北师大版高中数学必修5第一章 数列数列在日常经济生活中的应用习题3
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
高中数学的必修五(北师大版)第1章§4数列在日常经济生活中的应用
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因 此 有 x(1 ＋ 1.075 ＋ 1.075 ＋ … ＋ 1.075 ) ＝ 48800×1.075 (元)， 所 以 x ＝ 48800×1.075 ×
10 10
2
9
课 前 自 主 学 案
an＝a1＋(n－1)d 等差数列的通项公式为：___________________ ；
课 堂 互 动 讲 练
na1＋an nn－1 ＝na1＋ d 前 n 项和公式为 Sn＝_________________________. 2 2
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第1章 数列
an＋1 ＝q(q≠0，n∈N＋) a n 2．数列{an}为等比数列⇔______________________ ；
第1章 数列
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数列 在日 常经 济生 活中 的应 用
课前自主学案
课 前 自 主 学 案
课堂互动讲练
课 堂 互 动 讲 练
知能优化训练
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第1章 数列
课前自主学案
温故夯基
课 前 自 主 学 案
an＋1－an＝d(n∈N＋) ； 1．数列{an}为等差数列⇔____________________
1.075－1 1.07510－1
≈48800×2.061×0.071≈7141(元)． ∴每年需付款 7 141 元．
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第1章 数列
【名师点评】
复利分期付款中的有关计算方法既
是重点，也是难点，突破难点的关键在于：(1)准
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2．小蕾2014年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.98%, 到2015年1月31日取款时，银行按国家规定扣除了利息税(税 率为20%——利息税占利息的百分数)138.64元，则小蕾存入 银行的本金介于( )元之间．( C ) A．1万～2万 B．2万～3万 C．3万～4万 D．4万～5万 解析：设本金为x元，由题意得(x·1.98%)·20%＝ 138.64⇒x≈3.5(万元)．
1．零存整取 零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存; 到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入
本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到约定日期后S ＝_P__(1_＋__n_r_)__． 2．定期自动转存 如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n 年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年 后，本利和为S＝__P_(_1_＋__r_)n__．
[解](1)ห้องสมุดไป่ตู้00×36＋100×2.7‰×（36＋21）×36 ＝3 779.82(元)．
(2)100×36＋100×1.725‰×（36＋21）×36×(1－20%) ＝3 691.908≈3 691.91(元)． 3 779.82－3 691.91＝87.91(元)． 即“教育储蓄”一次支取本息 3 779.82 元，比“零存整取”多 收益 87.91 元．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加 (或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称 该模型为生长模型．如分期付款问题、树木的生长与砍伐问题 等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an 与它的前一项 an －1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知 识求解问题．
【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在日常经济生活中的应用(含答案解析)
§4数列在平时经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实质问题.2.认识“零存整取” ，“定期自动转存”及“分期付款”等平时经济行为的含义．1．有关积蓄的计算积蓄与人们的平时生活亲密有关，计算积蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．依据国家规定，个人所得积蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取按期积蓄一次存入本金金额为 A ，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：________，应纳税为 ________，实质拿出金额为：________________.(2)按期存入零存整取积蓄每期初存入金额 A ，连存 n 次，每期利率为p，税率为 q，则到第 n 期末时，应获得全部利息为： _________.应纳税为： ______________，实质得益金额为__________________ ．2．分期付款问题贷款 a 元，分 m 个月将款所有付清，月利率为r，各月所付款额到贷款所有付清时也会_______________________.产生利息，相同按月以复利计算，那么每个月付款款额为：一、选择题1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把1001是较少的两份之个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的7和，则最小的一份的量为()510511A. 3B. 3C.6D. 62．某厂昨年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增添10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为 ()A． 1.14a B ． 1.15aC． 10a(1.15－ 1) D ．11a(1.15－ 1)3．某公司在今年年初贷款 a 万元，年利率为γ，从今年年终开始每年归还必定金额，估计五年内还清，则每年应归还()a(1＋γ)A.(1＋γ)5－1万元5aγ(1＋γ)4．某工厂总产值月均匀增添率为aγ(1＋γ)5B.(1＋γ)5－ 1万元aγD.5万元p，则年均匀增添率为()A． pC． (1＋ p)12B ．12pD ． (1＋ p)12－ 15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批赞同方可投入生产．已1知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n) ＝2n(n＋ 1)(2n ＋ 1)吨，但假如年产量超出150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线制定最大的生产限期是()A．5年B．6 年C．7 年D．8年二、填空题6．据某校环保小组检查，某区垃圾量的年增添率为b,2010 年产生的垃圾量为 a 吨．由此展望，该区2015 年的垃圾量为 ________吨．7．一个堆放铅笔的V 形架的最下边一层放 1 支铅笔，往上每一层都比它下边一层多放1 支，最上边一层放了120 支，这个V 形架上共放了______支铅笔．8．银行一年按期积蓄存款年息为r ，三年按期积蓄存款年息为q，银行为汲取长久资本，鼓舞储户存三年按期的存款，那么q 的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价 2 000 元，推行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每个月付款一次，共付12 次，购置后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期对付款多少？(1.00812＝ 1.1)．10．假定某市2009 年新建住宅400 万平方米，此中有250 万平方米是中廉价房．估计在此后的若干年内，该市每年新建住宅面积均匀比上一年增添8%.此外，每年新建住宅中，中廉价房的面积均比上一年增添50 万平方米．那么，到哪一年年终(1)该市历年所建中廉价房的累计面积(以2009 年为累计的第一年)将初次许多于 4 750万平方米？(2)当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于85%？ (1.085≈1.47)能力提高11．依据市场检查结果，展望某种家用商品从年初开始的n 个月内积累的需求量S n(万件 )近似地知足 S n＝n(21n － n2－ 5)(n＝ 1,2，， 12)．按此展望，在今年度内，需求量90超出1.5 万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7 月、 8月D．