AB 的中点是⎝⎛⎭⎫t ＋22，32，从而AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23⎝⎛⎭⎫x －t ＋22.② 由①②式消去t ，得x 2－6y ＋5＝0，即为所求．转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用[典例] 已知点Q (2,0)和圆x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长等于圆O 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．[解析] 如图，过M 作圆的切线MN ，N 为切点，设M (x ，y )．由题意知|MN |＝|MQ |＋|ON |，由于|MN |＝|OM |2－|ON |2＝x 2＋y 2－1， |MQ |＝ (x －2)2＋y 2，|ON |＝1， 所以x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1两边平方整理得2x －3＝(x －2)2＋y 2，再两边平方整理得3x 2－y 2－8x ＋5＝0.即：9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1.因为2x －3＝(x －2)2＋y 2中2x －3≥0，所以x ≥32.所以动点M 的轨迹方程为9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≥32. [感悟提高] (1)对方程的化简及自变量的取值是重难点．(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
人教社高中数学课标教材A、B两个版本“圆锥曲线与方程”一章内容结构的比较研究
人教社高中数学课标教材Ａ、Ｂ两个版本“圆锥曲线与方程”一章内容结构的比较研究作者：祝广文王慧晓来源：《中学数学杂志(高中版)》2009年第05期自2004年普通高中使用新课程以来,高中数学教材呈现出了非常好的多样性和丰富性,目前已通过教育部审查的高中数学课程标准实验教材共有6套,分别是人民教育出版社A版、人民教育出版社B版、北京师范大学出版社版、江苏教育出版社版、湖南教育出版社版和湖北教育出版社版,其中前5套已经分别进入各实验区使用.这些不同版本的教材各具特色,异彩纷呈,从耳目一新的外观设计到渗透数学文化价值和亲和力的内容编排,再到灵活合理的习题“套餐”,无不充分向我们展示了各自的特色、风格和灵魂,充分体现了新的教育理念和新的创新追求.山东省各地市选用的教材是人民教育出版社出版的A版和B版(以下分别简称A版、B版),这两套教材也是在实验区使用范围最广的两套教材,为了更好地理解和把握教材,以便更好地实施于教学,并对教材的进一步修订提供参考,笔者以选修2-1 第二章“圆锥曲线与方程”为例,针对A版与B 版的内容结构进行了比较研究.1 章节整体结构的比较1.1 整体印象无论是A版还是B版教材,其“圆锥曲线与方程”这一章的内容从总体上看都紧扣了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)关于这一部分内容的基本精神和具体要求,在引导学生学习和掌握有关知识和技能的过程中,注重让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用,结合实例反复体会曲线与方程的对应关系、数形结合的思想.两本教材都从引人入胜的章头语开始章节编排,都能根据内容的需要附有大量的图形或插图、画龙点睛的旁批(注)、启发思考的探究性问题,整体上显得版面图文并茂,内容丰富多彩、引人入胜,还有开拓视野的阅读材料和与时俱进的信息技术应用等等内容,既给人以亲切感,同时还渗透着数学的文化价值和人文精神,给读者以十分美妙的感受.1.2 结构布局的比较A版本章内容共安排为4大节,分别为曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线,其中穿插安排有思考、探究、旁批、探究与发现、观察、信息技术应用、阅读与思考等栏目以及本章小结和复习参考题.其整体的结构流程大致是:思考、探究→例题、练习、习题→小结、复习参考题其中练习不分组,习题和复习参考题均分为A、两组,小结包括本章知识结构和回顾与思考两部分.B版本章内容共安排为5大节,分别为曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线和直线与圆锥曲线,其中穿插安排思考与讨论、旁注、探索与研究、阅读与欣赏和本章小结.其整体上的结构流程大致是:温故知新、思考与讨论→例题、练习、习题→本章小结其中练习与习题均分为A、两组,本章小结分成知识结构、思考与交流、巩固与提高和自测与评估四个部分,后两个部分是供复习和自我测试使用的习题.从以上可以看出两套新教材在本章的整体布局上既有共性又有差异.共性是都突出了以问题来启发引导学生主动地进行学习,都以旁批或旁注的形式来点拔、拓展学生的思维,以练习和习题来落实和巩固学习效果,在章节小结中注重知识结构的整体建构和知识的内化.整体结构上最大的不同是B版将“直线与圆锥曲线” 单独作为一节出现,而A版没有把这部分内容单独作为一节,只在通过例、习题的形式将有关知识方法融合在其他各节中.例如A版第51页例7、第65页例6、第75页例4、例5、例6等内容都直线与圆锥曲线的位置关系的有关内容,相应地,在各节的习题中也安排了有关内容的题目.比较而言,笔者认为B版这种安排不仅突出了直线与圆锥曲线的位置关系的重要性,而且使得本章节知识层次更加分明,在教与学的过程中师生更容易从整体把握教材.而A版的设计强化了应用意识的培养,加大了本章教材的使用弹性,结构体系也更显完整,当然对教师整体驾驭教材的能力也提出了更高的要求.2 知识内容呈现方式的比较在具体知识内容编写方面,虽然两套教材都始终紧扣了课程标准规定的内容要求,也都突出了几何问题代数化是解析几何的基本思想这一主题,进一步体现了“坐标法”这一主线在全章的统领作用,但在编写方式上存在明显的不同风格,体现出两套教材不同的特色追求.2.1 知识呈现形式的比较在具体的每节内容中,A版更加注重内容结构呈现方式的多样化,不仅通过思考、探究等形式设置问题情境相对要比B版多,旁批(注)、探索与发现(探索与研究)等内容的设置也比B版多.例如A版本章共设计了3处“探索与发现”内容,而B版本章仅设计了1处“探索与研究”内容.另外A版还专门设置了“观察”和“信息技术应用”栏目.而B版则在内容结构的呈现上更加注重说理,强调知识发生发展的过程、思维的严谨以及对知识的落实和强化.A版多采用恰时恰点的问题和生动的图文来启发探究,以利于观察结果归纳提升思维过程,培养了问题意识和创新精神.比如在“椭圆及其标准方程”这一小节,A版先通过“探究”一个具体的操作来归纳概念后, 接着在第41页、42页、43页、44页分别各设置一个“思考”问题,提出了“观察椭圆的形状你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单?”,“从例2你能发现椭圆与圆的关系吗”等一系列问题,在本小节中还设有3处旁批和1处“探究与发现”. A版通过这些精心的设计进一步引导学生通过联系、启发和类比进一步完善和升华思维空间,注重了教学方式的科学性,也渗透了严谨的数学思想.