高考数学复习知识点归类与解题方法讲解2---复数的概念与运算

−πi
非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， e 3 表示的复数位于复平
面中的
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】由欧拉公式
eix
=
cos
x
+ i sin
x
−πi
，可得 e 3
=
cos −
π 3
+ isin
−
π 3
=
1 2
−
3i， 2
则复数对应的点为 (1 , − 3 ) ， 22
< 0
0
，
解得 m < 2 ， 3
所以
m
的取值范围是
−∞,
2 3
.
故选 B．
【名师点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于基础题目.
5．【福建省厦门市第一中学 2019 届高三 5 月二检模拟考试】已知 i 为虚数单位，若
1 = a + b i(a,b ∈ R) ，则 ab = 1−i
故选 D．
【名师点睛】本题考查了复数的模的计算，属于简单题.
10．【湖南省宁乡一中、攸县一中 2019 届高三 4 月联考数学】欧拉公式 eix = cos x + i sin x （i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里
−πi
则 e 3 表示的复数位于复平面中的第四象限． 故选 D.
【名师点睛】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想
方法，是基础题． 11．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019 届高三第五次测评数学】已知复数
7/8
z
=
1+ 2i 1+ i
+
2iz
，则
z
=
A． 2 2
B． 5 2
∵复数是纯虚数，∴ a + 2 = 0 且1− 2a ≠ 0 ，
得
a
=
−2
且
a
≠
1 2
，即
a
=
−2
.
故选 D．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条
件关系是解决本题的关键，属于基础题． 4．【广东省广州市 2019 届高三第二次模拟考试数学】已知复数‫ ݖ‬ൌ ݉ሺ3 ൅ iሻ െ ሺ2 ൅ iሻ
= c + di
c2 + d 2
(a,b, c, d ∈ R) ，
其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 a + bi(a, b ∈ R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为
a2 + b2 、对应点为 (a,b) 、共轭复数为 a − bi . 4. i2 = −1 中的负号易忽略.
1．【江西省南昌市江西师范大学附属中学 2019 届高三三模数学】复数 z 满足
z
=
2−i 1+ 2i
，则复数
z
在复平面内对应的点的坐标为
A． (0, −1)
B． (0,1)
C． (1, −1)
D． (−1,0)
【答案】A
Q 【解析】
z
=
2−i 1+ 2i
=
(2 − i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−5i 5
=
−i
，
∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (0, −1) .
3/8
在复平面内对应的点在第三象限，则实数݉的取值范围是
A． (−∞,1)
B．
−∞,
2 3
C．
2 3
,1
D．
−∞,
2 3
U
(1,
+∞
)
【答案】B
【解析】 z = m(3 + i) − (2 + i) = (3m − 2) + (m −1)i ，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，则
3m − 2 m −1<
z 2
=
3 4
+i
，所以
z 2
=
3 4
−i
，
5/8
又
z 1
=
3
+
4i
，
所以
z 1
⋅
z 2
=
(3 +
4i
)
3 4
− i
=
9 4
− 3i
+ 3i
+
4
=
25 4
.
故选 A.
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数的共轭复数，熟记运算法则与
共轭复数的概念即可求解，属于常考题型.
8．【河南省重点高中 2019 届高三 4 月联合质量检测数学】若复数‫ݖ‬的共轭复数在复平
与 c + d i 相等的充要条件是 a = c 且 b = d ．复数相等的充要条件是化复为实的主要
依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚
部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019 届高三第五次测评数学】已知复数
高考数学复习知识点归类与解题方法讲解
专题 02 复数的概念与运算
【命题方向】 考查对复数概念的理解、复数四则运算法则的掌握，考查复数的基础知识的掌握和基 本的运算能力.
【命题规律】 从近三年高考的情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数 相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一 般在选择题中出现，难度不大，考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数 的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数 的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.
1/8
②| z |=| a + bi |= a2 + b2 .
【方法总结】 1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数 形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数 化是解决复数问题最基本的思想方法．
2.复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ i ”的多项式合并同类
【答题模板】 解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：构造（求出）未知复数，设 z = a + bi(a,b ∈ R) ，根据具体的要求设定 a,b （或求出 a,b ）；
第二步：借助复数的四则运算法则或几何意义，列式 求出需求结果，
( ) 由
z 1
z 2
=
a + bi c + di
=
(a + bi)(c − di) (c + di)(c − di)
算能力，属于基础题．
12．【山东省郓城一中等学校
2019
届高三第三次模拟考试数学】若复数
z1,
z 2
在复平面
z
z 内的对应点关于虚轴对称， 1
= 1+ i ，则
1
z
=
2
A． i
B． −i
C．1
D． −1
【答案】B
Q 【解析】
z 1
=1+
i
，复数
z 1
,
z 2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴
z 2
=
=
ac + bd c2 + d2
+
(bc − ad ) i c2 + d 2
c2 + d2 ≠ 0 ，
z 1
⋅
z 2
=
(a
+
bi) ⋅ (c
+
di)
=
(ac
−
bd )
+
(ad
+
bc)i
等求出需求的结果；
来第三步：关注易错点，检验， ①共轭复数 ：a ＋bi(a，b∈R)与 c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c， b＝－d；
项，复数的乘法与多项式的乘 法相类似，只是在结果中把 i2 换成－1.除法运算则先将
除式写成分式的形式，再将分母实数化.
