第3讲 动态信号特征分析2_随机信号特征
合集下载
第三章 随机信号的描述
一、概率分布函数 1. 一维概率分布函数 对于一个随机变量,用来表示它的概率分布函数，则有： Px ( x1 , n) = 概率[ x n ≤ x1 ] (3-1) 如果的取值是离散的，则用来表示概率密度函数： p x ( x1 , n) = 概率[ x n = x1 ] (3-2) 表示取某一值的概率。例如前面抛掷硬币的例子，只有两 种可能的值：－1和＋1，如果＝＋1的概率为p，则＝－1 1 1 1 p 1 的概率为（1－p）。两者之间的关系为： P ( x , n) = ∫ p ( x, n)dx (3-3) 图3-2表示了这个随机变量的概率分布函数及概率密度函 数。
第三章 随机信号的描述
（Random Signal Representation）
信号可分为确定性信号和随机信号。在数字 信号处理中，随机信号的处理有重要的意义，因 为随机信号的普遍存在的，如信号的任何实际测 量都会带来随机干扰。在很多实际应用领域，消 除随机信号的干扰，提取被掩埋于其中的确定成 分是根本的任务。还因为随机信号处理技术在信 号处理领域作为一种强有力的工具使用。在实际 应用中要区别的是随机性与非线性，随机信号与 非线性信号。应该注意的是，在信号处理中作为 一种工具使用的伪随机数或伪随机信号，是由计 算机用非线性算法产生的非线性信号，“伪”的 真实意义即在于此(貌似随机实为确定)。
二、统计特征量 1.数学期望（均值） 数学期望（ 数学期望 均值） 随机变量的均值用表示定义为： m = E[x ] = ∫ xp ( x ) dx (3-7) 如果是电压或者电流，均值可理解为第n点上电压或电流的“直流分量”。 2.均方值 均方值 随机变量的均方值定义为： E [ x ] = ∫ x p ( x ) dx (3-8) 如果是电压或者电流，均方值可理解为在第n点上电压或电流在1欧姆电阻上 的“平均功率”。 3.方差 方差 随机变量的方差定义为： 2 σ xn = E[( x n m xn ) 2 ] (3-9) 如果是电压或者电流，方差可以理解为电压或者电流的起伏分量在1欧姆电阻 上消耗的平均功率。 利用（3－6）容易得到方差、均值、均方值的关系： (3-10) σ xn 2 = E[ x n 2 ] m xn 2 以上三个特征量仅与一维概率密度有关。对于平稳随机过程，方差、均值、 均方值都是与时间无关的常熟，可以将时间坐标省去，今后将用和来表示均 值与方差。
随机信号
其中，分布函数和概率密度函数提供了 足够的信息，来给出所有可能出现的时间的 概率，因而是对随机过程进行描述的最强的 特征，被称为“全局特征”。
均值、方差、相关函数等特征，包含的 关于随机过程的信息比累积分布函数要少， 是比较弱的特征，因而被称为“局部特征”。
3.1.1 全局特征
任意维累积分布函数或者概率密度函数是 描述随机过程的最严格的方法，它们完全描 述了随机过程的特性；而通常情况下，也是 最困难的方法，除了一些具有特定性质的随 机过程以外，我们很难给出它们的任意维累 积分布函数或者概率密度函数。
不仅电子设备中普遍存在的热噪声是高 斯过程，一些通信系统的信源也服从高斯分布。
高斯分布具有特别的性质，高斯分布的 随机变量和随机过程，其数学上的分析处理 非常简便易用。
3.5.1 定义
3.5.2 性质
（1）高斯过程通过线性时不变系统，输 出还是高斯过程。
线性时不变系统的输出是输入和系统冲 击响应的卷积，因而可以看出是很多高斯变 量的线性和。
3.2.1 联合特征
3.1.1 JSP、Java与Javascript
3.3 平稳随机过程
– 3.3.1 严平稳随机过程 – 3.3.2 宽平稳随机过程 – 3.3.3 平稳过程的各态历经性 – 3.3.4 平稳随机过程的性质
3.3.2 宽平稳随机过程
3.3.3 平稳过程的各态历经性
第3章 随机信号
3.1 随机过程的特征 3.2 两个或者两个以上随机过程的联合特 征3.3 平稳随机过程 3.4 平稳过程的功率谱密度 3.5 高斯过程 3.6 白噪声与高斯白噪声 3.7 随机过程和线性系统 3.8 窄带平稳随机过程 3.9 循环平稳随机过程
如第2章所述，通信系统中的消息是由电 压或者电流的波形来表达的，这些波形我们 称之为信号。
均值、方差、相关函数等特征，包含的 关于随机过程的信息比累积分布函数要少， 是比较弱的特征，因而被称为“局部特征”。
3.1.1 全局特征
任意维累积分布函数或者概率密度函数是 描述随机过程的最严格的方法，它们完全描 述了随机过程的特性；而通常情况下，也是 最困难的方法，除了一些具有特定性质的随 机过程以外，我们很难给出它们的任意维累 积分布函数或者概率密度函数。
不仅电子设备中普遍存在的热噪声是高 斯过程，一些通信系统的信源也服从高斯分布。
高斯分布具有特别的性质，高斯分布的 随机变量和随机过程，其数学上的分析处理 非常简便易用。
3.5.1 定义
3.5.2 性质