而B版在相对应的“椭圆的标准方程”这一小节中,只在第43页设计了1处关于推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程的“思考与讨论”,另在例1中设计了2处旁注.B版本小节编写的重心一是更加注重了说理和操作过程,二是重视增加教材的使用弹性,主要体现在例题和习题的配置上更显丰富并且富有层次性.从本小节看,可以说A版的编排更注重了问题、激情和亲和;而人教B版则更注重的是理性、实践和强化.比较而言,A版通过思考、探究等形式设置和提出的问题大多比较生动活泼,更加能激发兴趣和美感,更具有亲和力.比如A版教材第41页的“探究”内容是在引出椭圆概念之前,让学生在易操作的情况下设问“你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件么?”启发诱导学生探究概念的本质属性.B版教材则更强调了问题引入情境的合理,简洁和清晰,直指核心内容,暗留思考空间,从而实现自主探究的目标.如在课本第39页中先介绍了汽车油罐的横截面和卫星运行轨道等,然后直奔概念主题,较快地实现了从直观到抽象的过程,对理性思维的要求更高.2.2 相似或主次内容的处理方式比较应该说双曲线和抛物线在概念、方程推导过程以及对几何性质的研究过程等方面都和椭圆基本相似,A版在对双曲线和抛物线有关内容的处理上主要是以“思考”、“探究”的问题方式让学生通过类比展示思维流程,以富有时代感和现代感的素材创设情境,通过探究式教学提高学生的归纳和提炼能力.B版在对双曲线和抛物线有关内容的处理上仍然沿用椭圆部分的编写方式,遵循温故知新、由浅入深,循序渐进的特点,给教师在教学方式的选择上留下了较大的自主空间.对于双曲线部分中的渐近线内容的处理上两套教材也都各有特色,A版采用了与“信息技术应用”栏目相结合的方法,使用“几何画板”去直观形象的表达出渐近线的特性进而给出渐近线的定义,而关于渐近线“渐近”的论证则放在了“探究与发现”中,大大降低了学习的难度.而B版则直接使用“坐标法”和无限逼近思想进行了严密的说理,论证了渐近线其“渐近”的特性进而给出定义,体现了更加注重理性的风格.3 练习、习题配置比较可以肯定地说,数学教学过程中知识、技能的巩固和提高都离不开练习和习题,而习题配备的合理与否会直接关系到教学质量的高低.现代认知心理学的研究也表明,要掌握某个知识点离不开一定量的练习,但过量的训练会加重学生的负担和厌倦感.所以在教材中配置合适的练习和习题,是教材编写的重要内容,数学学科尤其是这样.要让学生愉快高效地学习,配置练习和习题的质量不仅要讲究认知层次以及题型的多样化,还要突出数学能力的培养.两套教材在练习和习题的配置上都突出了对基础知识和基本技能的训练和巩固,并且在题型上增加了以前教材中没有出现过的客观题.比较来说,人教A版在这一章的基础题比较精简,难度也较为适中,客观题数量较少,但探究性题目的比例稍大.B版的练习也分为为A、B两组,练习和习题的数量明显大于A版,不仅各种题型全面而且难度层次更丰富,教材的资源性特征更明显,使得教材使用的弹性更大,但对教师把握教材能力的要求也更高.4 信息技术整合程度比较信息技术是一种有效的认知工具,借助计算机可以加强几何直观,从而为强化数与形的辩证统一提供了强有力的平台,很多难以认知的抽象问题通过信息技术平台都能得到很好地解决,从而帮助学生更好地理解数学本质.在本章内容中,两套教材都比较注重信息技术渗透和应用,A版专门设置了“信息技术应用”栏目,全章共有3处:第54页“用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆”,能帮助学生更好地理解离心率对椭圆扁圆程度的影响;第61页“用《几何画板》研究双曲线的渐近线的特性”,直观上的理解既能把握课标要求,又能很好地理解逼近思想;第69页“用《几何画板》探究抛物线的形成过程”.B版在本章中虽然没有专门设置信息技术方面的栏目,但注重在习题中不断地渗透有关内容,也体现了信息技术在教学中的价值.另外,值得一提的是,如果不拘泥于本章内容的话,注重信息技术的应用也是B版整套教材非常明显的一个特色.参考文献[1] 王申怀主编.普通高中课程标准试验教科书•数学•选修2—1.人民教育出版社A版,2005年6月第1版.[2] 邵光砚、邱万作主编.普通高中课程标准试验教科书•数学•选修2—1.人民教育出版社B 版,2007年3月第2版.[3] 中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准(实验)》,人民教育出版社,2003年4月第1版.。
高三数学 双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程xayba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
曲线与方程 精品教案
曲线与方程【教学目标】1．知识教学点使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2．能力训练点在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3．学科渗透点从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育。
【教材重难点】1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
（解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义。
）2．难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。
据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。
（解决办法：为了在难点有所突破后强化其认识，用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系。
）3．疑点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的应用。
（解决办法：通过例子，初步领会它的应用；给出概念的推论，既升华了概念又是概念的应用。
）【教学设计】提问、讲授、讨论、引导、练习。
【教学过程】一、复习提问，引出课题1．命题有哪几种基本形式，它们之间的关系如何？原命题与逆否命题、逆命题与否命题两两等价。
学生给出解答如图2-1．本次课就是在此基础上，建立曲线和方程之间的对应关系，即符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这条曲线也完整地表示一个方程。
大家知道，在平面直角坐标系中，点和一对有序实数是一一对应的，有序实数就是方程的任一解恰是一对有序实数，这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础。
那么曲线和方程之间应有什么对应关系呢？这是本次课要研究的问题。
课题是“曲线和方程”。
二、运用例子，揭示内涵例1 已知A（-2，-1），B（3，5），求线段AB中重线上点的坐标满足的关系。
解：如图2-2，设动点坐标为P（x，y）。
2020版数学人教B版选修2-1课件：第二章 2.1.1 曲线与方程的概念 Word版含解析.pdf