8月、9月12．某公司投资 1 000万元用于一个高科技项目，每年可赢利25%，因为公司间竞争激烈，每年年终需要从利润中拿出资本 200 万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增添率，问经过多少年后，该项目的资本能够达到或超出翻两番 (4 倍 )的目标？ (取 lg 2＝0.3)从实质问题转变为数列问题，极易出现弄错数列的项数，所以必定要认真审题，弄清楚数列中的项与实质问题中的时间(比如年份)之间的对应关应．特别是首项a1代表的实质含义必定要弄清楚．§4 数列在平时经济生活中的应用答案知识梳理11 11． (1)nAp nApq nAp(1 － q)＋A(2)2n(n ＋ 1)Ap2n(n ＋ 1)Apq 2n(n ＋ 1)Ap(1 － q)ar(1＋ r)m2.m－ 1(1 ＋ r)作业设计1．A[ 设公差为 d(d>0) ，则 5 份分别为 20－ 2d,20－ d,20,20＋ d,20＋2d ，则7(20－ 2d ＋ 20－ d)＝ 20＋ (20＋d)＋ (20＋ 2d)，解得 d ＝55，最小的一份为 20－55＝ 5 .]63 32．D[ 注意昨年产值为a ，今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a ，23451． 1 a,1.1 a,1.1 a,1.1 a.∴ 1.1a ＋ 1.12a ＋ 1.13a ＋ 1.14a ＋ 1.15a ＝ 11a(1.15－ 1)． ]2＋ x(13 453． B [ 设每年归还＋γ)＋ x(1＋γ)＝ a(1＋γ)，x 万元，则： x ＋ x(1＋ γ)＋x(1＋γ)a γ(1＋ γ)5∴x ＝(1＋ γ)5－ 1.]1212(1＋ p)[1－ (1＋ p)]4．D[ 设 1 月份产值为1，年均匀增添率为 x ，依题意得＝1－ (1＋ p)121－ (1＋p)12(1＋ x)，∴ x ＝(1＋ p) －1.]15． C [ 由题意知第一年年产量为a 1＝ × 1× 2× 3＝ 3；此后各年年产量为a n ＝ f(n) －f(n － 1)＝ 3n 2，∴ a n ＝ 3n 2 (n ∈N ＋)，令 3n 2≤ 150，得 1≤n ≤ 5 2，∴ 1≤n ≤ 7，故生产限期最长为7年．]6． a(1＋b) 5 7． 7 260分析从下向上挨次放了 1,2,3 ， ， 120 支铅笔，∴共放了铅笔 1＋ 2＋ 3＋ ＋ 120＝7 260(支 )．138.3[(1＋ r)－1]【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在平时经济生活中的应用(含答案分析)分析设本金为1，按一年按期存款，到期自动转存利润最大，三年总利润为(1＋ r)3－1；若按三年按期存款，三年的总利润为3q，为鼓舞储户三年按期存款，应使3q>(1 ＋ r)3－ 1.13即 q> [(1 ＋ r) － 1]．39．解方法一设每期对付款x 元．第 1 期付款与到最后一次付款所生利息之和为第 2 期付款与到最后一次付款所生利息之和为第 12 期付款没有益息．11x(1＋ 0.008)(元 )．x(1＋ 0.008)10(元 )，所以各期付款连同利息之和为x(1＋ 1.008＋＋ 1.008111.00812－ 1 )＝x，1.008－1又所购电器的现价及其利息之和为 2 000×1.00812，于是有1.00812－ 112x＝2 000× 1.008 .1.008－ 116× 1.00812解得 x＝ 1.00812－1＝176(元)．即每期对付款 176 元．方法二设每期对付款 x 元，则第 1 期还款后欠款 2 000× (1＋ 0.008)－x第 2 期还款后欠款 (2 000×1.008－ x)× 1.008－ x＝2 000× 1.0082－ 1.008x－ x，第 12 期还款后欠款 2 000× 1.00812－ (1.00811＋1.00810＋＋ 1)x，第 12 期还款后欠款应为 0，所以有 2 000× 1.00812－ (1.00811＋ 1.00810＋＋ 1)x ＝ 0.122 000× 1.008∴ x＝ 1.00812－1＝176(元)．即每期应还款176元．1.008－ 110．解(1)设中廉价房面积组成数列{a n} ，由题意可知{a n} 是等差数列．n(n－1)此中 a1＝250， d＝50，则 S n＝ 250n＋× 50＝25n2＋225n.令 25n2＋ 225n ≥ 4 750，即 n2＋9n－ 190≥ 0，而 n 是正整数，∴ n≥ 10.∴到 2018 年年终，该市历年所建中廉价房的累计面积将初次许多于 4 750 万平方米．(2)设新建住宅面积组成数列 {b n} ，由题意可知 {b n} 是等比数列．n－ 1此中 b1＝ 400， q＝ 1.08，则 b n＝ 400× 1.08 .由题意可知 a n>0.85b n，有 250＋ (n－ 1) ·50>400 ×1.08n－1× 0.85.由 1.085≈ 1.47 解得知足上述不等式的最小正整数n＝ 6，∴到 2014 年年终，当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在平时经济生活中的应用(含答案分析)85%. 11． C分析 n 个月积累的需求量为S n ，∴第 n 个月的需求量为n2n － 1212a n ＝ S n －S n － 1＝ 90(21n － n －5)－ 90 [21(n －1) － (n － 1) － 5]＝ 30(－ n ＋ 15n －9) ． a n >1.5 ，即知足条件，∴1(－ n 2＋ 15n － 9)>1.5 ， 6<n<9(n ＝ 1,2,3， ， 12)，30∴ n ＝7 或 n ＝ 8.(可直接代入各个选项进行考证得出答案 )12．解 设该项目逐年的项目资本数挨次为 a 1， a 2， a 3， ， a n .则由已知 a n ＋ 1＝a n (1 ＋25%) － 200(n ∈ N ＋ )．即 a n ＋1＝ 5a n － 200.455 a n － x ，令 a n ＋1－ x ＝ (a n － x)，即 a n ＋ 1＝444x由 ＝200，∴ x ＝ 800.5∴ a n ＋1－ 800＝ 4(a n － 800)(n ∈ N ＋)5故数列 {a n － 800} 是以 a 1－800 为首项， 为公比的等比数列．∵ a 1＝ 1 000(1＋ 25%) － 200＝1 050.∴ a 1－ 800＝ 250，∴ a n － 800＝ 250 5n －1.4 ∴ a n ＝ 800＋ 2505 n － 14 (n ∈ N ＋ )．由题意 a ≥ 4 000.∴800＋ 2505 n －1≥ 4 000，即5n≥ 16.n4 4两边取常用对数得nlg 54≥ lg 16，即 n(1－ 3lg 2) ≥ 4lg 2.∵ lg 2＝ 0.3，∴ 0.1n ≥ 1.2，∴ n ≥ 12.即经过 12 年后，该项目资本能够达到或超出翻两番的目标．。
北师大版高中数学必修第一章数列数列在日常经济生活中的应用习题
差数列.
所以数列｛an}的前ｎ项和 Sn＝
=256
，ห้องสมุดไป่ตู้
数列｛ｂn}的前 n 项和Ｔn=400n+ a. 所以经过ｎ年,该市更换的公交车总数
Ｓ(n)=Sn＋Tn=2５６
+40０n＋ a.
（2)若用 7 年的时间完成全部更换， 则Ｓ(７)≥10 000,
解析:由题意可得每 3 分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据 64 MB 时自身复制
了ｎ次,即２×2n=64×2１0＝216,解得 n＝１5,从而复制的时间为 15×3＝45(分）.
答案:45
７．甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄,甲存 5 年定期储蓄,年利率为２.88%,乙
存一年定期储蓄,年利率为 2.２５%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次
9.
导学号３319402６为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益,长沙市计
划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力 型车和混合动力型车．今年年初投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 400 辆,计划 以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (１）求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n）； (2)若该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. 解(１)设ａn,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知，数
Ａ.９ﻩB.10 C．19
D.29
解析：∵ <20０,而满足 <200 时,n 可取的最大值为 19.当 n=19 时,
北师大版高中数学必修5第一章数列-数列的应用
24n ①
a1 24n
a2 24n
an 24n
1.
②
由②得，a1+a2+…+an=24n, 即 n (a 12 a n)2n ,4 也a 就 1③联立方程组得， a1 5an a1 an 48. 解之得，a1=40，an=8. 答：用这种方法收割完这片土地上的全部小 麦需用40小时.
4
p q .(m,m1),其中m为自然数， pr
则至少要进行m 1次操作.
