第3讲 动态信号特征分析2_随机信号特征

o
(a)
t2
0
图2-6 互相关曲线图
例： 求正弦函数x(t)=Asin(t+x)和y(t)=Bsin(t+y)的互 相关函数。
解：
1 T Rxy ( ) lim x(t ) y(t )dt T T 0 AB Rxy ( ) cos[ ( y x )] 2
平稳过程与各态历经过程
各态历经过程：
平稳随机过程的任何单个样本时间平均所得的均值、自相 关函数等都等于由全体样本集平均所得的相应值。 或者说，若某一类平稳随机过程，只对其某一个样本函 数进行研究，就能计算该随机过程X(t)的各统计量，这类 随机过程称为各态历经过程。
1 lim N N
1 N xi (t ) Nlim N X (ti ) i 1 i 1
样本记录在某瞬间同时落在某对指定幅值范围内的概率。
联合概率密度：
Tx , y P r ob[ x x(t ) x x, y y (t ) y y ] 1 p( x, y ) lim lim lim x 0 x 0 xy T T xy y 0 y 0
若： x(t)=Asin(1t+x)，y(t)=Bsin(2t+y)，且12
则 Rxy( )=0
互相关函数保留了两个信号的共同频率分量的频 率、幅值和相位差的信息。
其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。
1 T R x ( ) lim x ( t ) x ( t ) dt T T 0 1 T0 0 A sin( t ) sin[ ( t ) ] dt T0
令t+φ= , 则dt=d/, 由此得
被测工件
相关分析
提取出回转误差等周期性的故障源。
应用三：用噪声诊断机器状态

正常运行状态----机器噪声是大量的、无序的、大小接近相 等的随机冲击结果，有宽而均匀的频谱。

运行不正常状态----随机噪声中将出现有规则、周期性的脉 冲，其大小比随机冲击大的多。
= t2-t1
Rxx()
Rxx()
瞬时值x(t)小于或等于某值x的概率定义为概率分布函数或 累计概率分布函数
P( x) Prob[ x(t ) x] p d
x
用概率密度函数表示均值和均方值
x xpx dx


x 2 px dx
2 x

图2-10 四种随机信号及其概率密度函数（均假定x=0） a）正弦信号(初始相角为随机量)；b）正弦信号加随机噪声； c）窄带随机信号； d）宽带随机号
（2.18）
式中，自变量τ称为时移。 当y(t) ≡x(t)时，得
1 T Rxx lim xt xt dt T T 0
Rxx( )称为x(t)的自相关函数。
（2.20）
图2.26 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （b）互相关函数
§2-3-5 自相关函数（时域分析）
总体平均值，又称均值
随机过程在某一时刻t1的均值（一阶矩）可将总体中各 样本函数在t1的瞬时值相加，然后除以样本函数的个数 而得到 1 N x (t1 ) lim xk (t1 )
N
N
k 1
自相关函数
随机过程两不同时刻之值的相关性，又称二阶矩。用 t1和t1+ 两时刻瞬时值乘积的总体平均值得到 1 N Rxx (t1 , t1 ) lim xk (t1 ) xk (t1 ) N N k 1
图2-1 随机过程
§2-3-1 随机过程
样本函数或样本记录：
描述随机信号的单个时间历程，称为样本函数或样
本记录。������
随机过程：
表示随机信号的全部样本函数的集合，称为随机过
程。
随机过程分为：
平稳随机过程，又分各态历经和非各态历经。 非平稳随机过程
随机过程的统计指标
随机信号的自相关函数是描述一个时刻的瞬时
值与另一个时刻的瞬时值之间的依赖关系。
1 Rxx lim T T
xt xt dt
T 0
应用：自相关函数是在机器中找出周期信号 或瞬时信号的重要手段。
例： 求正弦函数x(t)=Asin(t+φ)的自相关函数。
解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过程，
=t2-t1
o
正常状态下变速器自相关函数

o
异常状态下变速器自相关函数

图2-5 两台C630型车床
相关函数频域分析
§2-3-6 自功率谱密度函数（简称自谱）
定义：随机信号的均方值的谱密度描述信号在频
率结构也反映了信号的能量在各个频率上的分析， 是随机过程的最重要的特征参数之一。
G f 2 Rx e
动态测试与信号处理
土木与环境工程学院
第2章 动态信号特征分析
本章主要介绍内容：
§2-1 动态信号的分类
§2-2 确定信号时域频域特征
§2-3 随机信号的统计特性
§2-4 随机信号的联合特性
§2-5 卷积分
§2-6 功率谱
§2-3 随机信号的统计特性
随机信号----具有不重复性、不确定性， 通常用概率与统计方法研究其中是否存在 某些重复、确定的成分。 例：图2-1是在相同实验条件下，N组随机信号 的曲线图。
性质：
(1) 自相关函数是 的偶函数 Rx( )= Rx(- )；
(2) 当 =0 时，自相关函数具有最大值， Rx(0)=x2+x2 (3) 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。
(4) 当随机信号中含有周期信号时，Rx( )中也必定有周 期性分量，且周期相同。
统计学中用相关系数xy来描述变量x，y之间的相关 性。
函数的相关系数，简称相关函数：
xy
或
xy x y