（1）高斯过程通过线性时不变系统，输 出还是高斯过程。
线性时不变系统的输出是输入和系统冲 击响应的卷积，因而可以看出是很多高斯变 量的线性和。
3.2.1 联合特征
3.1.1 JSP、Java与Javascript
3.3 平稳随机过程
– 3.3.1 严平稳随机过程 – 3.3.2 宽平稳随机过程 – 3.3.3 平稳过程的各态历经性 – 3.3.4 平稳随机过程的性质
3.3.2 宽平稳随机过程
3.3.3 平稳过程的各态历经性
第3章 随机信号
3.1 随机过程的特征 3.2 两个或者两个以上随机过程的联合特 征3.3 平稳随机过程 3.4 平稳过程的功率谱密度 3.5 高斯过程 3.6 白噪声与高斯白噪声 3.7 随机过程和线性系统 3.8 窄带平稳随机过程 3.9 循环平稳随机过程
如第2章所述，通信系统中的消息是由电 压或者电流的波形来表达的，这些波形我们 称之为信号。
随机信号分析第3讲
X(t1) X(t2) Pζi ζ1 ζ2 ζ3 t ζ4 1 2 6 3 5 4 2 1 1/4 1/4 1/4 1/4
一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时 刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率为 0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} =0。 由于一次试验结果只有一个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1 时刻的状态必在ζ3上取值，且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。 k1,k2 必在一条样本上，此情况发生的概率为1/4。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 ← 样本ζi发生的概率。
ϕY (t ) = E[Y (t )] = ∑ yi pi (t )
2 2 i =1 m
m
σ X (t ) = D[Y (t )] = ∑ [ yi − mY (t )] pi (t )
2 2 i =1
例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均 匀分布，求E[X(t)]，D[X(t)]，Rx(t1,t2)， Cx (t1,t2)。
解：
⎧1， Q fU (u) = ⎨ ⎩0， 0 ≤ u ≤1 其它
∞ 1
t ∴ E[ X (t )] = E[U ⋅ t ] = t ⋅ E[U ] = t ⋅ ∫ ufU (u)du = t ⋅ ∫ udu = 0 －∞ 2 RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[U ⋅ t1 ⋅U ⋅ t2 ] = t1 ⋅ t2 ⋅ E[U 2 ] t1 ⋅ t2 = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u ⋅ fU (u)du = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u du = −∞ 0 3 t1 ⋅ t2 t1 t2 t1 ⋅ t2 CX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m(t1 ) ⋅ m(t2 ) = − ⋅ = 3 2 2 12 t2 D[ X (t )] = CX (t , t ) = 12
《随机信号分析》课件
表示随机信号的波动范围，即信号值偏离均值的程度。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
第2章 动态信号特征分析
2.3 随机信号的统计特性
2.3.3 概率密度函数
21
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
2.3 随机信号的统计特性
2.3.4 自相关函数，时域分析
随机信号的自相关函数是描述一个时刻的瞬时值与另一个 时刻的瞬时值之间的依赖关系
Email: yuzy@ Tel: 54743053
2.3 随机信号的统计特性
2.3.3 概率密度函数
概率密度函数是为了表示瞬时数据落在指定幅值范围的概
率
Tx Pr ob[ x x(t ) x x] lim T T
19
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
2.2 确定性动态信号的时域和频域特性
2.2.2 一般周期信号
离散谱特征
8
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
信号合成与分解
14
EMEC @ Shanghai Jiaotong University