25
第二题提示： 96年底沙漠化土地面积为:(25200-x) ·1.04; 97年底沙漠化土地面积为:
[(25200-x) ·1.04-x] ·1.04 =25200·1.042-x(1.042+1.04);
……
2019年底沙漠化土地面积为: 25200·1.0412-x(1.0412+1.0411+…+1.04).
24
第一题提示：
(1)n次之后溶液的浓度为：
(3)n r%1 p%[(3)n1(3)n2 (3)11]
4
4
44
4
p%(pr)%(3)n.
(2)由p% ( p r)%4 (3)n 4
q%,解得n log3
4
pq. pr
1 当log 3
4
p q .为自然数m，则至少要进行 m次操作； pr
2 当log 3
9
例3.某林场原有木材量为a，木材以每年
25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐
的木材量为x，为了实现经过20年达到木
材存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大
值.（设1.2520=86.74）
[解][分第 析]一 木材年 的增末 长率木 是一材 a个(1等存 2比5% 数有 列)的x量 问a题为 5，x
高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 1.4 含解析
§4 数列在日常经济生活中的应用课时过关·能力提升1.某林厂年初有森林木材存量S m 3,木材以每年25%的增长率生长,而每年年末要砍伐固定的木材量x m 3,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是 ( )A.S 32B.S 34C.SD.S 38S (1+25%)-x ;第二次砍伐后木材的存量为[S (1+25%)-x ](1+25%)-x=2516S-54x-x=S (1+50%),解得x=S 36.2.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m 以外的公路,沿公路一侧每隔50 m 埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行( )A.11 700 mB.14 600 mD.14 000 m,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为{a n },则a 1=1 100,d=300,n=7,所以S 7=7×1 100+7×62×300=14 000.3.某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在星期一选A 种菜的学生,下星期一会有20%改选B 种菜;而选B 种菜的学生,下星期一会有30%改选A 种菜.用a n ,b n 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数,则a n+1与a n 的关系可以表示为( )A.a n+1=12a n +150B.a n+1=13a n +200C.a n+1=15a n +300D.a n+1=25a n +180{a n+1=45a n +310b n ,a n +b n =500, 消去b n 得,a n+1=12a n +150.4.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a 1元/m 2,顶层由于景观好价格为a 2元/m 2,第二层价格为a 元/m 2,从第三层开始每层在前一层价格上加价a100元/m 2,则该商品房各层的平均价格为( )A.(a 1+a 2+23.1a )元/m 2B.123(a 1+a 2+23.1a )元/m 2C.123(a 1+a 2+23.31a )元/m 2D.1(a 1+a 2+22.9a )元/m 223层楼的总价格为y=a 1+a+101100a+102100a+...+120100a+a 2 =a 1+a 2+a 100(100+101+ (120)=(a 1+a 2+23.1a )元/m 2, ∴平均价格y =123y=123(a 1+a 2+23.1a )元/m 2.5.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )B.10C.14D.151,由题意,得各次过滤杂质数成等比数列,且a 1=1,公比q=1-20%,故a n+1=(1-20%)n .由题意可知(1-20%)n <5%,即0.8n <0.05. 两边取对数,得n lg 0.8<lg 0.05,∵lg 0.8<0, ∴n>lg0.05lg0.8,即n>lg5-2lg8-1=1-lg2-23lg2-1=-lg2-13lg2-1 ≈-0.301 0-1.301 0-1≈13.41,故取n=14.6.已知甲、乙两车间的月产值在2016年1月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2016年7月份发现两车间的月产值又相同,比较甲、乙两个车间2016年4月份月产值的大小,则有( )A.甲大于乙B.甲等于乙C.甲小于乙D.不确定a ,乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x ,甲、乙两车间的月产值在2016年1月份相同为m ,则由题意得m+6a=m ·(1+x )6,① 4月份甲的产值为m+3a ,4月份乙的产值为m ·(1+x )3,由①知,(1+x )6=1+6a m ,即4月份乙的产值为m √1+6am =√m 2+6ma .∵(m+3a )2-(m 2+6ma )=9a 2>0,∴m+3a>√m 2+6ma ,即4月份甲的产值大于乙的产值.7.“十一”期间,北京十家重点公司举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是( )A .211-47B .212-57 13D .214-808.植树节那天,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m .开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路总和最小,这个值为 m .i 号坑旁边,则20名同学往返所走的路程总和为l=[(i-1)+(i-2)+…+2+1+1+2+…+(19-i )+(20-i )]×10×2=(i 2-21i+210)×20=[(i -212)2+3994]×20,即i=10或11时,l min =2 000.★9.粗细都是1 cm 的一组圆环依次相扣,悬挂在某处,最上面的圆环外直径是20 cm,每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1 cm .那么从上向下数第3个环底部与第1个环顶部距离是 ;记从上向下数第n 个环底部与第一个环顶部距离是a n cm,则a n = .,a 1=20,a 2=20+19-2=37,a 3=20+19+18-4=53,则a n =20+19+18+…+(21-n )-2(n-1)=n (41-n )2-2(n-1)=-n 2+37n+42(1≤n ≤18).-n 2+37n+42(1≤n ≤18,n ∈N +)★10.有一块菜地共有20畦,每畦长12 m,宽1.5 m,离菜地18 m 处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第一畦菜,然后他返回池塘边,再挑一担水,绕着第2畦菜地走一圈,浇完第2畦菜……以后照此,直到浇完整块菜地,那么他一共走了多少路?n (1≤n ≤20)畦菜后再回到池塘边时浇水人所走的路程为a n m,则由题意得a 1=2×18+2×(12+1.5)=63;a 2=2×18+2×(12+1.5)+2×1.5=66;……a 20=2×18+2×(12+1.5)+19×2×1.5=120.所以{a n }是等差数列.S20=(a1+a20)×202=(63+120)×202=1 830.因为所要计算的路程到浇完第20畦为止,所以所求的路程是S=S20-(18+19×1.5)=1 830-46.5=1 783.5(m).故他一共走了1 783.5 m路.★11.某地正处于地震带上,预计20年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a m2,每年拆除的数量相同;新城区计划用10年建成,第一年建设住房面积2a m2,开始几年每年以100%的增长率建设新住房,然后从第五年开始,每年都比上一年减少2a m2.(1)若10年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番,则每年旧城区拆除的住房面积是多少平方米?(2)设第n(1≤n≤10,n∈N+)年新城区的住房总面积为S n m2,求S n.年后新城区的住房总面积为2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a(m2).设每年旧城区拆除的数量是x m2,则84a+(64a-10x)=2×64a,解得x=2a,即每年旧城区拆除的住房面积是2a m2.(2)设第n年新城区的住房建设面积为a n,则a n={2n a(1≤n≤4),2(12-n)a(5≤n≤10).当1≤n≤4时,S n=2(2n-1)a;当5≤n≤10时,S n=2a+4a+8a+16a+14a+…+2(12-n)a =30a+(n-4)(38-2n)a2=(23n-n2-46)a.故S n={2(2n-1)a(1≤n≤4), (23n-n2-46)a(5≤n≤10).。
2017-2018学年高中数学北师大版必修5名师讲义：第一章
数列在日常经济生活中的应用预习课本P32～36，思考并完成以下问题(1)日常生活中银行存款计息的单利和复利各指什么？(2)“零存整取”储蓄业务的含义是什么？(3)“定期自动转存”储蓄业务的含义是什么？(4)什么是“分期付款”？单利与复利(1)单利与复利的计算方法：1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列．()(2)“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列．()(3)同一笔钱用单利计息和复利计息的收益是一样的．()答案：(1)√(2)√(3)×2．按活期存入银行1 000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是()A ．1 036元B ．1 028元C ．1 043元D ．1 026元解析：选A 本利和为1 000＋0.72%×5×1 000＝1 036.3．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．900元B ．1 800元C ．2 400元D ．3 600元 解析：选C 把每次降价看做一个等比数列，首项为a 1，公比为1－13＝23， 求a 4，则a 4＝8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400.4．年利率10%，每年复利一次，希望在6年后得到本利和1 000×1.16元，则本金应是________元．解析：设本金是a 元，则a (1＋10%)6＝1 000×1.16，∴a ＝1 000.答案：1 000[典例] 从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. 问到期时，李先生一次可支取本息多少元？[解] 100×36＋100×2.7‰×(36＋1)×362＝3 779.82(元)． ∴到期时，李先生一次可支取本息3 779.82元．等差数列模型解读本例中：若已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 1.725‰. 问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)解：100×36＋100×1.725‰×(36＋1)×362×(1－20%)＝3 691.908(元)． 3 779.82－3 691.908＝87.912(元)．∴“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元.[典例] 入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2026年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？[解] 设从2016年年初到2025年年初每年存入a 元的本利和组成数列{a n }(1≤n ≤10)． 则a 1＝a (1＋p )10，a 2＝a (1＋p )9，…，a 10＝a (1＋p )，故数列{a n }(1≤n ≤10)是以a 1＝a (1＋p )10为首项，q ＝11＋p为公比的等比数列． 