基于点云数据的NURBS曲面重建研究_赵继俊

i= 0 j= 0
式中 V i, j —— 控制顶点 W i, j ——权因子
B i, k( u) 、Bj , l( w ) —— 沿 u 向的 k 次和沿 w 向
的 l 次 B 样条基函数
u 向和 w 向的节点矢量分别为
U= [ 0= u0 = u1= …= uk , uk+ 1 , …,
ur- k- 1 , ur - k= ur- k+ 1 = …= ur = 1]
( 5)
V i+ 2
V i+ 3
式中, ui+ 3 为起始点的参数值, i ∈[ 0, m- 4] , 通 过该式可获得 m- 3 个分段曲线的起始点。不妨设 这些起始点与前 m - 3 个型值点重合, 由于采用了 重节点技术, 末端型值点与控制点重合, 则 P 0= V 0; P m- 3 = V m- 1, 令 n= m- 2, 则可得到关于 V j 的一个 方程组
出式( 8) 就得到了控制顶点。
难度和花费时间大大降低。
但是, 对于非均匀 B 样条, 节点矢量 Ut 是未知
的, 在本文中采用累积弦长法来计算该矢量
n- 1
∑ S=
Pi Pi+ 1
( 9)
i= 1
t0= t1 = t2 = t3 = 0
t4= P1 P2 / S
ts= ( P 1P 2+ P 2P 3 ) / S
P0= V 0 P i= [ B i( ui+ 3) B i+ 1 ( u i+ 3) B i+ 2( ui+ 3) Bi+ 3( ui+ 3) ] · [ V i V i+ 1 V i+ 2 V i+ 3] T ( i∈[ 1, m- 4] )
P n- 1= V m- 1
( 6) 方程组( 6) 有 m 个未知数 V j , 而方程的个数是 m - 2 个, 还缺少 2 个条件。因此, 需补充 2 个端点条 件。当取首、末端切矢为端点条件时, 根据给定的型 值点计算控制顶点的方程组[ 5] 为
k+ 1
k+ 1
亦即节点矢量两端各有 k + 1 个相同的节点, 以
便使曲线通过控制多边形首、末端点并与首、末两边
相切。
NURBS 曲面定义为
nm
∑∑Bi, k ( u) B j, l ( w ) W i, j V i, j
P( u, w) =
i= 0 j = 0 nm
( 3)
∑∑Bi, k( u) Bj , l( w ) W i,j
u1 , …, um]
节点 数 为 ( m + 1) , 幂 次为 k, 控 制 顶 点数 为
( n+ 1) 时, m、k 和 n 三者之间关系为 m = n+ k+ 1。
对于非周期的 B 样条, 节点矢量为
U= 0, 0, …, 0, uk+ 1, …, um- k- 1 , 1, 1, …, 1
图 1 逆向工程流程图 Fig. 1 F lo w char t o f rev erse engineer ing
在 RE 的实际工程应用中, 希望得到的曲面能
收稿日期: 2005- 10- 31 * 哈尔滨工业大学( 威海) 基金资助项目( 项目编号: IM JQ 100000010) 赵继俊 哈尔滨工业大学( 威海) 汽车工程学院 教授 博士, 264209 山东省威海市 余成亮 哈尔滨工业大学( 威海) 汽车工程学院 硕士生
Key words Non-unif orm rational B-spline, Surf ace reconst ruct ion, Accumulat ing chor d leng t h
引言
逆向工程( reverse eng ineering , 简称 RE ) [ 1] 起 源于精密测量和质量检验, 是设计下游向设计上游 反馈信息的回路。RE 是将实物转变为 CAD 模型相 关的数字化技术、几何模型重建技术和产品制造技 术的总称, 是将已有产品或实物模型转化为工程设 计模型和概念模型, 在此基础上对已有产品进行解 剖、深化和再创造的过程。
W= [ 0= w 0= w 1= …= w l , w l+ 1 , …,
( 4)
w s- l- 1 , w s- l = w s- l+ 1 = …= w s= 1]
