傅里叶级数-变换

（2）正交函数集 在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
t2
t1 i
(t)j
(t)dt
0, ki 0,
i j i j
k i 为常数，则称函数集 1(t)....n.(t.)..为. 区间
[t1, t2 ]内的正交函数集。
（3）完备正交函数集
t
如果分解的项数越多则误差愈小。即 n，均
方误差 2 0 ，即 f (t ) 在区间 (t1 , t2)内分解为无穷多项
之和。
4.2 傅里叶级数
将周期信号 f(t)f(tm)T在区间t0,t0T内展开成完
备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形 傅
f(t)A 2 0 A 1co t s1 () A 2co 2 ts (2 ) .....
T
f(t)a20a1co st()a2co2s(t)......
b1sint()b2sin2 (t).....
a 2 0n 1ancon st)(n 1bnsin n t()
其中
an
,
bn 称为傅里叶系数，
2
T
。
那么,傅里叶系数如何求得呢?
Ci
t2 t1
f(t)i(t)d
t2
任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数积分。 sin t,co ω s,ejt t
具有一定幅度和相位，角频率为的虚指数函数 Fej t
作用于LTI连续系统时，所引起的响应(零状态响应)是同 频率的虚指数函数，可表示为：
Yjte H j Fjte
系统的影响表现为频率响应函数 Hj ，它是信号角
内是完备的正交函数集。
e t0T jmt(ejnt)dt e dt t0T j(mn)t
t0
t0
其中 T
2
。
0 , mn T , mn
二、信号分解为正交函数
设有n个函数 1(t),2(t),.., .n.(t)在区间 (t1 , t2) 构成
一个正交函数空间。将任一函数 f (t)用这 n个正交函数的
在区间 (t0,t0T)
内组成完备正交函数集。
T
2
对于复函数:
若复函数集 i(t)(i 1 ,2 ,..n .).在.区,间 (t1 , t2) 满足
tt12i(t)j(t)d t 0ki 0
ij ij
，则称此复函数集为正 交函数集。
复函数集 {e jnt } (n0,1,2,..).在. 区间 (t0 , t0T)
线性组合来近似，可表示为：
n
f(t) C 11 (t) C 22 (t) .. .C .n.n (.t)C j j(t)
j 1
根据最小均方误差原则，可推出：
Ci
t2 t1
f(t)i(t)d
t2
t1
i2(t)dt
t1
Ki
t2 t1
f(t)i(t)d
t
式中： Ki
t2
t1 i
2(t)d
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
一、正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2(t) 若满足条件 tt121(t)2(t)dt0
则函数 1(t)与 2(t)为在区间 [t1, t2 ] 的正交函数。
an
T
bn
2 T
T
2 T
2
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt f(t)sinn(t)dt
, ,
n0, 1, 2,...... n1, 2,.....
n 由上式可见，a n是 的偶函数 ，an an n b n 是 的奇函数，bn bn
由于 con st和 sin n t是同频率项,因此可将其合并
t1
i2(t)dt
t1
Ki
t2 t1
f(t)i(t)d
t
式中： Ki
t2
t1 i
2(t)dt
a0 1
2T
T
2 T
f (t)dt
2
2
an
T
bn
2 T
T
2 T
2
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt f(t)sinn(t)dt
, ,
n0, 1, 2,...... n1, 2,.....
2
频率的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变 量为，故称之为频域分析。
Y j H j F j
4.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
x
它们组成一个二维正交矢量集。
如果在正交函数集 1(t)....n.(t.)..之.外不存在函数
(t)
满足等式
t2
t1 i
(t)(t)dt0
i1,2,....n...,
，则称该函数集为完备正交函数集。
1 , c t , c o 2 t , . o , c s . m t . ) , s o . , s . t , s . i t , n i ( s ( . n n t ) . i .
里叶级数”，统称为傅里叶级数。
1,co ts,co 2 ts,..,.co m st)(,...
si n t,si n t,2 ..,.s(in n t),.. .
{e jnt } (n0,1,2,..)..
一、周期信号的分解
设有一个周期信号 f (t ) ，它的周期是 T ，角频率
2F 2 ，它可分解为：
在第二章中我们以 t 为基本信号将任意信号进行分解
yf ftt fftt h tt f f th t d d
其中h(t)反映了系统的特性。
本章以正弦函数或 e j t (பைடு நூலகம்指数函数) 为基本信号
任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或
虚指数函数之和。sin nt ,const ,ejnt n0,1,2
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
本章主要内容:
4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI连续系统的频域分析 4.8 取样定理
变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和 或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对 给定信号的响应（零状态响应）。