所以2026年初这个家庭应取出的钱数为S 10＝a (1＋p )10⎣⎡⎦⎤1－1(1＋p )101－11＋p＝a p [(1＋p )11－(1＋p )](元)．某牛奶厂2016年初有资金1 000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后，余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金．2016年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2017年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x－x；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x－(1＋50%)3x－(1＋50%)2x－(1＋50%)x＝2 000，解得x≈459(万元)．故这家牛奶厂每年应扣除459万元的消费基金.[典例]/平方米，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同一年后付款一次，再经过一年又付款一次，…，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到1元)[解]法一：设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)．第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，……第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510，∴x＝48 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈7 109(元)．答：每年需交款7 109元．法二：假设每次还款x元，则第1次还款后本利欠款数为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×(1＋7.5%)－x＝48 800×1.075－x，第2次还款后本利欠款数为(48 800×1.075－x)×1.075－x＝48 800×1.0752－1.075x－x，第3次还款后本利欠款数为(48 800×1.0752－1.075x－x)×1.075－x＝48 800×1.0753－1.0752x－1.075x－x，……第10次还款后本利欠款数为48 800×1.07510－(1.0759＋1.0758＋…＋1)x，由题意知，第10次还款后欠款全部还清．故有48 800×1.07510－(1.0759＋1.0758＋…＋1)x ＝0，即1.07510－11.075－1x ＝48 800×1.07510， ∴x ＝48 800×1.07510×0.0751.07510－1≈7 109(元)． 答：每年需交款7 109元．[活学活用]小陆计划年初向银行贷款10万元用于购车，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？(1.0410≈1.480 2，计算结果精确到1元)．解：设每年还款x 元，则第1次偿还x 元，在贷款全部付清时的本息和为x (1＋4%)9；第2次偿还的x 元，在贷款全部付清时的本息和为x (1＋4%)8；第10次偿还的x 元，在贷款全部付清时的本息和为x 元，于是有105(1＋4%)10＝x (1＋4%)9＋x (1＋4%)8＋x (1＋4%)7＋…＋x .由等比数列求和公式，得105×1.0410＝1.0410－11.04－1·x ， ∴x ≈105×1.480 2×0.040.480 2≈12 330. 答：每年约应还12 330元．层级一 学业水平达标1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟 解析：选B 依题意，得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n 1－2≥100，∴2n ≥101，∴n ≥7，则所求为7秒钟．2．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)a解析：选C 总产值S ＝a (1＋10%)＋a (1＋10%)2＋…＋a (1＋10%)5＝11×(1.15－1)a .3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m解析：选B 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π·4＋122＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m ，故选B. 4．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和共有( )A ．8×1.0253万元B ．8×1.0254万元C ．8×1.0255万元D ．8×1.0256万元 解析：选C 定期自动转存属于复利计算问题，5年末的本利和为8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255万元．5．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：选C 一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S 36. 6．某工厂生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x ，原来总产值为a ，由题意得a (1＋x )＝a (1＋p )12，∴x ＝(1＋p )12－1.答案：(1＋p )12－17．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．解析：设6月份降价前的价格为a ，三次价格平均回升率为x ，则a ×90%×(1＋x )3＝a ，∴1＋x＝3109，x＝3109－1.答案：3109－18．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2015年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．解析：2015年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2015年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2020年是从2015年起再过5年，所以2020年的垃圾量是a(1＋b)5吨．答案：a(1＋b)a(1＋b)59．某工厂2015年生产某种机器零件100万件，计划到2017年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年与上一年增长的百分率相同，则每年增长的百分率是多少？2016年生产这种零件多少万件？解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2015年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21，∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1，∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)，a2＝100(1＋x)＝110(万件)，所以每年增长的百分率为10%,2016年生产这种零件110万件．10．买家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，共分12次还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(取1.00812＝1.1)解：法一：设每期付款x元，第1期付款及其所生利息的和为x(1＋0.008)11(元)，第2期付款及其所生利息的和为x(1＋0.008)10(元)，……第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x.又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x＝2 000×1.00812，解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)． 即每期应付款176元．法二：设每期付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x ，第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ，……第12期还款后欠款为2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0. x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)． 即每期应还款176元．层级二 应试能力达标1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去，找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )A ．55 986只B ．46 656只C ．216只D ．36只 解析：选B 由已知得，每天蜂巢中的蜜蜂数构成首项为6，公比为6的等比数列，故第6天蜂巢中的蜜蜂数为66＝46 656.2．通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27 ℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．4 900个 解析：选C 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016，可得，a 11＝3·210＝3 072，故选C. 3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：选C 由题意知第一年年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2，∴a n ＝3n 2 (n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52，∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元 B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元 解析：选B 根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x 万元，则x [(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a (1＋γ)5，∴x ·1－(1＋γ)51－(1＋γ)＝a (1＋γ)5，故x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1(万元)． 5．某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位________个．解析：第1,2排座位总数记为a 1＝48，第3,4排座位总数为a 2＝48＋4＝52，…，依次成公差为4的等差数列{a n }，其中n ＝14，S n ＝14×48＋14×132×4＝14×74＝1 036. 答案：1 0366．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________．解析：设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1. 即q >13[(1＋r )3－1]． 答案：13[(1＋r )3－1] 7．用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)． 因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付31＋5＝36万元．8．某林场2015年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2016年起，每年冬天要砍伐的木材量为x 万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x 的最大值是多少？