Email: yuzy@ Tel: 54743053
2.3 随机信号的统计特性
2.3.1 随机过程
样本函数或样本记录：
描述随机信号的单个时间历程，称为样本函数或样本记录 随机过程： 表示随机信号的全部样本函数的集合，称为随机过程
Email: yuzy@ Tel: 54743053
2
2.1 动态信号的分类
第1章动态信号特性分析
第1章 动态信号特性分析在动态测试中，我们会遇到大量的信号或数据需记录和分析，这些动态信号或数据就是激励与响应的测量结果。
所有动态信号或数据可分为两大类，即确定性与非确定性，非确定性信号也称为随机信号。
所谓确定性信号，是可用明确的数学方程精确地描述一个物理现象的动态过程。
它包括周期信号和非周期信号。
确定性动态信号无论在时域或频域都有自身的特点。
1.1确定性动态信号的时域和频域特性1.1.1周期信号周期信号又可按其复杂程度分为最简单的正弦信号和一般的周期信号。
例如，单自由度无阻尼振动系统的自由振动位移就是典型的正弦信号，可用下列时变函数表示)2sin()(0θπ+=t f X t x (1.1)式中，为振动位移振幅，单位是m ；f X 0为频率，单位时间内重复出现的循环数，单位是Hz ；θ为相对于时间原点的初始相角，单位是弧度；为振动位移在时间t 瞬时的值，单位是m 。
方程(1.1)描述的随时间变化的记录曲线，即时间历程，常称正弦波。
实践中分析正弦信号时，常忽略相角)(t x θ，有t f X t x 02sin )(π= (1.2)方程(1.2)可画成时间历程图或振幅频率图－频谱，见图1-1。
图1-1正弦信号完成一个循环所需时间，称为周期。
如上述，单位时间内出现的循环数称为频率f p T 0，两者的关系是1f T p =(1.3)注意到，图1.1的频谱仅由一个具体频率f 0上的振幅构成。
这样的频谱称为离散谱或线谱。
从分析的观点来看，正弦信号是时变数据的最简形式。
X一般的周期信号是经过一定的时间间隔重复出现的信号，能用周期性的时变函数表示L ,3,2,1),()(=±=n nT t x t x p (1.4)在时域中，这一函数的最简单形式可表现为周期是的正弦波（称基波）的整数倍的波形（称谐波）。
显然，为一般的周期信号的周期。
p T p nT T =在实践中，除少数例外，一般的周期信号都可按下列公式展开为Fourier 级数)2sin 2(2)(1110t f b t f con a at x n n n ππ++=∑∞= (1.5)其中pT f 11=，称为基频 ∫∫====ppT pn T pn n tdt nf t x T b n tdt nf t x T a 0101,2,1,0,2sin )(2,2,1,0,2cos )(2LLππ它们还可表达为另一种Fourier 级数形式)2cos()(110n n n t nf X X t x θπ−+=∑∞= (1.6)其中 20a X =LL,3,2,1),(tan ,3,2,1,122===+=−n a b n b a X nnn n n n θ图1-2式(1.6)表明周期信号由一个静态分量和无限个称为谐波的简谐（正弦或余弦）分量组成，这些谐波分量的振幅为，相位为0X n X n θ，频率是基频的整数倍。
动态信号分析
动态信号分析引言动态信号分析是指对一系列随时间变化的信号进行分析和解释的过程。
这些信号可以是任何随时间变化的数据，如声音、振动、电信号等。
动态信号分析可以帮助我们了解信号的周期性、频谱特征、幅度变化等信息，对于理解信号的特性和进行相关应用具有重要意义。
常见的动态信号分析方法1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的数学方法。
通过傅里叶变换，可以将信号分解为一系列不同频率的正弦波的叠加。
傅里叶变换可以帮助我们了解信号的频谱分布，找出信号中的主要频率成分，并进一步分析信号的周期性和频谱特征。
2. 小波变换小波变换是一种将信号从时域转换为时频域的数学方法。
与傅里叶变换不同，小波变换可以提供信号在时间和频率上的更为精细的分析。
通过小波变换，可以得到信号在不同时间段和频率段上的能量分布，帮助我们了解信号的局部特征和瞬态特性。
3. 自相关分析自相关分析是一种研究信号相关性的方法。
它通过计算信号与其在不同时间延迟下的自身的相关性，来分析信号的周期性和重复性。
自相关分析可以用来判断信号中的周期性成分，并估计信号的主要周期。
4. 谱分析谱分析是一种将信号在频域上进行分析的方法。
它通过计算信号在不同频率段上的能量分布，来了解信号的频谱特性。
谱分析可以帮助我们找到信号中的主要频率成分，并估计信号的频率范围和带宽。
动态信号分析的应用领域动态信号分析在许多领域都具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 声音分析动态信号分析可以用来分析声音信号的频率特征、音调、语速等信息，对语音识别、音频处理和声音品质评估具有重要意义。