第二章§2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点 曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的 .一个二元方程总可以通过移项写成F (x ，y )＝0的形式，其中F (x ，y )是关于x ，y 的解析式.在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系：① 都是方程F (x ，y )＝0的解；②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在C 上.那么，方程F (x ，y )＝0叫做 ；曲线C 叫做 .轨迹方程曲线C 上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)一一对应建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.如果曲线l 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则1.曲线l 的方程是F (x ，y )＝0.( )2.方程F (x ，y )＝0的曲线是l .( )3.坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线l 上.( )4.坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线l 上.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×2题型探究PART TWO题型一 曲线与方程的概念理解与应用命题角度1 曲线与方程的判定例1 已知坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么A.曲线C 上的点的坐标都适合F (x ，y )＝0B.凡坐标不适合F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合F (x ，y )＝0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合F (x ，y )＝0，有些不适合F (x ，y )＝0多维探究√解析 “不在曲线C 上的点的坐标必不适合F (x ，y )＝0”是“坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的逆否命题.所以C 正确.反思感悟 解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1 设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是A.坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0C.坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上√D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0解析 “坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B 显然错.命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.反思感悟 解决此类问题要从两方面入手(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).题型二 曲线与方程关系的应用例3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.引申探究本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围.解 结合点与圆的位置关系，得a2＋(2－1)2>10，即a2>9，解得a<－3或a>3，故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞).反思感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIGUANXIANGXIANG由方程判断曲线√即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.素养评析 (1)由具体的方程判断曲线的步骤(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养.3达标检测PART THREE1.方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为√A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线A.关于x轴对称B.关于y轴对称√C.关于原点对称D.关于直线x－y＝0对称解析 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.两条相交直线3.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为______________.解析 原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.41 4.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B ，则a＝____，b＝____.5.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________.∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点.4个点课堂小结KETANGXIAOJIE1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案
第八节 曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点 曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二 定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8， 又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三 代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切． 当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ， 即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切． 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】 已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组 考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