(取lg 2＝0.3)解：设从2015年起的每年年底木材储存量组成的数列为{a n }，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝330，a n ＋1＝a n(1＋25%)－x ＝54a n －x ， 则a n ＋1－4x ＝54(a n －4x )，即a n ＋1－4x a n －4x ＝54. ∴{a n －4x }是以330－4x 为首项，公比为54的等比数列，即a n ＝(330－4x )⎝⎛⎭⎫54n －1＋4x . ∴a 21＝(330－4x )⎝⎛⎭⎫5420＋4x .令a 21≥4a 1，即(330－4x )⎝⎛⎭⎫5420＋4x ≥4×330.由lg 2＝0.3，可求得⎝⎛⎭⎫5420＝100，代入上式整理得396x ≤31 680，解得x ≤80(万立方米)．答：每年砍伐量最大为80万立方米．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1 解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时也符合，故a n ＝2n .2．设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为( )A ．128B ．80C ．64D ．56解析：选C ∵{a n }是等差数列，∴S 8＝a 2＋a 72×8＝3＋132×8＝64.3．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±11解析：选B 根据等差和等比数列的性质知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.5．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝1.∴a 3＝1.6．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B ∵a 2k ＝a 1a 2k ，∴(8＋k )2d 2＝9d (8＋2k )d ，解得k ＝4.7．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n，可知其常数项与q n 的系数互为相反数，所以a ＝－5. 8．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( ) A ．－784 B ．－392 C ．－389D ．－368解析：选B 由3n －50≥0及n ∈N ＋知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392.9．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1、公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝⎛⎭⎫1－13n B.32⎝⎛⎭⎫1－13n －1 C.23⎝⎛⎭⎫1－13n D.23⎝⎛⎭⎫1－13n －1 解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝⎛⎭⎫13n －1. 设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n . 又∵S n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n . 10．等比数列{a n }满足a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析：选A 由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，公比为－2，首项为1a 1，所以S 2＝1a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝－1a 1，S 5＝1a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝11a 1，所以S 5S 2＝－11，故选A.11．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 12．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 015＝( ) A ．6 B ．－6 C ．3D ．－3解析：选B 由条件a n ＋2＝a n ＋1－a n 可得：a n ＋6＝a n ＋5－a n ＋4＝(a n ＋4－a n ＋3)－a n ＋4＝－a n＋3＝－(a n ＋2－a n ＋1)＝－[(a n ＋1－a n )－a n ＋1]＝a n ，于是可知数列{a n }的周期为6，∴a 2 015＝a 5，又a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．(广东高考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.答案：1014．(安徽高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.答案：2715．在等比数列{a n }中，若1，a 2，a 3－1成等差数列，则a 3＋a 4a 5＋a 6＝________. 解析：设等比数列的公比为q ， 依题意，可得2a 1q ＝1＋a 1q 2－1， 又a 1≠0，整理得q 2－2q ＝0， 所以q ＝2或q ＝0(舍去)， 所以a 3＋a 4a 5＋a 6＝1q 2＝14.答案：1416．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少13，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)解析：设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a ×⎝⎛⎭⎫1－13n . 要使n 次过滤后杂质含量不超过0.1%， 则2%a ×⎝⎛⎭⎫23na×100%≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2＝1＋0.301 00.477 1－0.301 0≈7.387 8， ∴至少应过滤8次． 答案：8三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5. ∴a n ＝5n －25(n ∈N ＋)． (2)由(1)a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， ∴b n ＝10n －30(n ∈N ＋)．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)， 由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)由(1)知1S n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，即q ＝－12. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1，所以数列{a 2n}是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n . 20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ∈N ＋.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a n ＋1＝2a na n ＋1， 所以1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12×1a n ， 所以1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，所以1a 1－1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)得1a n －1＝12×12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，所以n a n＝n2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② 由①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－2＋n2n. 又1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .21．(本小题满分12分)(安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.22．(本小题满分12分)(山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n ≥2时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n－1)×31－n＝136－6n＋32×3n，所以T n＝1312－6n＋34×3n.经检验，n＝1时也适合．综上可得T n＝1312－6n＋34×3n.。
2018年高中数学第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用达标练习北师大版必修5201806293
1.4 数列在日常经济生活中的应用[A基础达标]1．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为()A．p B．12pC．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1解析：选D.设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1，故选D.2．某种产品计划每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是()A．a3q% B．a·(q%)3aC．a(1－q%)3 D．（1－q%）3a解析：选D.设现在的成本为x元，则x(1－q%)3＝a，所以x＝，故选D.（1－q%）33．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为()1 1A．24－1 B．25－11 1C．34－1 D．35－11解析：选A.设2012年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝24－1，故选A.4．某企业2015年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2015年度的产值月平均增长率为()A.12 p B．12 p－1C.11 p－1 D．11 p解析：选C.设2015年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1 ＋r)11＝pa，所以r＝11 p－1.故选C.5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)81aC. [(1＋p)7－(1＋p)]paD. [(1＋p)8－(1＋p)]p解析：选D.2007年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1＋p)7，2008年存入的a元到2014 年所得的本息和为a(1＋p)6，依次类推，则2013年存入的a元到2014年的本息和为a(1＋p)，每年所得的本息和构成一个以a(1＋p)为首项，1＋p为公比的等比数列，则到2014年取回的a（1＋p）[1－（1＋p）7] a总额为a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝＝[(1＋p)8－(1＋p)]．1－（1＋p）p6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．12（12＋1）解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝278ar.答案：78ar7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n年后这辆车的价值为a n元，则a n＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________ 元．解析：n年后这辆车的价值构成等比数列{a n}，其中，a1＝100 000×(1－10%)，q＝1－10%，所以a n＝100 000×(1－10%)n，所以a4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．答案：100 000×(1－10%)n65 6108．