高考数学试题分类汇编专题不等式选讲

高考数学试题分类汇编专题不等式选讲

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题二十 不等式选讲

1.（15年福建理科）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．

(Ⅰ)求a b c 的值；

(Ⅱ)求

2221149

a b c 的最小值． 【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87． 【解析】

试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得()||||f x x a x b c 的最小值为|a |b c ，故|a |4b c ，即a b c 4 ；(Ⅱ)利用柯西不等式2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++≥++求解．

试题解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c

当且仅当a

x b 时，等号成立 又0,0a b ，所以|a b |a b ,所以(x)f 的最小值为a b c ,

所以a b c 4．

(Ⅱ)由(1)知a b c 4，由柯西不等式得

22222114912+3+1164923a b a b c c a b c , 即222118497

a b c . 当且仅当1132231b a c ,即8182,,777a b c 时，等号成立 所以2221149

a b c 的最小值为87. 考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．

2.（15年新课标2理科）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：

（1）若ab > cd ；则a b c d +>+；

（2）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件。

3.（15年新课标2文科）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：

（I ）若ab cd > ,a b c d >

（II a b c d >a b c d -<-的充要条件.

【答案】

【解析】

试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22a b c d >,开方a b c d >（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.

试题解析：

解：（I ）因为

222,2,a b a b ab c d c d cd =++=++

考点：不等式证明.

4.（15年陕西理科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；

（II 12at bt +

【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4．

【解析】

试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II 312t t -+34t t -312t t -+

试题解析：（I ）由||x a b ，得b a x b a

则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a

,1b

（II ()()()222

23+12+34314t t t t t t ⎡⎤⎡⎤-=-≤++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 244t t 413t t ，即1t 时等号成立， 故max 3+12+4t t .

考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.

5.（15年陕西文科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；

(II)+.

【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4.

【解析】

试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩

，解得3,1a b =-=；

(II)柯西不等式得

=≤4==，

=1t =时等号成立，故min 4=.

试题解析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-

则24b a b a --=⎧⎨-=⎩

，解得3, 1.a b =-=

=

≤

4==

1=即1t =时等号成立，

故min 4=

考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.

6.（15年江苏）解不等式|23|3x x ++≥ 【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭

或

【解析】

试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可 试题解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332

x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩． 解得5x ≤-或13

x ≥-． 综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩

⎭或． 考点：含绝对值不等式的解法