《数学分析》第五章 导数和微分 3

二,微分的定义
定义 设函数y = f ( x)在某区间内有定义, x0及x0 + x在这区间内, 如果
y = f ( x0 + x) f ( x0 ) = A x + o(x) 成立 其中A是与x无关的常数), 则称函数 ( y = f ( x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y = f ( x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x=x0 或df ( x0 ), 即dy x=x0 = A x.
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数 使 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立. 等式成立
(1) d ( ) = cos ωtdt ;
( 2) d (sin x 2 ) = ( )d ( x ).
解 (1) Q d (sin ωt ) = ω cos ωtdt ,
1 1 ∴ cos ωtdt = d (sin ωt ) = d ( sin ωt ); ω ω 1 ∴ d ( sin ωt + C ) = cos ωtdt . ω d (sin x 2 ) 2 x cos x 2 dx ( 2) Q = = 4 x x cos x 2 , 1 d( x) dx 2 x ∴ d (sin x 2 ) = (4 x x cos x 2 )d ( x ).
例4
设 y = e ax sin bx , 求dy .
解 dy = e ax cos bxd (bx ) + sin bx e ax d ( ax )
= e ax cos bx bdx + sin bx e ax ( a )dx = e ax (b cos bx a sin bx )dx .
结论: 结论:无论x是自变量还是中间变量, 函数
y = f ( x)的微分形式总是 dy = f ′( x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y = sin( 2 x + 1), 求dy . 解 Q y = sin u, u = 2 x + 1.
∴ dy = cos udu = cos( 2 x + 1)d ( 2 x + 1) = cos( 2 x + 1) 2dx = 2 cos( 2 x + 1)dx .
六,微分形式的不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x ),
(1) 若x是自变量时 , dy = f ′( x )dx;
( 2) 若x是中间变量时 , 即另一变量 t 的可 微函数 x = ( t ), 则 dy = f ′( x )′( t )dt (t
Q ′( t )dt = dx , ∴ dy = f ′( x )dx .
(1) (2)
x0x
x0
(1) : x的线性函数且为 A的主要部分 , ; (2) : x的高阶无穷小当x 很小时可忽略 , .
再例如, 再例如 设函数 y = x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
3 y = ( x 0 + x ) 3 x 0
2 = 3 x 0 x + 3 x 0 ( x ) 2 + ( x ) 3 .
∴ y = A x + o( x ),
o( x ) y , ∴ = A+ x x
o( x ) y 则 lim = A + lim = A. x → 0 x x → 0 x
即函数 f ( x )在点 x0 可导, 且A = f ′( x0 ).
(2) 充分性 Q函数f ( x )在点x 0 可导,
思考题
因为一元函数 y = f ( x ) 在 x 0 的可微性与 可导性是等价的,所以有人说" 可导性是等价的,所以有人说"微分就是导 导数就是微分" 这说法对吗? 数,导数就是微分",这说法对吗?
思考题解答
说法不对. 说法不对 从概念上讲, 从概念上讲,微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的, 出线性主部而得到的,导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限,它们是完全不同的概念. 的极限,它们是完全不同的概念
. ∴可导可微
A = f ′( x0 ).
函数y = f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作dy或df ( x), 即dy = f ′( x)x.
例1 求函数 y = x 3 当 x = 2, x = 0.02时的微分 . 解 Q dy = ( x 3 )′x = 3 x 2 x .
§5 微分
一,问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x 0 变到x 0 + x ,
x0
x
(x)2
x
Q 正方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面积 A = x0 ,
2
2 ∴ A = ( x 0 + x ) 2 x 0
x0x
A= x0 = 2
= 2 x 0 x + ( x ) 2 .
★ 导数与微分的区别 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x ) 在点 x0处的导数是一个定数 f ′( x0 ), 而微分 dy = f ′( x0 )( x x0 ) 是x x0的线性函数 , 它 的定义域是 R, 实际上 , 它是无穷小 . Q lim dy = lim f ′( x 0 )( x x 0 ) = 0.