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等a（1－23）比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34 685，解得a＝4 955，则2a＝9 910，1－2即该君第二日读的字数为9 910.答案：9 9109．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款10 000元，两年还清，月利率为0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？解：贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为：10 000×(1＋0.457 5%)24＝10 000×1.004 57524(元)．设每月还x元，则到期时总共还x＋1.004 575x＋…＋1.004 57523x21－1.004 57524 ＝x · . 1－1.004 575 1－1.004 57524 于是 x ·1－1.004 575 ＝10 000×1.004 57524. 所以 x ≈440.91(元)． 即每月应还 440.91元．10．甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为 a 万元，由于经营方式不同，甲超市前 na 2 n －1 年的总销售额为 (n 2－n ＋2)万元，乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多 a万2(3 )元．(1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%，则该超市将被另一超市收购， 判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解：(1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 a n ，b n .则有 a 1＝a ，当 n ≥2 时，a aa n ＝(n 2－n ＋2)－[(n －1)2－(n －1)＋2] 22＝(n －1)a ，a ，n ＝1，所以 a n ＝{（n －1）a ，n ≥ 2.)b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)2n －1＝[3－2(3 ) ]a (n ∈N ＋)．(2)易知 b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购， 1 由 b n ＜ a n ，22n －1 1 得 [3－2(3 ) ]a ＜ (n －1)a .22n －1所以 n ＋4(3 )＞7，所以 n ≥7，即第 7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[B 能力提升]11．某商场今年销售计算机 5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，那 么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到 30000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg1.1 ≈0.041，lg 1.6≈0.204)( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年D ．6年3解析：选C.设大约n年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数5 000（1－1.1n）列，首项为a1＝5 000台，公比q＝1.1，S n＝30 000，所以由30 000＝1－1.1lg 1.6⇒1.1n＝1.6⇒n＝≈5，故选C.lg 1.112．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．解析：由已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，因为－1 ± 5b>a，b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝，因为0<x<1，所以最佳2－1＋ 5乐观系数x的值等于.2－1＋ 5答案：213．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12 万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为n（n－1）f(n)，则f(n)＝50n－[12n＋×4]－72＝－2n2＋40n－72.2获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.又n∈N＋，知从第三年开始获利．14．(选做题)某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N＋)年林场植树的总面积为S n亩，求S n的表达式．解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a，24a，36a，54a，81a.所以该林场第六年植树面积为80a亩．(2)设第n年林场植树的面积为a n亩，3 n－1{(则a n＝2 )× 16a，1 ≤n ≤5，n ∈N＋，（86－n）a，6 ≤n ≤10，n ∈N＋. )4所以当1≤n≤5时，3 n－1S n＝16a＋24a＋…＋(2 )×16a3 n16a[1－(2 ) ]3 n＝＝32a[(2 )－1].31－2当6≤n≤10时，S n＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＋…＋(86－n)a ＝211a＋80a＋…＋(86－n)a[80a＋（86－n）a]（n－5）＝211a＋2（166a－na）（n－5）＝211a＋.2所以所求S n的表达式为S n＝3 n[(2 )－1]× 32a，1 ≤n ≤5，n ∈N＋，{，6 ≤n ≤10，n ∈N＋.)（166a－na）（n－5） 211a＋25。
高中数学 第一部分 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用 北师大版必修5
一、选择题1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的成本降低13，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格可降为( )A ．2 400B ．900C ．300D ．3 600解析：依题意得8 100×(1－13)3＝8 100×(23)3＝2 400(元)． 答案：A2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29解析：1＋2＋3＋…＋n ＜200，即n n ＋12＜200.显然n ＝19时，剩余钢管最少，此时最多用去19×202＝190根，剩余10根． 答案：B3．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ，那么年平均增长率为( )A ．(1－p )12B ．(1＋p )12C ．(1－p )12－1D ．(1＋p )12－1 解析：设第一年各月份的产值依次为a 1，a 2，…，a 12，则第二年各月份产值依次为a 1(1＋p )12，a 2(1＋p )12，…，a 12(1＋p )12，第一年的年产值S ＝a 1＋a 2＋…＋a 12， 第二年的年产值 S ′＝a 1(1＋p )12＋a 2(1＋p )12＋…＋a 12(1＋p )12.年平均增长率＝S ′－S S ＝(1＋p )12－1. 答案：D4．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是________个．( )A ．2100－1B ．2100＋1C ．299－1D ．299＋1 解析：根据题意可得1个，2个，3个，4个，5个…小时后分别有3,5,9,17,33，…观察可知，3＝2＋1,5＝22＋1，9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1.所以100小时后细胞存活数为299＋1个．答案：D二、填空题5．我国2005年人口约为13亿，如果每年递增0.2%，则2019年人口为________亿．(不必写出具体值)解析：自2005年起，每年的人口数成等比数列，则2019年人口为13(1＋0.2%)14亿． 答案：13(1＋0.2%)146．某工厂生产一种产品，原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的件数，但实际生产中，2月份比原计划多生产了10件，3月份比原计划多生产了25件，这样三个月的产量恰成等比数列，并且3月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少10件，则这个厂第一季度共生产了________件这种产品． 解析：依题意知，原计划每月的产量成等差数列，设为a －d ，a ，a ＋d (d >0)． 由已知得a －d ，a ＋10，a ＋d ＋25成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋102＝a －d a ＋d ＋25，a ＋d ＋25＝12[a －d ＋a ＋a ＋d ]－10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝90，d ＝10.∴第一季度共生产了(90－10)＋(90＋10)＋(90＋10＋25)＝305件这种产品． 答案：305三、解答题7．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？(参考数据：1.016≈1.062,1.015≈1.051)解：法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则 a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，……a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a .由题意可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0，a ＝ 1.016×1021.016－1≈1 713. 答：每月应支付1 713元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [1＋0.016－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102.由S 1＝S 2，得a ＝ 1.016×1021.016－1≈1 713. 答：每月应支付1 713元．8．(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 130－10n ，n ≤6，70×34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570， 故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n－6，A n ＝780－210×34n －6n . 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×3428＝824764＞80，A 9＝780－210×3439＝767996＜80，所以须在第9年初对M 更新．。
高中数学1.4数列在日常经济生活中的应用同步精练北师大版必修5
修5
基础巩固
1 某林厂年初有森林木材存量 S立方米，木材以每年 25%的增长率生长，而每年末要砍
伐固定的木材量 x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加
50%，则 x 的值是
()
S
S
A.B.Βιβλιοθήκη 3234S
S
C. 36
D.
38
2 从材料工地运送电线杆到 500 m 以外的公路，沿公路一侧每隔 50 m 埋一根电线杆，
毕需用 24 h ，但现在它们是每隔相同的时间顺序投入一台工作，每一台投入工作后都一直
工作到庄稼收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的
5 倍，求用这种收割方
法收割完这片土地的庄稼需用多长时间？
综合过关
8 已知一个正方形的边长为 1 cm，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正
方形的对角线为边作正方形，这样继续下去，共作
长了一次，所以下一年的垃圾量为 a(1 ＋ b) ； 2008 年是从 2003 年起再过 5 年，所以 2008 年的垃圾量是在 2003 年的垃圾量的基础之上增长了 5 次，即 a(1 ＋b) 5.
