北师大版高中数学必修5第一章 数列数列在日常经济生活中的应用习题3

[学业水平训练]

1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‟(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )

A ．5(1＋2＋3＋…＋12)元

B ．5(1＋2＋3＋…＋11)元

C ．1 000[1＋5‟＋(5‟)2＋…＋(5‟)11]元

D ．1 000＋[1＋5‟＋(5‟)2＋…＋(5‟)12]元

解析：选A.存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A.

2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )

A.S

32 B.S 34 C.S 36

D.S 38

解析：选C.一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x

＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S 36

. 3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )

A ．214

－1 B ．215

－1 C ．314－1

D ．315

－1

解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8

＝4a ，得x ＝214

－1，故选A.

4．某工厂购买一台机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‟，每月复利一次，则a ，b 满足( )

A ．b ＝a

12

B ．b ＝a （1＋5‟）12

12

C ．b ＝a （1＋5‟）

12

D.a

12

解析：选D.∵b (1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a (1＋0.005)12，∴12b

∴b

12，显然12b >a ，

即a

12

. 5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年

将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )

A ．a (1＋p )7

B ．a (1＋p )8

C.a

p

[(1＋p )7－(1＋p )] D.a

p

[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7，2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2

＋…＋a (1＋p )7

＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）

＝a

p [(1

＋p )8－(1＋p )]．

6．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．

解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，∴a n ＝100 000×(1－10%)n ，∴a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．

答案：100 000×(1－10%)n 65 610

7．已知一个正方形的边长为1 cm ，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正方形的对角线为边作正方形，这样继续下去，共作了6个正方形，那么第六个正方形(包括已知正方形)的边长是________，这6个正方形的面积和是________．

解析：由题意知所作正方形的边长依次构成一个等比数列，首项为1 (cm )，公比为2，故a 6＝a 1q 5＝1×(2)5＝4 2 (cm )，则第六个正方形的边长为4 2 cm .这6个正方形的面积

依次也构成一个等比数列，首项为1 cm 2，公比为2 cm 2

，则S 6＝1（1－26）1－2＝63(cm 2)．

答案：4 2 cm 63 cm 2

8．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．

解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）

1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝

9 910，即该君第二日读的字数为9 910.

答案：9 910

9．工薪阶层的张某欲从银行贷款，购买一套自己满意的住房．按规定，政策性住房贷款的年息为9.6%，最长年限为10年，可以分期付款．张某根据自己的实际情况估计每年最多可偿还5 000元，打算10年还清．如果银行贷款利率按单利计算，那么张某最大限额的

贷款是多少？如果银行贷款利率按复利计算呢？(参考数据：(1.096)－

10＝0.399 85)

解：按单利计算，由于一年后偿还的5 000元相当于贷款时的 5 000

1＋0.096元；两年后偿还

的5 000元相当于贷款时的

5 000

1＋0.096×2

元，…，所以，张某的最大限额贷款为：

5 000×(

11＋0.096＋11＋0.096×2＋11＋0.096×3＋…＋1

1＋0.096×10

)

≈33 854(元)．

如果银行贷款利率按复利计息，则最大限额贷款应为：