高一数学必修五基本不等式PPT 课件
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当 x＝4x，即 x＝2 时，ymin＝1 760 元． 故当池底长为 2 米时，这个水池的造价最低，最低造价 为 1 760 元．
1－5的最大值．
（2）、已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
解：(1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x1－5＝－ 5－4x ＋5－14x ＋3≤－2＋3＝1．
当且仅当 5－4x＝5－14x时，即 x＝1 时，上式等号成立， 故 x＝1 时，ymax＝1．
1＋1＋1 abc
＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc
＝3＋
b＋a ab
＋
c＋b bc
＋
c＋a ac
≥3＋2＋2＋2＝9，
∵a，b，c 不全相等，∴“＝”不成立．即1＋1＋1>9． abc
新坐标73页例1
2、（1）、已知
x<54，求函数
y＝4x－2＋ 4x
解 2若 x0， y0且 x•y9,则 xy的最小 6 ， 值
此x时 y3 .
解 ： Qx0， y0xy2 x•y6
当且仅x当y3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。P
利用 ab2 ab
3、基本不等式求最值的条件的探究：
变式判：断以下命题是否正确
(1)因为 yx42 x
解 ： Qx0,y0
2xy2xy281
2
xy
81 2
当且仅 2x当 y即x9,y9时取等号。 2
基本不等式的应用
新坐标71页例2
1：已知 a、b、c 为正数，a＋b＋c＝1， 且不全相等，求证：1a＋1b＋1c>9．
解： ∵a，b，c 为正数，
∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)
3、已知 x>0，y>0，且 xy＝4x＋y＋12，求 xy 的最小值．
解：∵x>0，y>0，xy＝4x＋y＋12≥4 xy＋12， ∴( xy)2－4 xy－12≥0， ∴( xy－6)( xy＋2)≥0， ∴ xy≥6，当且仅当 4x＝y 时取等号． 由 4x＝y 且 xy＝4x＋y＋12，得 x＝3，y＝12． 此时 xy 有最小值 36．
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
和
最
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
小
例 2、若x,正 y满数 x足 y1,8 求 x的 y 最大
2
示
本
当且仅当a=b时，等号成立。
质
剖析公式应用
深
入 探
ab ab 2
究
均值不等式
揭
算术平均数 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为:
本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
质 数.
注意：（1）不等式使用的条件不同；
（2）当且仅当a=b时取等号；
2、两个不等式的推论：
重 要 不 等 式 ： a2b22ab (a,bR)
sixn 所以函数的6.最小值是
错。因 sinx为 9
sinx
三相等
应用基本不等式求最值的条件：
一正
Biblioteka Baidu
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
新坐标75页第四题
4、建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池， 若池底每平方米 120 元，池壁的造价为每平方米 80 元， 这个水池的最低造价为多少元？
x 2
【解】 设水池的总造价为 y 元，池底长为 x 米，则宽 为4x米，由题意可得：
y ＝ 4×120 ＋ 2 2x＋8x ·80 ＝ 480 ＋ 320·x＋4x ≥480 ＋ 320·2 x·4x＝480＋320·2 4＝1 760．
x•4 x
4,所以 ymin4.
错 。 因 为 x和 1 x不 一 定 是 正 数
一正
( 2 ) 设 x R ,则 y x 2 8 x 中 ,当 x 2 8 x ,x 2 时 ,y m 8 i;n
错。因x2为 •8不是定 值
x
二定
3若0x,则ysixn 9 2 96,
解 法 一 ： Q x0,y0
xy2x即 y2xy18
xy81
当且仅x当y9时取等号。
解 法 二 ： Q x0,y0
xyxy2 2
81
公式变形：ab
a
2
b
2
当且仅x当y9时取等号。
例 2 、 若 正 数 x , y 满 足 2 x y 1 8 , 求 x y 的 最 大 值 。
(2)(“1”的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)
1＋9 xy
＝10＋y＋9x． xy
∵x>0，y>0，∴xy＋9yx≥2 yx·9yx＝6．
当且仅当y＝9x，即 y＝3x，取“＝”． xy
又∵1＋9＝1，∴x＝4，y＝12．∴当 xy
x＝4，y＝12
时，(x＋y)min＝16．
新坐标74页例2
基 本 不 等 式 ： abab (a0,b0) 2
1、aba2b2
a2b2
2
2、1
2
1
ab
ab ab 2
a2 b2 ,
2
(a,bR，当且仅当a b时取“=”）
例 题
例1、(1)当x>0时，x 1 x
2 ，当且仅当
讲 x= 1 时取等号。
3.4基本不等式:
ab a b 2
一 、
D
基
a2 b2
本 不
b
G aF
C
等 式
A
HE
A
的
探
究
B
D
a
Ob
C
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
深思
入考
探 用a和ba0,b0代a替 ,b会得到
究
揭
基本不等式：ab aba0,b0
1－5的最大值．
（2）、已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
解：(1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x1－5＝－ 5－4x ＋5－14x ＋3≤－2＋3＝1．
当且仅当 5－4x＝5－14x时，即 x＝1 时，上式等号成立， 故 x＝1 时，ymax＝1．
1＋1＋1 abc
＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc
＝3＋
b＋a ab
＋
c＋b bc
＋
c＋a ac
≥3＋2＋2＋2＝9，
∵a，b，c 不全相等，∴“＝”不成立．即1＋1＋1>9． abc
新坐标73页例1
2、（1）、已知
x<54，求函数
y＝4x－2＋ 4x
解 2若 x0， y0且 x•y9,则 xy的最小 6 ， 值
此x时 y3 .