2. 振动分析动态信号分析可以帮助我们分析机械振动信号的频谱成分、振动模态、共振频率等信息，对机械故障诊断、结构健康监测等具有重要应用。
3. 电信号分析动态信号分析可以用来分析电信号的频谱特征、噪声成分、幅度调制等信息，对于电力系统分析、通信系统优化等具有重要意义。
4. 生物信号分析动态信号分析可以帮助我们研究生物信号的周期特征、频率变化、相位调制等信息，对心电图分析、脑电图分析和生物信号处理等具有重要应用价值。
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
第三章 随机信号分析
5
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
第3章随机信号分析
第三章 随机信号分析
➢ 随机信号：信号的某个或某几个参数不 能预知或不能完全预知。 ➢ 随机噪声：不能预测的噪声。（简称噪声）
➢ 随机过程：随机信号与随机噪声的统称。
1
主要内容
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
12
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
13
定义一：若随机过程的任何n维分布函数或概率 密度函数与时间起点无关，则称之为平稳随机过 程。（狭义）
即： fn (x 1 ,x 2 , x n ;t1 ,t2 , ,tn ) f n ( x 1 ,x 2 , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
15
假设x(t)是平稳随机过程的任一实现，其数字特征为：
a
lim T
2
lim T
T 1 T 1 T 2 T 2 T 2T 2 [x x((tt)) dat]2dt
lim R ()T T 1 T 2 T 2x(t)x(t)dt
则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为：
a a
2 2
R ()R ()
平稳随机过程的数字特征： ① 数学期望和方差与t无关，分别为a和σ2 ② 自相关函数仅与时间间隔有关，即 R (t1,t1)R ()
14
定义二：数字特征满足上述特性的随机过程 称为平衡随机过程。（广义）
通信系统中的信号与噪声大部分都是平稳随 机过程。
平稳随机过程的各态历经性：平稳随机过 程的数字特征可由随机过程中的任一实现 的数字特征来决定，即随机过程的数字特 征可用“时间平均”代替“统计平均”。
➢ 随机信号：信号的某个或某几个参数不 能预知或不能完全预知。 ➢ 随机噪声：不能预测的噪声。（简称噪声）
➢ 随机过程：随机信号与随机噪声的统称。
1
主要内容
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
12
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
13
定义一：若随机过程的任何n维分布函数或概率 密度函数与时间起点无关，则称之为平稳随机过 程。（狭义）
即： fn (x 1 ,x 2 , x n ;t1 ,t2 , ,tn ) f n ( x 1 ,x 2 , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
15
假设x(t)是平稳随机过程的任一实现，其数字特征为：
a
lim T
2
lim T
T 1 T 1 T 2 T 2 T 2T 2 [x x((tt)) dat]2dt
lim R ()T T 1 T 2 T 2x(t)x(t)dt
则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为：
a a
2 2
R ()R ()
平稳随机过程的数字特征： ① 数学期望和方差与t无关，分别为a和σ2 ② 自相关函数仅与时间间隔有关，即 R (t1,t1)R ()
14
定义二：数字特征满足上述特性的随机过程 称为平衡随机过程。（广义）
通信系统中的信号与噪声大部分都是平稳随 机过程。
平稳随机过程的各态历经性：平稳随机过 程的数字特征可由随机过程中的任一实现 的数字特征来决定，即随机过程的数字特 征可用“时间平均”代替“统计平均”。
03预备知识：随机信号分析
R()R()
随机过程基础：例题
求随机相位正弦波x(t)=sin(ω ot+θ )的均值 与自相关函数，式中ω ot是常数；θ 是在区间 （0，2π ）上均匀分布的随机变量，该随机 过程是否是平稳随机过程，是否具有各态历 经性？
随机过程基础：例题
a(t)E [s i0 n t()] E [s i0n tco ]sE [c o0tsin ]
随机过程基础：数字特征
随机过程ξ(t)（噪声、信号）
数学期望 E[ξ(t)]
如果平稳
E[ξ(t)]=a
统计、观测、计算
方差
相关函数