答案： a(1 ＋ b) a(1 ＋ b) 5
5 分析： 设出第一季度每个月的产量，列方程组解得．
答案： 4 2 cm 63 cm2 9 分析： 利用数列求和构造出年平均费用函数，让函数值取最小值．
解： 设 f ( n) 是该汽车使用 n 年报废时平均每年的费用 ( 单位：万元 ) ，则
1 f ( n) ＝ n[10 ＋ 0.9 n＋ (0.2 ＋ 0.4 ＋ 0.6 ＋…＋ 0.2 n)]
1
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）一、例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。
以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n=）.次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是n a毫克，（即1a mm=，求2a､3a；(1)已知12(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？二、银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。
下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9002.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A．()()1010111M mm++-B．()101Mmm+C．()()1010111Mm mm++-D．()()1010111Mm mm+++2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?三、 环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。
北师大版高中数学必修5第一章数列数列在日常经济生活中的应用习题3
[学业水平训练]1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入 1 000元，假设银行的月利率为5?(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()A ．5(1＋2＋3＋,＋12)元B ．5(1＋2＋3＋,＋11)元C ．1 000[1＋5?＋(5?)2＋,＋(5?)11]元D ．1 000＋[1＋5?＋(5?)2＋,＋(5?)12]元解析：选A.存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋,＋12)元，故选A.2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是() A.S32 B.S 34C.S 36D.S 38解析：选C.一次砍伐后木材的存量为S(1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x](1＋25%)－x＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S 36. 3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为()A ．214－1 B ．215－1 C ．314－1D ．315－1 解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a(1＋x)8＝4a ，得x ＝214－1，故选 A.4．某工厂购买一台机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5?，每月复利一次，则a ，b 满足()A ．b ＝a 12B ．b ＝a （1＋5?）1212C ．b ＝a （1＋5?）12D.a12<b<a （1＋5?）1212解析：选D.∵b(1＋1.005＋1.0052＋,＋1.00511)＝a(1＋0.005)12，∴12b<a(1＋0.005)12，∴b<a （1＋5‰）1212，显然12b>a ，即a12<b<a （1＋5‰）1212.5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年。
北师大版高中数学必修5同步测试：1.4数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用课后篇巩固探究A 组1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,则剩余钢管的根数为( )A.9B.10C.19D.29解析:∵n (n+1)2<200,而满足n (n+1)2<200时,n 可取的最大值为19.当n=19时,n (n+1)2=190,∴200-190=10. 答案:B2.银行一年定期的年利率为r ,三年定期的年利率为q ,为吸引长期资金,鼓励储户存三年定期存款,则q 的值应略大于( )A.√(1+r )3-1B.13[(1+r )3-1] C.(1+r )3-1 D.r解析:设储户存a 元,存一年定期并自动转存,三年后的本利和为a (1+r )3元.三年定期的本利和为a (1+3q )元.为鼓励储户存三年定期,则a (1+3q )>a (1+r )3,即q>13[(1+r )3-1].答案:B 3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m 以外的公路,沿公路一侧每隔50 m 埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行( )A.11 700 mB.14 600 mC.14 500 mD.14 000 m解析:由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为{a n},则a1=1 100,d=300,n=7,故S7=7×1 100+7×6×300=14 000.答案:D4.某林厂现在的森林木材存量是1 800万立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标,则x的值是()A.40B.45C.50D.55解析:经过一次砍伐后,木材存量为1 800(1+25%)-x=2 250-x;经过两次砍伐后,木材存量为(2 250-x)×(1+25%)-x=2 812.5-2.25x.由题意应有2 812.5-2.25x=1 800×(1+50%),解得x=50.答案:C5.一个卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷了60层,若把各层都视为一个同心圆,π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为m(精确到个位).解析:∵纸的厚度相同,∴各层同心圆直径成等差数列.∴l=πd1+πd2+…+πd60=60π·4+12=480π=1 507.2(cm)≈15(m).答案:156.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 kB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后 分,该病毒占据64 MB(1 MB =210 kB).解析:由题意可得每3分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64 MB 时自身复制了n 次,即2×2n =64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分).答案:457.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存5年定期储蓄,年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄,按规定每次计息时,储户须交纳20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行中取出存款,则甲、乙所得利息之差为 元. 解析:由已知甲所得本息和a=10 000+10 000×2.88%×5×80%,而乙实际上年利率在去掉利息税后为45×2.25%,故乙所得本息和应为b=10 000×(1+45×2.25%)5,经计算a-b ≈219.01(元).答案:219.018.某地区有荒山2 200亩,从2015年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩(假定全部成活).则至少需要几年可将荒山全部绿化?解设第n 年植树造林a n 亩,数列{a n }的前n 项和为S n ,则数列{a n }为等差数列,其中a 1=100,d=50,∴a n =100+50×(n-1)=50(n+1),∴S n =na 1+n (n -1)2d=100n+n (n -1)2×50 =25(n 2+3n ),要将荒山全部绿化,只要S n ≥2 200,即25(n 2+3n )≥2 200,∴n 2+3n-8×11≥0,得n ≥8,故至少需要8年可将荒山全部绿化.9.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆.(1)求经过n 年,该市被更换的公交车总数S (n );(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a 的最小值.解(1)设a n ,b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列{a n }是首项为128,公比为1+50%=32的等比数列,数列{b n }是首项为400,公差为a 的等差数列.所以数列{a n }的前n 项和S n =128×[1-(32)n ]1-32=256[(32)n -1], 数列{b n }的前n 项和T n =400n+n (n -1)2 a.所以经过n 年,该市更换的公交车总数S (n )=S n +T n =256[(32)n -1]+400n+n (n -1)2 a. (2)若用7年的时间完成全部更换,则S (7)≥10 000,即256[(32)7-1]+400×7+7×62a ≥10 000,即21a ≥3 082,所以a ≥3 082.又a ∈N +,所以a 的最小值为147. B 组1.通过测量知道,温度每降低6 ℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34 ℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27 ℃时,该元件的电子数目接近 ( )A.860个B.1 730个C.3 072个D.3 900个解析:由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a 1=3,q=2,由27-(-34)=61,616=1016,可得a 11=3·210=3 072,故选C .答案:C2.现存入银行8万元,年利率为2.50 %,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是( )万元.A.8×1.0253B.8×1.0254C.8×1.0255D.8×1.0256解析:定期自动转存属于复利计算问题,5年末的本利和为8×(1+2.50%)5=8×1.0255(万元).答案:C3.某企业在2016年年初贷款M 万元,年利率为m ,从该年年末开始,每年偿还的金额都是a 万元,并恰好在10年间还清,则a 的值等于( )A.M (1+m )10(1+m )10-1 B.Mm(1+m )10C.Mm (1+m )10(1+m )10-1 D.Mm (1+m )10(1+m )10+1解析:由已知条件和分期付款公式可得,a [(1+m )9+(1+m )8+…+(1+m )+1]=M (1+m )10,则a=Mm (1+m )10(1+m )10-1.答案:C4.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a ,最高销售限价b (b>a )以及实数x (0<x<1)确定实际销售价格c=a+x (b-a ).这里,x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x 恰好使得(c-a )是(b-c )和(b-a )的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x 的值等于 . 答案:-1+√525.已知某火箭在点火第一秒通过的路程为2 km,以后每秒通过的路程都增加2 km,在达到离地面240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是 秒.解析:设每一秒通过的路程依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则数列{a n }是首项a 1=2,公差d=2的等差数列.由求和公式得na 1+n (n -1)d 2=240, 即2n+n (n-1)=240,解得n=15.答案:156.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种纯获利更多?(取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解①甲方案获利:1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=1.310-10.3≈42.62(万元),银行贷款本息:10(1+5%)10≈16.29(万元),故甲方案纯获利:42.62-16.29=26.33(万元).②乙方案获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+10×92×0.5=32.5(万元), 银行本息和:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×1.0510-10.05≈13.21(万元). 故乙方案纯获利:32.50-13.21=19.29(万元).综上所述,甲方案纯获利更多.7.某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年年初M 的价值比上年年初减少10万元;从第7年开始,每年年初M 的价值为上年年初的75%.(1)求第n 年年初设备M 的价值a n 的表达式;(2)设A n =a 1+a 2+…+a n ,若A n 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年年初对M 更新.证明:须在第9年年初对设备M 更新.(1)解当n ≤6时,数列{a n }是首项为120,公差为-10的等差数列,a n =120-10(n-1)=130-10n.当n ≥7时,数列{a n }是以a 7为首项,34为公比的等比数列,又a 7=70×34,所以a n =70×34×(34)n -7=70×(34)n -6.因此,第n 年年初,M 的价值a n 的表达式为a n ={130-10n ,n ≤6,70×(34)n -6,n ≥7.(2)证明设S n 表示数列{a n }的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得,当1≤n ≤6时,S n =120n-5n (n-1),A n =120-5(n-1)=125-5n.当n ≥7时,S n =S 6+(a 7+a 8+…+a n )=570+70×34×4×[1-(34)n -6]=780-210×(34)n -6,A n =780-210×(34)n -6.易知{A n }是递减数列,又A 8=780-210×(34)8-68=824764>80,A 9=780-210×(34)9-69=767996<80,所以须在第9年年初对设备M 更新.。