解 ： Qx0， y0xy2 x•y6
当且仅x当y3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。P
利用 ab2 ab
3、基本不等式求最值的条件的探究：
变式判：断以下命题是否正确
(1)因为 yx42 x
解 ： Qx0,y0
2xy2xy281
2
xy
81 2
当且仅 2x当 y即x9,y9时取等号。 2
基本不等式的应用
新坐标71页例2
1：已知 a、b、c 为正数，a＋b＋c＝1， 且不全相等，求证：1a＋1b＋1c>9．
解： ∵a，b，c 为正数，
∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)
3、已知 x>0，y>0，且 xy＝4x＋y＋12，求 xy 的最小值．
解：∵x>0，y>0，xy＝4x＋y＋12≥4 xy＋12， ∴( xy)2－4 xy－12≥0， ∴( xy－6)( xy＋2)≥0， ∴ xy≥6，当且仅当 4x＝y 时取等号． 由 4x＝y 且 xy＝4x＋y＋12，得 x＝3，y＝12． 此时 xy 有最小值 36．
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
和
最
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
小
例 2、若x,正 y满数 x足 y1,8 求 x的 y 最大
2
示
本
当且仅当a=b时，等号成立。
质
剖析公式应用
深
入 探
ab ab 2
究
均值不等式
揭
算术平均数 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为:
本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
质 数.
注意：（1）不等式使用的条件不同；
（2）当且仅当a=b时取等号；
2、两个不等式的推论：
重 要 不 等 式 ： a2b22ab (a,bR)
sixn 所以函数的6.最小值是
错。因 sinx为 9
sinx
三相等
应用基本不等式求最值的条件：
一正
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二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
新坐标75页第四题
4、建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池， 若池底每平方米 120 元，池壁的造价为每平方米 80 元， 这个水池的最低造价为多少元？
x 2
【解】 设水池的总造价为 y 元，池底长为 x 米，则宽 为4x米，由题意可得：
y ＝ 4×120 ＋ 2 2x＋8x ·80 ＝ 480 ＋ 320·x＋4x ≥480 ＋ 320·2 x·4x＝480＋320·2 4＝1 760．
x•4 x
4,所以 ymin4.
错 。 因 为 x和 1 x不 一 定 是 正 数
一正
( 2 ) 设 x R ,则 y x 2 8 x 中 ,当 x 2 8 x ,x 2 时 ,y m 8 i;n
错。因x2为 •8不是定 值
x
二定
3若0x,则ysixn 9 2 96,
解 法 一 ： Q x0,y0
xy2x即 y2xy18
xy81
当且仅x当y9时取等号。
解 法 二 ： Q x0,y0
xyxy2 2
81
公式变形：ab
a
2
b
2
当且仅x当y9时取等号。
例 2 、 若 正 数 x , y 满 足 2 x y 1 8 , 求 x y 的 最 大 值 。
(2)(“1”的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)
1＋9 xy
＝10＋y＋9x． xy
∵x>0，y>0，∴xy＋9yx≥2 yx·9yx＝6．
当且仅当y＝9x，即 y＝3x，取“＝”． xy
又∵1＋9＝1，∴x＝4，y＝12．∴当 xy
x＝4，y＝12
时，(x＋y)min＝16．
新坐标74页例2
基 本 不 等 式 ： abab (a0,b0) 2
1、aba2b2
a2b2
2
2、1
2
1
ab
ab ab 2
a2 b2 ,
2
(a,bR，当且仅当a b时取“=”）
例 题
例1、(1)当x>0时，x 1 x
2 ，当且仅当
讲 x= 1 时取等号。
3.4基本不等式:
ab a b 2
一 、
D
基
a2 b2
本 不
b
G aF
C
等 式
A
HE
A
的
探
究
B
D
a
Ob
C
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
深思
入考
探 用a和ba0,b0代a替 ,b会得到
究
揭
基本不等式：ab aba0,b0