E[( x ) ]E[( y ) ]
2 2 x y
E[( x x )( y y )]
1
2
xy ( )
x (t ) y (t ) dt
方差的正平方根称为标准差
§2-3-3 概率密度函数

概率密度函数是为了表示瞬时数据落在指定幅值范 围的概率。
Tx Prob[ x x(t ) x x] lim T T
其定义为：
p( x) lim T Prob[ x x(t ) x x] 1 lim lim x x 0 x 0 x T T x
概率密度函数应用：机器状态故障诊断
例：车床变速箱噪声概率密度函数p(x)，a新车床，b旧 车床，显然新、旧车床变速箱噪声概率密度函数p(x)值有较 大差异。
p(xjt) p(xjt)
o
Xj(tj)
o
Xj(tj)
a
b
§2-3-4 变量的相关性 (各态历经过程)
1.相关函数
表征了一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或 者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字 特征。 是两随机变量之积的数学期望，称为相关性。
A2 Rx ( ) 2

2
0
A2 sin sin( )d cos 2
小结

自相关函数保留了原信号的幅值和频率信息， 但失去了原信号的相位信息。 周期分量可以是多个谐振频率的叠加。 正、余函数的自相关函数均是余弦函数，其频 率与原函数相同。

自相关函数Rx(τ)
随机过程的统计指标
互相关函数
均方值、均方根 方差、标准差 概率密度函数 歪度 峭度
等等
平稳过程与各态历经过程
x(t1)与Rxx(t1, t1+ ) 随t1变化，非平稳过程 x(t1)与Rxx(t1, t1+ ) 不随t1变化，弱平稳过程，或平稳
过程（广义上） 则
xt yt dt
T 0
例：设t1=t， t2=t+ ，两组测试曲线如图2-6(a)所示，图2-6(b)为两
信号的互相关函数，图中尖峰表示X(t1)，Y(t2)之间在 = 1 时存在 相关联系，而在其它时间间隔则没有这种联系。
X(t1)
Rxy()
o
Y(t2)

t1
1
(b)
(5) 对变化迅速的信号（宽带随机过程），相关的程度 在 很小时就完全丧失 。
自相关函数的工程意义及应用
自相关函数可用来发现淹没在随机信号 中的周期分量，并可进行辨识。

自相关函数Rx(τ)
应用实例一
由图可知，该车在搓板路上行驶时， 车身上(垂直方向)混有9～10Hz的周期 成分。
应用二：机加工表面粗糙度自相关分析
j 2f
d 4 Rx cos2fd
0

随机信号的均方值与功率谱密度函数的关系为：
G f df
2 x 0

均方值等于功率谱密度函数曲线下的总面积。
§2-4 随机信号的联合特性
§2-4-1 联合概率密度函数
两个随机信号的样本记录的联合概率密度函数，代表两个
此x，y两变量是理想的线性相关。
当xy =0时，(xi -x)与(yi -y)的正积之和等于其负积之和，
因而其平均积xy为0，表示x ， y之间完全不相关。 相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。
(a)
y
y
(a)
x
xy 1
Leabharlann Baidu



x 2 ( t ) dt

y 2 ( t ) dt

1
2
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
xy
xy x y
1 xy 1
（2.13）
式中，x、y分别为x、y的标准偏差，而x和y的方差
x2和y2则分别为
2 x
E x x
联合概率密度分布函数：
P( x, y) Pr ob[ x(t ) x, y(t ) y]
x

p , dd
y
若两个随机信号是统计独立，则联合概率密度分布
函数为：
P( x, y) P( x) P( y)
§2-4-2 互相关函数
1 Rxy lim T T
E x y
2 y

2


（2.14）
（2.15）

2
利用柯西—许瓦兹不等式
E x x y y E x x E y y
2 2




2

（2.16）
可知| xy |≤1。
当xy =1时，所有数据点均落在y-y= m(x-x)的直线上，因
N
§2-3-2 均方值、均值与方差

假定随机信号是平稳的和各态历经的，从而可用单个样 本记录的时间平均来研究它的特性。
均方值，总体强度（平均功率或能量）
1 lim T T
2 x

T
0
x 2 (t )dt
均方值的正平方根称为均方根值（RMS）
均值，静态分量 1 T x lim x(t )dt xp ( x)dx T T 0 方差，动态分量（波动分量） 1 T 2 2 x lim x(t ) x 2 dt x2 x T T 0
x (t1 ) x (t2 ) x const. Rxx (t1 , t1 ) Rxx (t1 , t2 ) Rxx ( ) const.
平稳随机过程特点：

均值、均方值、方差x(ti) 、x2(ti)、x2(ti)等均为常数； 自相关函数、互相关函数只是时间差 =t2-t1的函数。
xy 1
x
(b)
y
(c) x
y
x
xy 0
0 xy 1
图2.75 变量x 和y 的相关性 (a) 精确相关 (b)中等程度相关 (c)不相关
2.自相关函数与互相关函数
对于各态历经过程，可定义时间变量x(t)和y(t)的互相关
函数为
1 T R xy lim x t y t dt T T 0