式中沿 u 向和 w 向节点矢量的节点数分别为
( r+ 1) 和( s+ 1) , 其中 r = n+ k+ 1, s= m + l + 1。
1 NURBS 曲面插值研究
曲面重建一直是逆向工程的难点之一, 由于均 匀基 B 样条的特点是节点等距分布, 由各节点集形 成的 B 样条相同, 故可看作同一 B 样条的简单平 移, 一般情况下, 应用均匀 B 样条方法可获得满意 的结果, 而且计算效率高。但均匀 B 样条曲线存在
如下问题: ¹ 不能贴切地反映控制顶点的分布特点。 º 当型值点分布不均匀时, 难以获得理想的插值曲 线。对 于这两种 情况, 可 借助非均 匀 B 样条曲 线 ( no n-unif orm B-spline curve ) [ 2] 以 取 得 良 好 的 效 果。RE 具体流程如图 1 所示。
2 NURBS 曲线曲面的定义
NURBS 曲线 为一分 段的矢 值有理 多项 式函 数, 其表达式[ 3～4] 为
n
∑Bi, k( u) W iV i
P ( u) =
i= 0 n
( 1)
∑Bi, k( u) W i
i= 0
式中 V i ——控制顶点 W i ——权因子
B i, k( u) ——k 次 B 样条基函数
Abstract
T he NURBS surf ace reconstr uction f rom point cloud data is a key t echno logy of rev erse engineering . A met ho d of surf ace reconst ruct f rom point dat a w as present ed. Wit h non-unif orm dat a po int s, a r everse algo rithm fo r non-unif orm B-spline co nt rol point and a m et hod of accumulating chord lengt h w ere put f or ward t o creat e non-unif orm knot s vect or and g uarantee t he pr ecision of t he surface and qualit y of t he surface reconst ruct ion.
0
Bm- 2 ( um- 1 ) 3
V1
P0 + 3P 0
V2
P1
V3
P2
=

V m- 4
P n- 3
V m- 3
P n- 2
V m- 2
3P n- 1- P n- 1
式( 7) 可求得 V 1, V 2 , …, V n- 2, 因己知 V 0 = P 0, V n- 1 = P n- 1, 从而可求得全部顶点。
关键词: 非均匀有理 B 样条 曲面重建 累积弦长
中图分类号: T P 391
文献标识码: A
Research on NURBS Surface Reconstruction from Point Cloud Data
Zhao Jijun Yu Chengliang ( H ar bin I nstit ute of T echnology , W eihai )
-3
Bm- 2 ( um- 1 ) 0
V1
6P0
V2
P1
wk.baidu.com
V3
P2
= ( 8)
V m- 4
P n- 3
V m- 3
P n- 2
V m- 2
P n- 1
其首端顶点 V 0 = P 0, 末端顶点 V m- 1 = P n- 1 , 解 明, 用 N U RBS 重建的曲面模型整体性能好, 且重构
的曲面插值于边界上的某一条等参数线, 即曲面的 左边界插值于 u= 0 这条等参数线, 右边界的插值于 u= 1 这条等参数线。如果 S 1 的等参数线 l 1( u= 1) 与 S2 的等参数线 l2 ( u = 0) 重合, 则曲面 S 1 的右边 界与 S 2 的左边界重合, 保证两曲面片 G0 连续拼接, 使 l 1 上沿 u 方向切矢与 l2 上沿 u 方向切矢相等, 则 可保证两曲面片 G1 连续拼接[ 6] 。
