(完整word版)2004-2010华中师范大学数学分析考研真题

2004年数学分析
1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)
(1)2
1
sin
lim(cos )
x
x x →
(2)n
(3)74
lim x x →∞
- (4)1lim sin
(sin
)2n
n k k n n
π
π
→∞
=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在
[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=
3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b
a f f ⋅'⋅=')
()(2ηηξ.
4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()
f x e
在],[b a 上也是黎曼可积的.
5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有
1212|()()|||n n M
f x f x x x n -≤
-(0>M ),证明:lim ().'()0b
n n a
g x f x dx →+∞=⎰
.
6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:
(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）
上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .
7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至
少存在一点ξ,使得(3)
()3f
ξ=.
8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且
00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,
证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值.
2005年数学分析
1.求下列极限或指定函数的值:
(1)1!2!3!!
lim !n n n →∞+++
+(10分) (2)lim 62n n
→∞
(10分)
(3)1
3
2
lim [().2
x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且
1
30()lim(1)x x f x x e x
→++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()
(,)()()'()
f a f f a b
g g b g ξξξξξ-∈=-(使
.
3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4
24
2
max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰.
4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设
lim n n x l →+∞
=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.
5.(13)证明:函数项级数11((1))x n
n x e n
n ∞
=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛.
6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1
()()2b
a
a b f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数1
01..!x
n t n n a t e dt n ∞
-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，
()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.
9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得
31
()()()().
''()
224
b
a
a b f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰
2006年数学分析
1.(30) (1)1
11
sin
)1(sin lim
121
----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3)
dx x
x ⎰+
ln 1
ln ln . (4)设y
x y x y x f y arcsin
)1(),(2-+=,求)1,(x f x '
. (5)dxdy e y x y x
D
2
2
)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=L
ydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点
)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =.
2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续.
(2)()lim ()lim ()x x a
f a f x f x +
+→∞
→=存在，但不一定存在.
(3)若)(lim x f x +∞
→存在，且)(lim )(lim x f x f a
x x +→+∞
→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。

3.(20)设)(x f 在]1,0[上连续,)1()0(f f =,(1)证明: 存在01[0,]2x ∈,使得001
()()2
f x f x =+.
(2)试推测|:对任意正整数n ,是否存在01[0,]n x n -∈,使得001
()()f x f x n
=+,并证明你的结论.
4.(10)设)(x f 在[0,)+∞上连续,且0)(>x f ,记0
()()()x
x
tf t dt
x f t dt
ϕ=
⎰⎰
, (1)求0lim ()x x ϕ+
→. (2)证
明:()x ϕ在(0,)+∞上是严格单调递增. 5.(10)证明: 若
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛,则)(12311
-∞
=+++∑n n n a a a a 也绝对收敛.
6.(15)设)(x f 在[0,]2
π上连续,证明: (1){sin }[0]2n
x π在，上不一致收敛. (2){sin ()}[0]2n x f x π（
）在，上一致收敛的充要条件是()02
f π=.
7.(10)设),,(z y x f 为3R 上的n 次齐次函数:对),,(),,(,0z y x f t tz ty ta f t n =>∀,且具有一阶连续偏导数,'(,,)0z f x y z ≠,
若方程(,,)0f x y z =确定了可微的隐函数(,)z g x y =,证明:(,)z g x y =必为一次齐次函数. 8,(20)设(,)f x y 2在R 上具有二阶连续的偏导数,证明:
(1)对2
R 内任意光滑简单闭曲线L ，总有2222()L D
f f f ds dxdy n x y ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰⎰，其中n 为L 的外法方向，f
n ∂∂是
(,)f x y 沿n 的方向导数，D 是L 围成的有界闭区域;
(2)(,)f x y 为2
R 是的调和函数（即22220f f x y
∂∂+≡∂∂）的充要条件是对2
R 内的任意光滑简单闭曲线L ，总
有0L
f
ds n
∂=∂⎰
. 9.(15)设n 是正整数,给定方程1n
x x +=,证明: (1)此方程仅有惟一的正根(0,1)n x ∈. (2)lim 1n n x →∞
=.
2007年数学分析
1.(30) 计算题:
(1)1
)]
1
sin[sin(ln )1(ln lim 2
30
--→x x e x x . (2) 设x x x x y +=ln ,求y '.
(3)
dx e x dx e x x ⎰
⎰
+∞
-+∞
-⋅0
20
4
4
.
(4)设),(y x f 可微,且b f a f f y x ===)1,1(,)1,1(,1)1,1(,令)],(),,([)(x x f x x f f x F =,求)1('F . (5)dxdy e
y x y x D
2
22)(3
3
)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D .
(6) 求⎰-=L
x x ydx e ydy e I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,2(A 的下半圆周x y x 222=+.