D[ξ(t)]
R（t ，t+）
通信系统中所遇到的信号
与噪声一般与都时能间满起足点各无态关
历经条件
D[ξ(t)]=σ 2
R（）
如果各态历经
用时间平均代替集平均
aa
2 2
信号和噪声 1.5
1
0.5
0
-0.5 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1.5 1
0.5 0
-0.5 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
讨论问题：对待噪声怎么办？(4)
噪声波形
0.3 0.2 0.1
0 -0.1 -0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.4
0.2
0
在实际问题中，t代表时间量
随机过程是某些参数（通常是时间）的实 函数序列，通常具有统计特性。
随机信号的描述课件
泊松过程
模拟稀有事件在时间上的发生， 例如交通事故或电子邮件到达。
马尔科夫链
模拟状态转移的过程，例如天气 变化或股票价格波动。
模拟生成的随机信号的应用场景
通信系统仿真
模拟无线信道中的噪声和干扰， 以评估通信系统的性能。
金融建模
模拟股票价格波动或外汇汇率变化， 以进行风险评估和投资决策。
物理模拟
模拟物理现象，如粒子运动或流体 动力学，以进行实验验证和预测。
02
随机信号的统计描述
概率密度函数（PDF）
定义
概率密度函数（PDF）描述了随机信号在各个时刻出 现的概率。
计算方法
通过测量或仿真得到随机信号在不同时刻的取值， 然后计算每个取值的概率。
应用
用于分析随机信号的统计特性，如概率分布、概率 密度等。
概率分布函数（CDF）
01
02
03
定义
概率分布函数（CDF）描 述了随机信号在各个时刻 小于或等于某个值的概率。
随机信号的描述课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 随机信号的统计描述 • 随机信号的时频域描述 • 随机信号的模拟生成 • 随机信号处理技术 • 随机信号的应用案例
01
引言
随机信号的定义与特点
01
02
03
04
定义
随机信号是一种无法预测其确 切值的信号，其取值在每个时 间点都是随机的。
不确定性
时频变换方法（如短时傅里叶变换、小波变换等）
定义
用于分析信号在不同时间 和频率上的特性的方法， 能够同时揭示信号在时域 和频域的特性。
特性
能够捕捉信号的瞬态特性 和非平稳性，提供更全面 的信号分析手段。
模拟稀有事件在时间上的发生， 例如交通事故或电子邮件到达。
马尔科夫链
模拟状态转移的过程，例如天气 变化或股票价格波动。
模拟生成的随机信号的应用场景
通信系统仿真
模拟无线信道中的噪声和干扰， 以评估通信系统的性能。
金融建模
模拟股票价格波动或外汇汇率变化， 以进行风险评估和投资决策。
物理模拟
模拟物理现象，如粒子运动或流体 动力学，以进行实验验证和预测。
02
随机信号的统计描述
概率密度函数（PDF）
定义
概率密度函数（PDF）描述了随机信号在各个时刻出 现的概率。
计算方法
通过测量或仿真得到随机信号在不同时刻的取值， 然后计算每个取值的概率。
应用
用于分析随机信号的统计特性，如概率分布、概率 密度等。
概率分布函数（CDF）
01
02
03
定义
概率分布函数（CDF）描 述了随机信号在各个时刻 小于或等于某个值的概率。
随机信号的描述课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 随机信号的统计描述 • 随机信号的时频域描述 • 随机信号的模拟生成 • 随机信号处理技术 • 随机信号的应用案例
01
引言
随机信号的定义与特点
01
02
03
04
定义
随机信号是一种无法预测其确 切值的信号，其取值在每个时 间点都是随机的。
不确定性
时频变换方法（如短时傅里叶变换、小波变换等）
定义
用于分析信号在不同时间 和频率上的特性的方法， 能够同时揭示信号在时域 和频域的特性。
特性
能够捕捉信号的瞬态特性 和非平稳性，提供更全面 的信号分析手段。
系统辨识_3_随机信号的描述与分析53页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
系统辨识_3_随机信号的描述与分析
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。•来自7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
随机信号分析课件
互相关函数的值越大，说明两个信号 越相似。
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号分析课件3
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
在系统分析中，常用复频率表示更为方便.