【金榜教程】高考数学总复习 第8章 第8讲曲线与方程配套课件 理 新人教A
例2 [2013·西安调研]已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12， 2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方 程．
[审题视点] 由于椭圆过A，B两点，且以C、F为焦点，所 以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．
[解] 设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长 半轴长)． ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA| ＝ 122＋92－ 122＋－52＝2.
当 x＝1 时，直线 MB 的斜率不存在． 于是 x≠1 且 x≠－1， 此时，MA 的斜率为x＋y 1，MB 的斜率为x－y 1， 由题意，有x＋y 1·x－y 1＝4，化简可得，4x2－y2－4＝0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠1 且 x≠ －1)．
奇思妙想：平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的 斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的 曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的
限时规范特训
15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
专题01 曲线和方程(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题
专题01 曲线与方程解答数学题的“思维导图”：逛公园顺道看景，好风光驻足留影.把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。
中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。
专题1 曲线的方程本专题思维导图 一个问题两方面几何直观是曲线代数运算很精准读题画图思路现还有不少试题作为第（1）题要求曲线的方程，或者在知道曲线类型的情况下，求其他基本量（a 、b 、c 、e 、p ）或其他特定的量.解题过程中要注意基本量思想的运用，即根据条件设出几个变量（基本量），相应地就要根据条件列出几个方程，解出相关变量，达到解题目的.曲线形象直观，方程精准深刻，二者从不同的角度、以不同的形式反映同一个问题。
因此解题过程需要画出图形以利思考。
思路点拨如图所示，过点A 作渐近线的垂线AP ，由∠MAN =60°可得∠P AN =30°,因为OA a =，AN AM b ==，所以3AP b =，222234OP OA PA a b =-=-，2232tan 34b AP OP a b θ==-.又tan b a θ=，所以223234bb a a b=-，解得223a b =，所以22123113b e a =+=+=.思路点拨根据抛物线定义，||||=4222A B p p pAF BF y y ++++=⨯，所以A B y y p +=. 因为2222212x y a b x py ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，， 所以2222220a y pb y a b -+=，所以222A B pb y y p a +==，2a b =，所以渐近线方程为22y x =±.例1 已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 例2在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞ 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =＞交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .思路点拨以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离222ab d a a b ==+，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，63c e a ==，故选A.思路点拨（1）由椭圆的离心率为22可得，又圆C '的半径为2，，解出a ，b ．（2）若M ，N 为上下或左右顶点，则直线PM ，PN 与圆C '相切。
高二数学曲线和方程通用版知识精讲
高二数学曲线和方程通用版【本讲主要内容】曲线和方程曲线的方程、方程的曲线的概念，求解曲线方程的一般步骤。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 曲线的方程、方程的曲线的概念：一般地，在直角坐标系中如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f （x ，y ）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。
2. 坐标法、解析几何的概念：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科。
解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科。
解析几何研究的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
3. 求解曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x ，y ）表示曲线上任意一点 的坐标；（2）写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|P(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)＝0； （4）化方程f(x,y)＝0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；证明。
【解题方法指导】例1. 如果曲线C 上的点满足方程F （x ，y ）＝0，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C 的方程是F （x ，y ）＝0 B. 方程F （x ，y ）＝0的曲线是CC. 坐标满足方程F （x ，y ）＝0的点在曲线C 上D. 坐标不满足方程F （x ，y ）＝0的点不在曲线C 上 分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程的曲线。
参数方程知识点精修订