2.(25)设)(x f 在),0(+∞上可导,且
)(x f x '⋅在),0(+∞上有界,证明: (1))(x f 在),0(+∞上一致连续.
(2))(lim )0(0
x f f x +→+=存在.(3)若将条件“)(x f x '⋅在),0(+∞上有界”改为“)(lim 0
x f x x '⋅+→和
)(lim x f x x '⋅+∞
→都存在”,试问: 还能否推出)(x f 在),0(+∞上一致连续.如果能请证明你的结论，如果
不能请举反例.
3.(25)设)(x f 在),0(+∞内4阶可导, (1) 证明:若)(lim x f x ∞
→和)(lim x f x '∞
→都存在,则0)(lim ='∞
→x f x .
(2) 若)(lim x f x ∞
→和)(lim 4x f x ）（∞
→都存在,是否能推出对任意的正整数41≤≤k ,)(lim x f k x ）（∞
→都存在且为0,
请证明你的结论.
4.(10)设)(x f 在[0,)+∞上连续,且A x f x =∞
→)(lim (A 可以为∞+或∞-),试证:⎰
=+∞→x
x A dt t f x 0)(1lim
. 5.(15)设∑==
≥n
k k n n a s a 1
,0,证明:
∑∞
=1
n n a 收敛⇔∑
∞
=1n n
n
s a 收敛. 6.(15)若n a 单调递减,且0lim =∞
→n n a ,证明:
(1)∑∞
=1cos n n nx a 在]2,[απα-上一致收敛,其中πα≤≤0. (2)
∑∞
=1
cos n n
nx a
在]2,[απα-上一致收敛
的充要条件是∑∞
=1
n n a 收敛.
7.(15)设),(y x u u =是由方程组⎩⎨⎧='+'+++=0
)()()
()(z g z f y x z g z yf zx u 所确定的二阶连续可微隐函数,其中g f ,有二阶连续
的导数,证明:0)(2
22222=∂∂∂-∂∂⋅∂∂y x u y
u x u .
8.(15)设),,(z y x f 上3R 具有二阶连续的偏导数,证明:
(1)对3
R 内任意光滑简单闭曲面S ,总有dxdydz z f
y f x f dS n f V
S )(222222∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ,其中n 为S 的外法方向,f n ∂∂是
),,(z y x f 沿n 的方向导数,V 是S 围成的有界闭区
域; (2) ),,(z y x f 为3
R 是的调和函数（即0222222≡∂∂+∂∂+∂∂z
f
y f x f ）的充要条件是对3R 内的任意光滑简单
闭曲线S ，总有0=∂∂⎰⎰dS n f
S
.
2008年数学分析
1.(36)计算题: (1) n n n n n n
)12()1(1
lim -+∞→ (2)
dxdydz z y x t t z y x t ⎰⎰⎰
≤++→+++2
2222
224
0sin 1lim (3) 求曲线积分⎰+-L
y
x ydx
xdy 2
29,其中L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.
2.(15)设函数)(x f 在),0[+∞上具有连续的导函数,且)(lim x f x '∞
→存在有限,10<<α,是一个常数,证明:)
(αx f 在),0[+∞上一致连续.
3.(15)设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续且在),(b a 内可导,试证:在),(b a 内存在点ξ,使得
)()]()([)()]()([ξξf a g b g g a f b f '-='-.
4.(20)证明:函数项级数∑∞
=-=
1
)(n nx
ne
x f 在),0(+∞上收敛,但不一致收敛,而和函数)(x f 在),0(+∞上可以
任意次求导.
5.(20)证明:方程)sin(2xy y x =+在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数)(x f y =,并)0(y '计算的值.
6.(14)证明:若函数)(x f 在],[b a 上无界,则必存在],[b a 上的某点,使得)(x f 在该点的任何邻域内无界.
7.(12)设函数u 在),0[+∞上连续可微且
+∞<'+⎰
dx x u x u ))()((2
2,试证:(1)存在),0[+∞中的子列
∞=1}{n n x 使得当∞→n 时, +∞→n x 且0)(→n x u
(2)存在某常数0>C ,使得2
1
2
2}
,0[)))()(((
)(sup dx x u x u C x u x ⎰
∞
++∞∈'+≤
8.(18)设3R ⊂Ω为有界闭区域,且具有光滑边界+∞<<Ω∂T 0,.(1)设v u ,是Ω上具有连续二阶偏导数的函
数,试证:dS n u v dxdydz v u dxdydz u v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∂ΩΩ∂∂+∇∇-=∆,其中222222z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆,u ∇为u 的梯度, n u
∂∂为
u 沿区域的边界的外法向n
的方向导数;(2)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续一阶偏导数,试证:
),0[,),,,(),,,(T t dxdydz t z y x t u
dxdydz t z y x u dt d ∈∀∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω;(3)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续二阶偏导数且满足
3u u t
u
+∆=∂∂若u 在
),0[T ⨯Ω上恒为零记2222
)()()(
z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∇,试证dxdydz u u t E ⎰⎰⎰Ω
-∇=)4121()(42
在),0[T 上是减函数.