sj
S X ( )
S X (s)
最简单的情况是σ=0，s=jω。
S X ( s ) 沿复频率面s在虚轴j ω的变化与 S X ( )
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自 的函数形式并不相同。
【例题】
SX()410(10225)24
2A 2 2
例4. 已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为
SX()411 36236
求该过程的自相关函数和均方值。
解：RX()Ae
SX
()
2A 2 2
SX()4113 6236
16/ 5
2 4
162 /59
16
(2 4)(2 9)
16/5 224/5
24 24
16/5 238/15
29 29
R X ( )
4 e 2 | | 5
8 e 3| | 15
E[ X 2 (t )] RX (0) 4/58/15 4/15
双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频 率轴上，称为双边带功率谱密度。
3.1.2随机过程的功率谱密度 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率
是有限的
Qlim1 T x(t)2dt T 2T T
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
在系统分析中，常用复频率表示更为方便.
sj
S X ( )
S X (s)
最简单的情况是σ=0，s=jω。
S X ( s ) 沿复频率面s在虚轴j ω的变化与 S X ( )
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自 的函数形式并不相同。
【例题】
SX()410(10225)24
2A 2 2
例4. 已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为
SX()411 36236
求该过程的自相关函数和均方值。
解：RX()Ae
SX
()
2A 2 2
SX()4113 6236
16/ 5
2 4
162 /59
16
(2 4)(2 9)
16/5 224/5
24 24
16/5 238/15
29 29
R X ( )
4 e 2 | | 5
8 e 3| | 15
E[ X 2 (t )] RX (0) 4/58/15 4/15
双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频 率轴上，称为双边带功率谱密度。
3.1.2随机过程的功率谱密度 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率
是有限的
Qlim1 T x(t)2dt T 2T T
《随机信号分析基础》课件第3章
解 由例3.5易证明X(t)和Y(t)是各自广义平稳的。
RXY t,t E X t Y t E Acost B sin tAcos 2t B sin 2t
E A2 cost cos 2t AB cost sin 2t ABsin t cos 2t B2 sin t sin 2t
令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
tn+Δt, t1′+Δt, t2′+Δt, …, tm′+Δt) (3-14)
联合严格平稳性的性质为： X(t)与Y(t)的二维联合概率 分布或密度函数只与选取两个时刻的差值有关。
FXY(x, y; t1, t2)=FXY(x, y; t1+Δt, t2+Δt)=FXY(x, y; τ), τ=|t1－t2| (3-15)
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
E X t =E Acos0t+B sin 0t = cos0t E A+ sin 0t E B=0=mX
RX t,t+ =E X t X t+
=E Acos0t+B sin 0t Acos0 t+ +B sin 0 t+
3.1.3
