第三章_刚体力学基础

J mi ri
对于单个质点
质点系
2
单位：千克· 2（kg· 2） 米 m
J mr
n i 1
2
J mi ri 2
若物体质量连续分布，
J r dm
2 m
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注意： (1)刚体的转动惯量
与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。 (２)质量元的选取： 线分布 dm dx(或dl) 面分布 dm ds 体分布 dm dv
( yFz zFy )i ( zFx M xi M y j M z k i j k M x y z Fx Fy Fz
xFz ) j ( xFy yFx )k
M x yFz zFy
M y zFx xFz
M z xFy yFx
J r dm
2 m
(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相 对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化 ，故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
转动惯量计算举例：
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例3－1 求质量为 M，长为l的均质细棒对过穿过棒 之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
式中为力F到轴的距离 力对固定点的力矩为零的情况： 力F等于零， 力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即，有心力对力心的力矩恒为零）。
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力对固定轴的力矩为零的情况： 若力的作用线与轴平行
若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用
任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的 力矩之和为零：
M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量，M的方向垂直于r和 F所决定的平面 ，其指向用右手螺旋法则确定。
2）力矩的单位:
牛· 米(N· m)
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3）力矩的计算： M的大小、方向均与参考点的选择有关
M Fr sin ※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
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二、刚体的基本运动 刚体最基本的运动方式是平动和转动 。 1、刚体的平动 在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的 连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置 保持平行，这样的运动称为刚体的平动．
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2、刚体的转动 若刚体上各个质元都绕同一直线作 圆周运动，这样的运动称作刚体的 转动(rotation)，这条直线称为转 轴（这根轴可在刚体之内，也可在 刚体之外）。 非定轴转动：在刚体转动过程中，转轴的方 向或位置随时间变化。该转轴称为转动瞬 轴．如陀螺的旋进、车轮的滚动等。 定轴转动：转轴固定不动，即既不改变方向 又不发生平移。该转轴称为固定轴。
aA aB R
又 J 1 mR 2 2
⑤
联立式①，②，③，④，⑤得
T1＝ 2+3sin mg 5 3+2sin mg 5 2(1-sin ) g 5
T2＝
a A aB
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例3-7 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为 0 .此后飞轮经 历制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k 1 为大于零的常数)，当ω＝ 0 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动 3 到现在经历的时间是多少？ 解 (1)由题知 M k 2 ，故由转动定律有
dm dV 2 rdr h 2 dJ r dm
3
r
h
dr
h2 r dr
J
R 0
( M R 2 h )
1 4 1 2 3 h2 r dr h R MR 2 2
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四、刚体定轴转动的转动定律的应用
M J
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在时刻t到t+Δt时间内的角位移Δθ与Δt之比称为 刚体的平均角速度

t
当Δt→0时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简 称角速度，用ω表示：
d lim dt t 0 t
平均角加速度
t
t 0
瞬时角加速度，简称角加速度 lim
dm
0
x
dx
l
x
解：与上例做法相同，只是坐标原点由中点移至端点， 积分限改变。
1 3 1 2 J A x dx l Ml 0 3 3

l
2
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例3－3 求质量为M，半径为Ｒ的细圆环绕过圆心并 与环面垂直的轴的转动惯量 解：在细圆环上任取一质 元dm， dm到轴的距离为Ｒ，故
＊：请注意与教材P27之例题2.4比较，其有两处不同。 其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以 要用到转动定律； 其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以，滑轮两边之张 力不相等。 24
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例3-6N 如图2.37(a)所示，质量均为m的两物体A，B. A放在倾角 为α的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半 径为R的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中 张力 T1 和 T2 及物体的加速度a(轮轴光滑).
二、刚体定轴转动的转动定律
在刚体上任取一质元Δmi，半径为 ri，设它所受的合外力为Fi，合内 力为fi，它们与矢径ri的夹角分别 为φi和θi．设刚体绕轴转动的角速 度和角加速度分别为ω和α．根据 牛顿第二定律，采用自然坐标系， 可得质元Δmi的法向和切向方程， 分别为
(Fi cosi fi cosi ) mi ain mi ri 2 Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
略轴的摩擦。求：(1) m1 、
m2的加速度；(2)滑轮的角
m1
m2
加速度及绳中的张力。
（绳轻且不可伸长）
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N
M
T1
/
R
解 对m1 、m2，滑轮作受力 分析， m1 、m2作平动，滑轮 作转动，
T2
/
(T1 T1 T2 T2) ，
T1
m1
m1g
a1
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２、力对轴的矩： 力矩在x,y,z轴的分量式，或称力对 轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,,Mz,即 为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。
Mz
F r //