2009年数学分析
1.(30)计算题: (1)1
)1()]
ln 1
cos[sin(
)sin(lim 0
-++
→β
αx x x x (2) 计算二重积分dxdy y y
D
⎰⎰sin ,其中D 是由0,1,===x y x y 围成的区域.
(3) 求曲线积分⎰
-+----C y x dx
y dy x 2
2)2()1(4)2()1(其中C 为平面内任意一条不经过点)2,1(得正向光滑封闭简单曲线
2.(12)设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内,若对任意的),(b a c ∈,都有)(lim x f c
x →存在,且)(lim x f a
x +→和)
(lim x f b
x +→也存在，则)(x f 在开区间),(b a 内有界.
3.(12)证明:含参量反常积分dy xe xy ⎰+∞
-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.
4.(20)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可微,且存在0>M ,使得M x x f x f x x 2)()(),1,0(<-'∈∀,证明: (1)
x
x f )
(在]1,0[内一致连续. (2))(lim 0x f x +→存在.
5.(20)证明下面结论: (1)若)(x f 在]1,0[上连续,则⎰=∞→1
0)(lim dx x f x n x . (2)若)(x f 在]1,0[上连续可微,则
⎰=∞
→1
0)1()(lim f dx x f x n n n .
6.(18)设⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0 , 00
,sin ),(222
222222y x y x y x y x y x y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性.
7.(20)设函数列)}({x f n 中的每一项函数)(x f n 都是],[b a 上的单调函数,试证明:(1)若∑∞=1
)(n n a f 和∑∞
=1
)(n n b f 都
绝对收敛,则∑∞
=1
)(n n x f 在],[b a 上一致收敛.
(2)若每一项函数)(x f n 的单调性相同,且∑∞=1
)(n n a f 和∑∞
=1
)(n n b f 都收敛，则在上一致收敛.
8.(18)设f 连续,证明:(1)证明:
⎰⎰⎰
⎰--=V
dx x x f dxdydz z f 1
1
2)1)(()(π,其中1:222≤++z y x V .(2)记函数
dxdydz cz by ax f c b a F V
⎰⎰⎰++=)(),,(,其中1:222≤++z y x V ,证明:
球面1222=++c b a 为函数),,(c b a F 的等值面,即),,(c b a F 在球面1222=++c b a 上恒为常数,并求出此常数.
2010年数学分析
1.(30)计算题: (1)设函数)(x f 定义在),(+∞-∞上,满足:1)0()(lim ,cos )()2(0
===→f x f x x f x f x ,求)(x f . (2)
设⎰=40
tan π
xdx a n
n ,求)(1
21+∞
=+∑n n n a a n
的值.
(3) 求曲线积分dz y x dy x z dx z y L
)()()(-+-+-⎰,其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的
交线,方向从z 轴正向看是逆时针的.
2.(12)设0,)(>=αα
x x f ,证明:当10≤<α时, )(x f 在),0(+∞上一致连续; 当1>α时, )(x f 在)
,0(+∞上不一致连续.
3.(12)证明:含参量x 反常积分dy xe xy ⎰+∞
-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.
4.(20)函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于点
))(,(c f c (b c a <<),证明:存在),(b a ∈ξ,使得0)(=''x f .
5.(20)设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛,且对任意],[b a x ∈存在x 的邻域)(x U ,使得)}({x f n '
在
],[)(b a x U ⋂上一致有界,证明:
(1))}({x f n '
在]1,0[上一致有界. (2))}({x f n 在]1,0[上一致收敛.
6.(20)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
, 00
),ln(),(2
22
222y x y x y x xy y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性. 7.(20)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数,且+∞<⎰
+∞
dx x f 0
)
(1
,证明: (1)存在数列),2,1)(,0[ =+∞∈n x n 满足:}{n x 严格单调递增,+∞=+∞=∞
→∞
→)(lim ,lim n n n n x f x . (2)
+∞=⎰
+∞→dt t f x
x
x 0
2)(1lim .
8.(16)已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数,记
z y x z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∆,222222
(1)证明:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅-∂∂=∇⋅∇V
V
S
dxdydz f g dS n f
g
dxdydz f g )()(,其中n 表示S 的外法线方向,S 为球面1222=++z y x .
(2)若222z y x f ++=∆,试计算:dxdydz z f
z
y x z y f z y x y x f z y x x
I V
)(
222222222∂∂+++∂∂+++∂∂++=⎰⎰⎰.。