(1)
(2)
当 x 很小时 , (2)是x的高阶无穷小o(x),
2 ∴y ≈ 3x0 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数 改变量的主要部分 改变量的主要部分)是否 问题:这个线性函数(改变量的主要部分 是否 所有函数的改变量都有?它是什么 如何求? 它是什么?如何求 所有函数的改变量都有 它是什么 如何求
. 微分的实质) 微分dy叫做函数增量y的线性主部(微分的实质)
由定义知: 由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数;
( 2) y dy = o( x )是比 x高阶无穷小; ( 3) 当A ≠ 0时, dy与y是等价无穷小;
y o( x ) Q = 1+ → 1 ( x → 0). dy A x
解 dy = cos x d (e 1 3 x ) + e 1 3 x d (cos x )
Q (e 1 3 x )′ = 3e 1 3 x , (cos x )′ = sin x . ∴ dy = cos x ( 3e 1 3 x )dx + e 1 3 x ( sin x )dx = e 1 3 x ( 3 cos x + sin x )dx .
x → x0 x → x0
2. 从几何意义上来看 , f ′( x0 ) 是曲线 y = f ( x ) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 , 而微分 dy = f ′( x0 ) ( x x0 )是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量 .
二,求下列函数的微分: 求下列函数的微分 : x 1, y = ; 2 x +1 2, y = [ln(1 x )]2 ; 3, y = arcsin 1 x 2 ; 1 x2 4 , y = arctan ; 2 1+ x 5, 5 , y = e π 3 x cos 3 x , 求 dy x = π ; 6,求由方程 cos( xy ) = x 2 y 2 所确定的 y 微分. 6, 微分.
四,微分的几何意义
几何意义:(如图) 几何意义:(如图) :(如图
y
T N P
o( x )
当y是曲线的纵 坐标增量时 , dy 就是切线纵坐标 对应的增量 .
o
y = f (x)
)
M
dy y
x
α
x0
x0 + x
x
当 x 很小时 , 在点M的附近 , 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
五,微分的求法
d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) = dx 2 1+ x
2. 函数和,差,积,商的微分法则 函数和,
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv
七,小结
★ 微分学所要解决的两类问题 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 导数的概念 微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法. 求导数与微分的方法 叫做微分法 叫做微分法 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 研究微分法与导数理论及其应用的科学 叫 微分学. 做微分学 ★ 导数与微分的联系 可导可微. 导数与微分的联系: 可导
(4) A是与 x无关的常数 , 但与 f ( x )和x 0 有关;
(5) 当 x 很小时 , y ≈ dy (线性主部 ).
三,可微的条件
定理
函数 f ( x)在点x0可微的充要条件是函
数 f ( x)在点x0处可导, 且 A = f ′( x0 ).
证 (1) 必要性 Q f ( x )在点 0 可微 , 在点x
d (Cu ) = Cdu u vdu udv d( ) = v v2
例2 设 y = ln( x + e ), 求dy .
x2
解 例3
Q y′ =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
,
∴ dy =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
dx .
设 y = e 1 3 x cos x , 求dy .
3
练习题答案
一,1 ,- 2 ; 曲线的切线上点的纵坐标的相应增量; 2 , 曲线的切线上点的纵坐标的相应增量; 1 高阶; 4, 3 , 高阶; 4, cos ωx + C ;
dy = f ′( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 求法: 计算函数的导数 乘以自变量的微分 1.基本初等函数的微分公式 基本初等函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x ) = x 1 dx d (cos x ) = sin xdx
练 习 题
一,填空题: 填空题 : 1, 已知函数 f ( x ) = x 2 在点 x 处的自变量的增量为 0.2, =0.8, 0.2,对应的函数增量的线性全部是dy =0.8,那么 的始值为__________. 自变量 x 的始值为 __________. 微分的几何意义是__________. 2, 微分的几何意义是__________. 是可微函数, 3, 若 y = f ( x ) 是可微函数,则当 x → 0 时, ________无穷小 无穷小. y dy 是关于 x 的________ 无穷小. 4, d ____________ = sin ωxdx . 5, d ____________ = e 2 x dx . 6, d ____________ = sec 2 3 xdx . 7, y = x 2 e 2 x , dy = e 2 x d ______ + x 2 d ______ . e2x ) = _________ de x = ________ dx . 8, d (arctan 2
∴ dy
x=2 x = 0.02
= 3 x 2 x
x=2 x = 0.02
= 0.24.
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分 , dx 记作dx, 即 = x.
dy ∴ dy = f ′( x )dx . = f ′( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数 . 导数也叫" 微商".
y ∴ lim = f ′( x 0 ), x → 0 x
y 即 = f ′( x 0 ) + α , x
从而 y = f ′( x 0 ) x + α ( x ),
Q α → 0 ( x → 0),
= f ′( x 0 ) x + o( x ),
Q函数 f ( x )在点 x0可微 , 且 f ′( x0 ) = A.
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = csc x cot xdx
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1 x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x