第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)

T

X (e
j
)
k

[ ( 2 k

2
) ( 2 k

2
)]
(4.2.10)
第四章 DFT与其快速算法
X a (jΩ )
π
（a ）
Ω
2π f0 0 2π f0
＾ (jΩ ) Xa

… （b ） － Ωs

s
2
T
s
2
Ω
…
Ω
2π f0 0 2π f0
X a ( j
2 T
r )e
j n T
e
j 2 rn
d
式中， 因为r和n均取整数， e-j2πrn=1， 交换求和
号和积分号得到
xa (nT ) 1 2

n /T / T
r


X a ( j
2 T
r )e
j n T
d
(4.2.5)
第四章 DFT与其快速算法
~
~
和时
的傅里叶变换以及
第四章 DFT与其快速算法
Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数， 强度为π，
如图4.2.2(a)所示。 以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采 样信号
~
， 按照(1.5.2)式， x a (t)
x a (t )
~
与xa(t)的关系式为 x a (t)
~
n
… （b ） － Ωs

s
2
T
s
2
Ω
…
Ω
2π f0 0 2π f0
X (e j ω )
s
π
… （c ）
2π
…
ω
π

2
0
2
π
2π
图 4.2.2
例4.2.1图
第四章 DFT与其快速算法
X a ( j ) F T [ x a ( t )]



1 T
k


第四章 DFT与其快速算法
第四章 DFT与其快速算法
时域 方法 周期连续信号 傅里叶级数 非周期连续 傅里叶变换 序列（非周期连离散） 傅里叶变换
频域 离散非周期 连续非周期 连续周期
一个域的离散化对应另一个域的周期性化
从上可以看到序列对应的频域是连续，计算机适用性有 问题？时域、频域均离散，DFT（离散傅里叶变换）

X a ( j jk s ) [ ( k s 2 f 0 ) ( k s 2 f 0 )]

T
(4.2.9)
k
X a ( j )
如图4.2.2(b)所示。 将采样信号转换成序
列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) 按照(4.2.7)式， 得到x(n)的FT， 实际上只要将 Ω=ω/T=ωfs代入
1 2
r

( 2 r 1 ) / T ( 2 r 1 ) / T
X a ( j ) e
j n T
d
第四章 DFT与其快速算法
令

2 T
r
， 代入上式后， 再将Ω′用Ω
代替， 得到
xa (nT ) 1 2

r

n /T / T
第四章 DFT与其快速算法
4.3.3 DFT的隐含周期性
如果序列是由一模拟信号取样产生， 则序列的数字频
率ω与模拟信号的频率Ω(f)成线性性关系， 如(1.2.10) 式所示， 重写如下：
ω=ΩT 式中T是采样周期T=1/fs，
xa (nT ) 1 2



1 T
r


X a( j

T
j
2 T
r )e
j n
d
(4.2.6)
现在对比(4.2.1)式和(4.2.6)式， 得到
X a ( j )

中即可。
第四章 DFT与其快速算法
X (e
j
)

T
k


[ ( f s k 2 f s 2 f 0 ) ( f s k 2 f s 2 f 0 )]
将fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式， 求括弧中公 式为零时的ω值， ω=2πk±π/2， 因此X(ejω)用下式表示：
注意上面式中n取整数， 否则无定义。 x(n)的一对
傅里叶变换用(4.2.1)式和(4.2.4)式表示， 重写如下：
j
X (e
) 1 2
n


x (n )e
j n
x(n )


X (e
j
)e
j n
d
第四章 DFT与其快速算法
X(e
jω)与X (jΩ)之间有什么关系， a
X ( z ) Z T [ x ( n )]

N 1
x (n ) z
n
n0
X ( k ) D F T [ x ( n )]

N 1
x ( n )W N
kn
0 k N -1
n0
比较上面二式可得关系式
第四章 DFT与其快速算法
图 4.3.1 X(k)与X(e jω)的关系
~
(1 / N ) X (。 k)
~
其波
(1 / N ) X (1)
。 一个周期
序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
第四章 DFT与其快速算法
例 4.1.1设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进
行周期延拓， 列
~
得 到 如 图 4.1.1(a) 所 示 的 周 期 序
~
x(n )
X (e
j
)
1 T
r


X a( j

T
j
2 T
r)
(4.2.7)
序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的 关系， 都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓
第四章 DFT与其快速算法
－ fs － 1
fs 2
－ 0 .5
0 0
fs 2
0 .5
fs 1
f f′

－ 1
j 2 N mn
， 并对n在一个周期N中求和
第四章 DFT与其快速算法
N ,k m 0, k m
(4.1.2)
因此
ak 1 N

N 1
~
j
2 N
km
x (n )e
-∞<k<∞
(4.1.3)
n0
上式中， k和n均取整数， 函数， 可表示成
是周期为N的周期
第四章 DFT与其快速算法
X (k )
2 8