3.对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
(a + bi)(c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i(a,b, c.d ∈ R) ，
a + bi (ac + bd ) + (bc − ad )i
A．1
B． 2
C． 2 2
D．2
【答案】C
【解析】 i 为虚数单位， 1 = a + b i(a,b ∈ R) ，则 1 = 1+ i = a + b i ，
1−i
1−i 2
根据复数相等得到
a b
= =
1 2 1 2
，
4/8
所以 ab
=
(
1
)
1 2
=
2 ．
22
故选 C．
【名师点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念，复数 a + bi
【名师点睛】本题考查共轭复数的求解，涉及复数的运算，属于基础题.
2．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区 2019 届高三 5 月校级联合考试数学】
已知 z = 1 − i2019 ，则 z + 2i =
A． 10
B． 2 2
C．2
D． 2
【答案】A
【解析】由 z = 1− i2019 = 1+ i ，得 z + 2i = 1+ 3i = 12 + 32 = 10 .
C． 2
D． 5
【答案】A
【解析】由题意知 z =
1+ 2i
(1+ i) (1-
2i)
1+ 2i = 3- i
=
(1+ 2i) ( 3 + i) ( 3 - i) ( 3 + i)
=
1+ 7i 10 ，
z 故
=
1
12 +72 =
2.
10
2
故选 A.
【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计
面内所对应的点的坐标是ሺ2, െ1ሻ，则‫ݖ‬ሺ1 െ iሻ ൌ
A．3 ൅ i
B．3 െ i
C．െ3 ൅ i
D．െ3 െ i
【答案】B 【解析】因为复数‫ݖ‬的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标是ሺ2, െ1ሻ， 所以‫ݖ‬ҧ ൌ 2 െ i，则‫ ݖ‬ൌ 2 ൅ i， 所以‫ݖ‬ሺ1 െ iሻ ൌ ሺ2 ൅ iሻሺ1 െ iሻ ൌ 3 െ i.
中正确的是 A．|‫ |ݖ‬൏ 2
B．|‫ |ݖ‬൐ 3
6/8
C．|‫| ് |ݖ‬1 ൅ 2i|
D．|‫ |ݖ‬ൌ |1 െ 2i|
【答案】D 【解析】复数‫ ݖ‬ൌ െ1 ൅ 2i，|‫ |ݖ‬ൌ ඥ2ଶ ൅ ሺെ1ሻଶ ൌ √5，排除 A，B； 由|1 െ 2i| ൌ |1 ൅ 2i| ൌ √5，得|‫ |ݖ‬ൌ |1 െ 2i|.
故选B．
【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．注意
对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查
除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的 化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 9．【湖北省 2019 届高三 4 月份调研考试数学】已知复数‫ ݖ‬ൌ െ1 ൅ 2i，则下列关系式
i ⋅ z = 2 + i （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是
A． −1 + 2i
B． - 1- 2i
C．1- 2i
D．1+ 2i
【答案】D
【解析】Qi ⋅ z = 2 + i ，∴ z = 2 + i = − (2 + i)i = 1− 2i ，
i
2/8
∴ z = 1+ 2i .
故选 D.
−1+ i ，
∴
z 1
z 2
=
1+ i −1+ i
=
(1+ i)(−1− i) (−1+ i)(−1− i)
=
−2i 2
=
−i
.
故选 B.
【名师点睛】本题主要考查了复数的对称关系，考查了复数的除法、乘法运算， 属于基础题.
8/8
故选 A.
【名师点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数的除法运算，属于基础题.
7．【广东省汕头市
2019
届高三第二次模拟考试（B
卷)数学】已知复数
z 1
=
3
+
4i
，
z 2
=
3 4
+
i
，则
z 1
⋅
z 2
等于
A． 25 4
B． 4 i 3
C． 25 − 4 i 43
D． − 25 i 4
【答案】A
【解析】因为
wk.baidu.com
故选 A．
【名师点睛】本题考查复数幂的运算以及复数模的计算公式，属于基础题.
3．【广东省东莞市 2019 届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】已知 a 为实数，
若复数 (a + i)(1− 2i) 为纯虚数，则 a =
A． − 1 2
C．
1 2
【答案】D
B． 2 D． −2
【解析】 (a + i)(1− 2i) ＝ a + 2 + (1− 2a)i ，