参数方程知识点GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-参数方程知识点梳理和题型归纳【题型1：参数方程的定义】【例1】与参数方程()R t t ty tx ∈⎩⎨⎧-==,1为参数表示同一曲线的方程是（ ）A 、()R t t t y t x ∈⎩⎨⎧=-=,1为参数B 、()R t t ty tx ∈⎪⎩⎪⎨⎧-==,122为参数C 、()R t t y x ∈⎩⎨⎧-==,sin 1sin 为参数θθD 、()R t t t y t x ∈⎩⎨⎧==,sin 2cos 2为参数 变式：参数方程()πθθθ20sin 2cos 2<≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x 与⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎩⎪⎨⎧==20sin 2cos 2πθθθy x 是否表示同一曲线？【例2】曲线()为参数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=3412与x 轴焦点的坐标是（ ） A 、()4,1 B 、⎪⎭⎫⎝⎛0,1625 C 、()3,1- D 、⎪⎭⎫⎝⎛±0,1625 变式：在曲线()为参数t t t y tt x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=231342上的点是（ ） A 、()2,0 B 、()6,1- C 、()2,1 D 、()4,3【题型2：求曲线的参数方程和轨迹方程】【例1】根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的普通方程和参数方程：（1）在x 轴上方的半圆（不包括x 轴上的点）；（2）在第三象限内的圆弧；变式1：一木棒AB 的两端B A 、各在相互垂直的两固定杆上滑动，且cm AB 8=，求AB 的中点P 的轨迹；变式2：已知圆C 的方程为()1222=+-y x ，过点()0,11P 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点2P ，求21P P 的中点M 的轨迹方程；变式2：如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，|AB|=|BC|=4，顶点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴（包括坐标原点）上移动，求顶点C 的轨迹的参数方程（A 、B 、C 按逆时针方向排列）【类型3：参数方程与普通方程的互化】【例1】分别根据下列条件，将曲线的参数方程⎩⎨⎧-=+=ty tx 221化为普通方程：（1）R t ∈；（2）11≤≤-t ；变式1：参数方程()23343<≤-⎩⎨⎧+=+=t ty t x 化为普遍方程是_________________；变式2：分别根据下列条件，将曲线的参数方程⎩⎨⎧+=⋅=θθθθsin cos sin cos y x 化为普通方程：（2）R ∈θ；（2）434πθπ≤≤； 【例2】将下列曲线的参数方程化为普通方程：（1） ()R y x ∈⎪⎩⎪⎨⎧==θθθ22sin cos ； （2）()R y t x ∈⎩⎨⎧==θθθsin 3cos变式1：作下列参数方程所表示的图形：（1）()0121≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t y t x ； （2）()R t t y t x ∈⎩⎨⎧=+=2cos sin 1 变式2：参数方程[]()πϕϕϕ,0cos 2sin 21∈⎩⎨⎧=-=y x 所表示的曲线普通方程为________________；变式3：参数方程()()为参数t ee y ee x tt tt ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--2的普通方程为_________________； 变式4：参数方程()()()为参数θθθθθθθ⎩⎨⎧+=+=cos sin sin cos sin cos y x 表示什么曲线？【例3】倾斜角为150°，且经过点()2,1-的直线的参数方程为________________；变式练习：1、若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧︒--=︒+=78cos 178sin 2t y t x ，则直线l 的倾斜角为_______；普通方程为__________；2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 232211上到点()2,1-P 的距离等于2的点的坐标为_________________；3、椭圆()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin 5cos 3y x 的两个焦点的坐标为______________；4、椭圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 32cos 41y x 的长轴上两个顶点的坐标是___________________；5、若t 是参数，则直线⎩⎨⎧+=-=11:1bt y at x l 和直线⎩⎨⎧+-=-=11:2at y bt x l 的位置关系是_________________；6、圆⎩⎨⎧=-=θθsin 1cos y x 的圆心的坐标是_____________，半径是_______________；7、直线l 的参数方程()为参数t t b y ta x ⎩⎨⎧+=+=,l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与()b a P ,之间的距离为_______；【例4】参数方程()为参数t y t t x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=21表示的曲线是（ ）A 、一条直线B 、两条直线C 、一条射线D 、两条射线变式1：参数方程()为参数t ty t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=211表示的曲线是（ ） B 、一条直线 B 、一个半圆 C 、一条射线D 、一个圆变式2：参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 表示的曲线是（ ）C 、直线 B 、线段 C 、两条射线D 、圆【类型4：参数方程求最值问题】【例1】已知点()y x A ,在圆422=+y x C ：上运动，求y x +的最大值；变式：在圆0222=-+x y x 上求一点P ，使点P 到直线01=++y x 的距离最大；【例2】已知()y x P ,是椭圆1162522=+y x 上的一个动点，求y x 4354+的最大值；变式1：已知椭圆14922=+y x ，直线0182=++y x ，试在椭圆上求一点P ，使点P 到这条直线的距离最短；变式2：已知B A 、为椭圆()012222>>=+b a by a x 上的两点，且OB OA ⊥，求△AOB的面积的最大值和最小值；【类型5：参数方程的综合应用】【例1】已知直线l 的参数方程是()R t ty t x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=532543，求过点()1,4-且与l 平行的直线m 在y 轴上的截距；【例2】已知直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ⎩⎨⎧-=-=42，圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin 4cos 4y x ； （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围；【例3】曲线C 的方程为()为参数t p pty pt x ,0222>⎩⎨⎧==，当[]2,1-∈t 时，曲线C 的端点为B A ，,设F 是曲线C 的焦点，且14=AFB S △，求p 的值；【例4】已知过点()2,1-P ，倾斜角为6π的直线l 和抛物线m y x +=2， （1）当m 取何值时，直线l 和抛物线交于两点？