1. 若随机信号X(t)与Y(t)的任意n+m维联合概率分布函数具 有下述的时移不变性： FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1, t2, …, tn, t1′, t2′, …, tm′) =FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1+Δt, t2+Δt, …,tn+Δt,
RXY t,t E X t Y t E Acost B sin tAcos 2t B sin 2t
E A2 cost cos 2t AB cost sin 2t ABsin t cos 2t B2 sin t sin 2t
令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
tn+Δt, t1′+Δt, t2′+Δt, …, tm′+Δt) (3-14)
联合严格平稳性的性质为： X(t)与Y(t)的二维联合概率 分布或密度函数只与选取两个时刻的差值有关。
FXY(x, y; t1, t2)=FXY(x, y; t1+Δt, t2+Δt)=FXY(x, y; τ), τ=|t1－t2| (3-15)
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
E X t =E Acos0t+B sin 0t = cos0t E A+ sin 0t E B=0=mX
RX t,t+ =E X t X t+
=E Acos0t+B sin 0t Acos0 t+ +B sin 0 t+
3.1.3
1. 若随机信号X(t)与Y(t)的任意n+m维联合概率分布函数具 有下述的时移不变性： FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1, t2, …, tn, t1′, t2′, …, tm′) =FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1+Δt, t2+Δt, …,tn+Δt,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=t2-t1
o
正常状态下变速器自相关函数
o
异常状态下变速器自相关函数
图2-5 两台C630型车床
相关函数频域分析
§2-3-6 自功率谱密度函数（简称自谱）
定义：随机信号的均方值的谱密度描述信号在频
率结构也反映了信号的能量在各个频率上的分析， 是随机过程的最重要的特征参数之一。
G f 2 Rx e
xt yt dt
T 0
例：设t1=t， t2=t+ ，两组测试曲线如图2-6(a)所示，图2-6(b)为两
信号的互相关函数，图中尖峰表示X(t1)，Y(t2)之间在 = 1 时存在 相关联系，而在其它时间间隔则没有这种联系。
X(t1)
Rxy()
o
Y(t2)
t1
1
(b)
E x y
2 y
2
（2.14）
（2.15）
2
利用柯西—许瓦兹不等式
E x x y y E x x E y y
2 2
2
（2.16）
可知| xy |≤1。
当xy =1时，所有数据点均落在y-y= m(x-x)的直线上，因
o
(a)
t2
0
图2-6 互相关曲线图
例： 求正弦函数x(t)=Asin(t+x)和y(t)=Bsin(t+y)的互 相关函数。
解：
1 T Rxy ( ) lim x(t ) y(t )dt T T 0 AB Rxy ( ) cos[ ( y x )] 2
图2-1 随机过程
§2-3-1 随机过程
样本函数或样本记录：
描述随机信号的单个时间历程，称为样本函数或样
本记录。������
随机过程：
表示随机信号的全部样本函数的集合，称为随机过
程。
随机过程分为：
平稳随机过程，又分各态历经和非各态历经。 非平稳随机过程
随机过程的统计指标
被测工件
相关分析
提取出回转误差等周期性的故障源。
应用三：用噪声诊断机器状态
正常运行状态----机器噪声是大量的、无序的、大小接近相 等的随机冲击结果，有宽而均匀的频谱。
运行不正常状态----随机噪声中将出现有规则、周期性的脉 冲，其大小比随机冲击大的多。
= t2-t1
Rxx()
Rxx()
统计学中用相关系数xy来描述变量x，y之间的相关 性。
函数的相关系数，简称相关函数：
xy
或
xy x y
E[( x ) ]E[( y y )]
1
2
xy ( )
x (t ) y (t ) dt
x (t1 ) x (t2 ) x const. Rxx (t1 , t1 ) Rxx (t1 , t2 ) Rxx ( ) const.