F
·
F
若设力Ｆ的作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的 力矩为
r sin F F M z rF sin rF sin rF
M i 0 M j 0 ri f ij rj f ji
M i 0 M j 0 (rj ri ) f ji rji f ji 0
f ij f ji
f ji
rj
r i
f ij
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作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对转轴 的力矩之和成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质 点运动中地位相当。
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转动定律说明了J是物体转动惯性大小的量度。因为：
M一定时，J增大则减小
说明：J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越 强，转动状态越难改变，即转动惯性越大。
第3章 刚体力学基础
§ 3.1 刚体 § 3.2 力矩 刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动的转动定律
§ 3.3 刚体定轴转动的动能定理 § 3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒
定
律
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3.1 刚体
一、刚体的引入
刚体定轴转动的描述
刚体(rigid body) ：即形状和大小完全不变的 物体。是一理想模型。 通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可 看作质点，叫作刚体的质元。 由于刚体不变形，各质元间距离不变。
M 如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆 ＝ 筒，若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？ J
M
M
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例3－5
质量为m1， R m3
m2 （ m1 > m2）的两物体，
通过一定滑轮用绳相连， 已知绳与滑轮间无相对滑 动，且定滑轮是半径为R、 质量为 m3的均质圆盘，忽
d t dt
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刚体定轴转动的特点: 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
vi ri
ai ri
ani ri
2
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3.2 力矩
一、力矩
Baidu Nhomakorabea
刚体定轴转动的转动定律
1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的 力对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点对 该点的位矢与力的矢积， 即
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三、刚体定轴转动的描述 垂直于固定轴的平面为转动平面．显然，转动平 面不止一个，而有无数多个。如果以某转动平面 与转轴的交点为原点，则该转动平面上的所有质 元都绕着这个原点作圆周运动。 刚体定轴转动的基本特征是：轴上所有各点都保 持不动，轴外所有各点在同一时间间隔内转过的 角度都一样。 角位移、角速度和角加速度 转动平面上任一质元对原点的位矢r与极轴的夹角 称为角位置θ。刚体在一段时间内转过的角度 Δθ=θ2-θ1 称为角位移
m3 g
T2
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a
m2 a2
T1R T2 R J
a R
1 2 J m3 R 2
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m2 g
解得
2( m1 m2 ) a g 2( m1 m2 ) m3 2( m1 m2 ) g [ 2( m1 m2 ) m3 ]R 4m1m2 m1m3 T1 g 2( m1 m2 ) m3 4m1m2 m2 m3 T2 g 2( m1 m2 ) m3
dm
l 2
x
M l
dx
l 2
x
解：在棒上任取一质量元
dm dx
线密度
于是
dJ x dm
2
l 3 2 l 2
J0
l 2 l 2
1 x dx x 3
2
1 3 1 2 l Ml 12 12
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例3－2 求上述细棒对过棒之一端并与棒垂直的轴的 转动惯量.
dl
R
dJ R dm
2
因所有质元到轴心的距离均为Ｒ，
J R dm MR
2 M
2
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例3－4 求质量为M，半径为Ｒ的均质圆盘（或圆柱 ）对过质心且与盘面垂直的转轴的转动惯量。 解：设圆盘厚为 h,则整个圆盘可看成是由无穷多个 半径为r，宽为dr的圆环所组成， 设体密度为
i i i i i i i
i i i i
i
( mi ri )
2 i
令：
M Fi ri sin i
合外力矩
J mi ri
i
i
2
转动惯量
M J
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M J
上式为刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚 体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比， 与刚体的转动惯量成反比。 牛顿第二定律：F=ma。 三、转动惯量的计算
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切向方程： Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
将切向方程的两边各乘以ri，可得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri
2
把上式对刚体所有质元求和，并考虑到各质元角加 速度相同，有
F r sin f r sin 因为 f r sin 0
解 物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分 别由牛顿定律得
T1 mg sin ma A ①
mg T2 maB
又 T1 T1 , T2 T2 .
②
③
对定滑轮，由转动定律得
T2 R T1R＝J ④
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由于绳不可伸长，所以