（2）（3）当m 取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为3234- （4）【例5】已知点()y x P ,是圆y y x 222=+上的动点；（1）求y x +2的取值范围；（2）若0≥++a y x 恒成立，求实数a 的取值范围；【例6】圆M 的方程为()003sin 4cos 4222>=+--+R R Ry Rx y x θθ，（1）求该圆圆心M 的坐标及圆M 的半径；（2）当R 固定、θ变化时，求圆心M 的轨迹方程，并求与圆M 内切和外切的圆的方程；。
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曲线和方程时
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
课题：求曲线的方程（第一课时）
教学目标：
（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．
（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．
（3）初步掌握求曲线方程的方法．
（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．
教学重点、难点：求曲线的方程．
教学用具：计算机．
教学方法：启发引导法，讨论法．
教学过程：
【引入】
1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．
学生思考并回答．教师强调．
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．
对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．
（2）通过方程，研究平面曲线的性质．
事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．
【问题】
如何根据已知条件，求出曲线的方程．
【实例分析】
例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．
首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．
解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），
由斜率关系可求得l的斜率为
于是有
即l的方程为
①
分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗或者说①就是直线的方程根据是什么，有证明吗
（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．
证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．
设是线段的垂直平分线上任意一点，则
即
将上式两边平方，整理得
这说明点的坐标是方程的解．
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
设点的坐标是方程①的任意一解，则
到、的距离分别为
所以，即点在直线上．
综合（1）、（2），①是所求直线的方程．
至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子
，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：
解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合
由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为
将上式两边平方，整理得
果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．
这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．
让我们用这个方法试解如下问题：
例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．
分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．
求解过程略．
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：
首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；
（2）写出适合条件的点的集合
；
（3）用坐标表示条件，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．
上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．
下面再看一个问题：
例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合
由距离公式，点适合的条件可表示为
①
将①式移项后再两边平方，得
化简得
由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是
这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．
【练习巩固】
题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、
、，且有，求点轨迹方程．
分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．
根据条件，代入坐标可得
化简得
①
由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为
?
【小结】师生共同总结：
（1）解析几何研究研究问题的方法是什么
（2）如何求曲线的方程
（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么【作业】课本第72页练习1，2，3；
【板书设计】。