7
x ( n )W 8 sin ( sin (
kn

n0
N 0

3
j
kn
e

2
e
3 j k 8
k) , k 0,1, , 7 k)
8
第四章 DFT与其快速算法
4.3.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
~
~
n

x a ( n T ) ( t n T )
采样信号 x a ( t ) 和连续信号xa(t)， 它们的傅里叶 变换之间的关系， 由采样定理， 重写如下：
第四章 DFT与其快速算法
下面我们研究如果时域离散信号x(n)， 或称序列
x(n)， 是由对模拟信号xa(t)采样产生的， 即在数值上 有下面关系式成立： x(n)=xa(nT) (4.2.3)


c os( 2 f 0 n T ) ( t n T )
x a ( t ) 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定， 即以Ωs=2πfs
~
为周期， 将Xa(jΩ)周期延拓形成， 得到：
第四章 DFT与其快速算法
X a (jΩ )
π
（a ）
Ω
2π f0 0 2π f0
＾ (jΩ ) Xa

k 2 r )
x(n )
FT如下式
第四章 DFT与其快速算法
j
X (e
) F T [ x ( n )]
~

N 1
2 x ( k ) N
~
k 0
r


(
2 N
k 2 r )
式中k=0, 1, 2 … N-1, 如果让k在±∞之间变化， 上 式可简化成
， 周期为8， 求
x(n )
的DFS。
解： 按照(4.1.4)式
第四章 DFT与其快速算法
3 j k 8
sin sin

2
k k
e
8
其幅度特性 X ( k ) 如图4.1.1(b)所示。
~
第四章 DFT与其快速算法
图 4.1.1
例4.1.1图
第四章 DFT与其快速算法
4.1.2 周期序列的傅里叶变换
在模拟系统中， x a ( t )
e
j 0 t
， 其傅里叶变换是在
Ω=Ωo处的单位冲激函数， 强度是2π， 即
X a ( j ) F T [ x a ( t )]


e
j 0 t
e
j t
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dt
(4.1.8)
2 ( 0 )
对于时域离散系统中， x(n)=e jωon， 2π/ωo为 有理数， 也是在ω=ω0处的单位冲激函数， 强度为2π， 但由于n取整数， 下式成立
X(k)的离散傅里叶逆变换x(n)为
x ( n ) IDFT [ X ( k )] 1 N

N 1
X ( k )W N
j
kn
,
n 0 ,1, 2 , , N 1
k 0
离散傅里叶变换对。
2 N
WN e
第四章 DFT与其快速算法
例 4.3.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点DFT 设变换区间N=8， 则
e
j 0 n
e
j ( 0 2 r ) n
, r 取整数
第四章 DFT与其快速算法
因此e jω0n的FT为
X (e
j
) F T [e
j 0 n
]
r


2 ( 0 2 r )
(4.1.9)
上式表示复指数序列的FT是在ω0±2πr处的单位 冲激函数，强度为2π
X (e j ω )
s
π
… （c ）
2π
…
ω
π

2
0
2
π
2π
图 4.2.2
例4.2.1图
第四章 DFT与其快速算法
4.3 离散傅里叶变换
4.3.1 DFT的定义
X (e
j
) 1 2
n


x (n )e
j n
x(n )


X (e
j
)e
j n
d
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定 义x(n)的N点离散傅里叶变换为
第四章 DFT与其快速算法
图 4.1.2
e
j 0 n
的 FT
第四章 DFT与其快速算法
对于一般周期序列
~
x(n )
~
， 按(4.1.4)式展
j 2 N kn
开DFS， 第k次谐波为
指 为 数
~
( X ( x ) / N )e
， 类似于复
其
~
序
r
列
的
2 N
FT
， ，因此
FT 的
[ 2 X ( k ) / N ] (
是一个以N为周期的周期序列， 称为
的离散
傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
第四章 DFT与其快速算法
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。 周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N-1， 幅度为 分量的频率是2π/N， 幅度是
xa (t )e
j t
dt
j t
(4.2.1)

X a ( j ) e
dt
(4.2.2)
第四章 DFT与其快速算法
这里t与Ω的域均在±∞之间。 从模拟信号幅度取
值考虑， 在第一章中遇到两种信号， 即连续信号和采 样信号， 它们之间的关系用(1.5.2)式描述， 重写如下：
x a (t )
(4.1.10)
第四章 DFT与其快速算法 表 4.1.2 基本序列的傅里叶变换
第四章 DFT与其快速算法
4.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系
我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面 公式描述
X a ( j ) xa (t ) 1 2


第四章 DFT与其快速算法
4.1 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换
4.1.1周期序列的离散傅里叶级数
~
设 x(n )
~
是以N为周期的周期序列， 由于是周期
2 N
性的， 可以展成傅里叶级数
x(n )
k

j
kn
ake
(4.1.1)
式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak ， 将上 式两边乘以 e
s
s 2 0
－ 0 .5 0
s 2
0 .5

1
s



2π
－ 1
π
－ 0 .5
0 0
π
0 .5
2π
1

图 4.2.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
第四章 DFT与其快速算法
例 4.2.1设xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采相信号 x a ( t ) 域离散信号x(n)， 求xa(t)和 x a ( t ) x(n)的FT。 解：
数字频率ω与模
拟频率Ω(f)之间有什么关系， 这在模拟信号数字处理中， 是很重要的问题。 为分析上面提出的问题， 我们从
(4.2.3)式开始研究。 将t=nT代入(4.2.2)式中， 得到
xa (nT ) 1 2



X a ( j ) e
j n T
d
(4.2.4)
xa (nT )