基函由递推公式定义为
1 ( ui ≤u≤ui+ 1 ) B i, 0( u) = 0 ( 其他)
B i, k( u) =
u ui+
-u k-
i
ui
B
i
,
k-
1(
u)
+
( 2)
ui+ k+ 1- u ui+ k+ 1- ui+
Bi+
1
1, k-
1(
u)
(
k≥1)
0 0
=
0
式中 k —— 幂次
ui ——节点, 由其形 成节点矢量 U, U= [ u0,
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农 业 机 械 学 报
2 0 0 7 年
精确通过测量型值点, 因此必须采用 NURBS 插值 曲面。但是由于测量点分布的不均匀性, 如果在控制 点反算中采用均匀 B 样条基, 将无法得到理想的四 边域控制多边形, 甚至可能出现异常现象。本文针对 实际工程应用, 给出了非均匀 B 样条控制点反算方 法: 首先根据型值点的分布趋势构造非均匀节点矢 量, 然后构造非均匀 B 样条基, 再以此建立控制点 反算方程组, 求解控制点列。通过对比发现, 在非均 匀型值点的控制点反算中, 该算法具有明显的优越 性, 它保证了曲线插值的精度。
第 4 期
赵继俊 等: 基于点云数据的 N U RBS 曲面重建研究
1 65
3 B1 ( u4)
0 B2( u4 ) B2( u5 )
B 3( u4 ) B 3( u5 )
w
B4 ( u5) w w
w B m- 5 ( um- 2 )
Bm- 4( um- 2 ) Bm- 4( um- 1 )
Bm- 3( um- 2) Bm- 3( um- 1)
3 非均匀 B 样条曲线控制点反算
逆向工程的应用需要较高的精度要求, 使得构 造的曲面不仅通过测量得到的型值点, 而且要求最 大限度地减小误差。
由于测量得到的是有较大变化的非 均匀数据 点, 针对非均匀数据点, 使用了累积弦长法进行曲线 的参数化。
首先假设有 n 个型值点 P i( i = 0, 1, …, n- 1) , 节点矢量为 Ut( t= 0, 1, …, n+ 3) 。为使曲面具有端 点 插 值 特 性, 规 定: Ut ( t = 0, 1, …, n - 1) = 0, Ut( t= n, n+ 1, n+ 2, n+ 3) = 1。控制点为 V j ( j = 0, 1, …, m- 1) 。
( 7) 当两端取自由端条件时, 根据给定的型值点计 算控制顶点的方程组为
9 B1 ( u4)
-3 B2 ( u4) B2 ( u5)
B 3( u4 ) B 3( u5 )
w
B4 ( u5) w w
w Bm- 5 ( um- 2 )
Bm- 4( um- 2) Bm- 4( um- 1)
B m- 3 ( um- 2) B m- 3 ( um- 1)
20 07年4 月
农业机械学报
第 38 卷 第 4 期
基于点云数据的 NURBS 曲面重建研究*
赵继俊 余成亮
【摘要】 提出一种基于点云 数据的 N U RBS 曲面重 建方法, 针 对数据点的分布不 均匀性, 进行 非均匀 B 样条
曲线控制点的反算, 通过累积弦长法构造非均匀节点矢量, 保证了曲面的插值精度和曲面重建的质量。

( 10)
tn+ 1= ( P 1P 2+ …+ P n- 2P n- 1) / S
tn+ 2= tn+ 3= tn+ 4 = tn+ 5 = 1
式( 9) ～( 10) 中, ti 为节点; Pi 为型值点; S 为 型值点所构成的折线的总长。
利用该式可以求出与型值点分布规律一致的节
点矢量, 保证重建曲线获得较高质量。 因为 N U RBS 采用重节点技术[ 3] , 使得反算出
B 样条表达式是一个分段的矢函数, 并且由于 B 样条的局部支撑性, 一段三次 B 样条曲线只受 4 个控制点的影响, 一段 B 样条曲线的一个起始点表 示为
Pi ( ui+ 3 ) = B i( ui+ 3) Bi+ 1 ( ui+ 3 )
Vi
V i+ 1
B i+ 2( ui+ 3) Bi+ 3 ( ui+ 3 )