平稳随机过程特点：
均值、均方值、方差x(ti) 、x2(ti)、x2(ti)等均为常数； 自相关函数、互相关函数只是时间差 =t2-t1的函数。
（2.18）
式中，自变量τ称为时移。 当y(t) ≡x(t)时，得
1 T Rxx lim xt xt dt T T 0
Rxx( )称为x(t)的自相关函数。
（2.20）
图2.26 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （b）互相关函数
§2-3-5 自相关函数（时域分析）
总体平均值，又称均值
随机过程在某一时刻t1的均值（一阶矩）可将总体中各 样本函数在t1的瞬时值相加，然后除以样本函数的个数 而得到 1 N x (t1 ) lim xk (t1 )
N
N
k 1
自相关函数
随机过程两不同时刻之值的相关性，又称二阶矩。用 t1和t1+ 两时刻瞬时值乘积的总体平均值得到 1 N Rxx (t1 , t1 ) lim xk (t1 ) xk (t1 ) N N k 1
随机信号的自相关函数是描述一个时刻的瞬时
值与另一个时刻的瞬时值之间的依赖关系。
1 Rxx lim T T
xt xt dt
T 0
应用：自相关函数是在机器中找出周期信号 或瞬时信号的重要手段。
例： 求正弦函数x(t)=Asin(t+φ)的自相关函数。
解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过程，
x 2 ( t ) dt
y 2 ( t ) dt
1
2
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
xy
xy x y
1 xy 1
（2.13）
式中，x、y分别为x、y的标准偏差，而x和y的方差
x2和y2则分别为
2 x
E x x
性质：
(1) 自相关函数是 的偶函数 Rx( )= Rx(- )；
(2) 当 =0 时，自相关函数具有最大值， Rx(0)=x2+x2 (3) 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。
(4) 当随机信号中含有周期信号时，Rx( )中也必定有周 期性分量，且周期相同。
样本记录在某瞬间同时落在某对指定幅值范围内的概率。
联合概率密度：
Tx , y P r ob[ x x(t ) x x, y y (t ) y y ] 1 p( x, y ) lim lim lim x 0 x 0 xy T T xy y 0 y 0
方差的正平方根称为标准差
§2-3-3 概率密度函数
概率密度函数是为了表示瞬时数据落在指定幅值范 围的概率。
Tx Prob[ x x(t ) x x] lim T T
其定义为：
p( x) lim T Prob[ x x(t ) x x] 1 lim lim x x 0 x 0 x T T x
(5) 对变化迅速的信号（宽带随机过程），相关的程度 在 很小时就完全丧失 。
自相关函数的工程意义及应用
自相关函数可用来发现淹没在随机信号 中的周期分量，并可进行辨识。
自相关函数Rx(τ)
应用实例一
由图可知，该车在搓板路上行驶时， 车身上(垂直方向)混有9～10Hz的周期 成分。
应用二：机加工表面粗糙度自相关分析
瞬时值x(t)小于或等于某值x的概率定义为概率分布函数或 累计概率分布函数
P( x) Prob[ x(t ) x] p d
x
用概率密度函数表示均值和均方值
x xpx dx
x 2 px dx
2 x
图2-10 四种随机信号及其概率密度函数（均假定x=0） a）正弦信号(初始相角为随机量)；b）正弦信号加随机噪声； c）窄带随机信号； d）宽带随机号
A2 Rx ( ) 2
2
0
A2 sin sin( )d cos 2
小结
自相关函数保留了原信号的幅值和频率信息， 但失去了原信号的相位信息。 周期分量可以是多个谐振频率的叠加。 正、余函数的自相关函数均是余弦函数，其频 率与原函数相同。
自相关函数Rx(τ)
联合概率密度分布函数：
P( x, y) Pr ob[ x(t ) x, y(t ) y]
x
p , dd
y
若两个随机信号是统计独立，则联合概率密度分布
函数为：
P( x, y) P( x) P( y)
§2-4-2 互相关函数
1 Rxy lim T T
平稳过程与各态历经过程
各态历经过程：
平稳随机过程的任何单个样本时间平均所得的均值、自相 关函数等都等于由全体样本集平均所得的相应值。 或者说，若某一类平稳随机过程，只对其某一个样本函 数进行研究，就能计算该随机过程X(t)的各统计量，这类 随机过程称为各态历经过程。
1 lim N N
1 N xi (t ) Nlim N X (ti ) i 1 i 1
j 2f
d 4 Rx cos2fd
0
随机信号的均方值与功率谱密度函数的关系为：
G f df
2 x 0
均方值等于功率谱密度函数曲线下的总面积。
§2-4 随机信号的联合特性
§2-4-1 联合概率密度函数
两个随机信号的样本记录的联合概率密度函数，代表两个
xy 1
x
(b)
y
(c) x
y
x
xy 0
0 xy 1
图2.75 变量x 和y 的相关性 (a) 精确相关 (b)中等程度相关 (c)不相关
2.自相关函数与互相关函数
对于各态历经过程，可定义时间变量x(t)和y(t)的互相关
函数为
1 T R xy lim x t y t dt T T 0
此x，y两变量是理想的线性相关。
当xy =0时，(xi -x)与(yi -y)的正积之和等于其负积之和，
因而其平均积xy为0，表示x ， y之间完全不相关。 相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。
(a)
y
y
(a)
x
xy 1