2020_2021学年高中数学第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用课时作业含解析北师大版必修5
课时作业11 数列在日常经济生活中的应用时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．某种产品计划每年降低成本q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是( D ) A ．a 3q % B ．a ·(q %)3C ．a (1－q %)3D.a(1－q %)3解析：设现在的成本为x 元，则x (1－q %)3＝a ，所以x ＝a(1－q %)3，故选D.2．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( A )解析：设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝，故选A.3．通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27 ℃时，该元件的电子数目接近( C )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个解析：由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016，可得a 11＝3·210＝3 072，故选C.4．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，请分析三种债券的收益，从小到大排列为( B )A ．B ，A ，C B ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B解析：假设都投入10000元，一年到期，A 种共获得10 300元，B 种共获得10000×(51.450)2≈10 567.8(元)，C 种共获得10000×10097≈10309.3(元)．所以收益从小到大的排序为A ，C ，B .5．某企业在2012年年初贷款M 万元，年利率为m ，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a 的值等于( C )A.M (1＋m )10(1＋m )10－1 B.Mm(1＋m )10 C.Mm (1＋m )10(1＋m )10－1D.Mm (1＋m )10(1＋m )10＋1解析：由已知条件和分期付款公式可得，a [(1＋m )9＋(1＋m )8＋…＋(1＋m )＋1]＝M (1＋m )10，故a ＝Mm ·(1＋m )10(1＋m )10－1. 6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n 个月内累计的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( C )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月解析：S n ＝n 90(21n －n 2－5)＝190(21n 2－n 3－5n )，∴由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝S n －S n －1＝190(21n 2－n 3－5n )－190[21(n －1)2－(n －1)3－5(n －1)]＝190[21(2n －1)－(n 2＋n 2－n ＋n 2－2n ＋1)－5] ＝190(－3n 2＋45n －27) ＝－390(n －152)2＋6340，∴当n ＝7或8时，超过1.5万件．7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年解析：设第n 年开始超过200万元， 则130×(1＋12%)n －2 015>200，化为(n －2 015)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，n －2 015>0.30－0.110.05＝3.8.取n ＝2 019.因此开始超过200万元的年份是2019年．8．银行一年定期的年利率为r ，三年定期的年利率为q ，为吸引长期资金，鼓励储户存三年定期存款，那么q 的值应略大于( B )A.(1＋r )3－1B.13[(1＋r )3－1]C ．(1＋r )3－1 D ．r解析：设储户存a 元，存一年定期并自动转存，三年后的本利和为a (1＋r )3元，三年定期的本利和为a (1＋3q )元．为鼓励储户存三年定期，则a (1＋3q )>a (1＋r )3，即q >13[(1＋r )3－1]．二、填空题9．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝100 000×(1－10%)n，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到65_610元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，所以a n ＝100 000×(1－10%)n，所以a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．10．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了9_910字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a (1－23)1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.11．某人从2009年起，每年1月1日都到银行存款a 元(均为一年期)，若年利率为p 保持不变，且每年到期的存款连同利息都及时转为新的一年期存款，此人到2019年1月1日不再存款，而将所有存款及利息全部取回，则他可取回的钱数为ap[(1＋p )11－(1＋p )]．解析：从2009年年初到2010年年初有存款b 1＝a (1＋p )元，设第n 年年初本息有b n 元，第n ＋1年年初有b n ＋1元，则有b n ＋1＝(b n ＋a )(1＋p )．将之变形为b n ＋1＋a (1＋p )p ＝(1＋p )[b n ＋a (1＋p )p ]，其中b 1＋a (1＋p )p ＝a (1＋p )2p.∴{b n ＋a (1＋p )p }是以a (1＋p )2p 为首项，(1＋p )为公比的等比数列，于是b n ＝a p[(1＋p )n＋1－(1＋p )]，即他到2019年年初本利可达ap[(1＋p )11－(1＋p )]元． 三、解答题12．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解：不能．设热气球在第n 分钟上升的高度为a n ，n ∈N *，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.13．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用每购买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%；且在一定范围内，礼品价值为n ＋1元时，比礼品价值为n 元时的销售量增加10%(n ∈N )．(1)写出礼品价值为n (元)时，利润y n (元)关于n 的函数关系式及这个函数的定义域． (2)请你设计礼品价值，以使商品获得最大利润．解：(1)设赠送礼品时，单位时间内的销售量为m 个，则y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n＝m (20－n )×1.1n，其中0≤n <20，n ∈N .(2)要求出获得最大利润时的礼品价格，只需解关于n 的不等式y n ＋1－y n ≥0，即m (19－n )×1.1n ＋1－m (20－n )×1.1n ≥0，即(19－n )×1.1－(20－n )≥0，n ≤9， 则y 0<y 1<y 2<…<y 9＝y 10， 同理可得y 10>y 11>y 12>…>y 18>y 19.∴为获得最大利润，礼品价值应为9元或10元．——能力提升类——14．一房地产开发商将他新建的一幢20层商品楼的房价按下列方法定价：先定一个基价a 元/米2，再根据楼层的不同进行上下浮动，一层的价格为(a －d )元/米2，二层的价格为a 元/米2，三层的价格为(a ＋d )元/米2，第i (i ≥4)层的价格为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －3d 元/米2，则该商品房各层价格的平均值是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d 元/米2.解析：各层价格的平均值为120[(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋a ＋23d ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232d ＋…＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d ]＝a ＋110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d .15．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房，第一年建新住房a m 2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m 2，已知旧住房面积为32a m 2，每年拆除的数量相等．(1)若10年后该城市的住房面积正好比改造前的住房面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少平方米？(2)求前n (1≤n ≤10且n ∈N ＋)年新建住房总面积S n .解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a .设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2.(2)设第n 年新建住房面积为a ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a (1≤n ≤4)，(12－n )a (5≤n ≤10).所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n－1)a .当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a2.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n－1)a (1≤n ≤4)，(23n －n 2－46)2a (5≤n ≤10).。
【成才之路】高中数学 1.4 数列在日常经济生活中的应用练习 北师大版必修5
第一章 §4一、选择题1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn ＝n 90·(21n －n2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月[答案] C[解析] 设第n 个月份的需求量超过1.5万件．则Sn －Sn －1＝n 90(21n －n2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＞1.5，化简整理，得n2－15n ＋54＜0，即6＜n ＜9.∴应选C ．2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1730个C ．3072个D ．3900个[答案] C[解析] 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016，可得，a11＝3·210＝3072，故选C ． 3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14mB ．15mC ．16mD ．17m[答案] B[解析] 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·4＋122＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m ，故选B ．4．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．( )A ．8×1.0253B ．8×1.0254C ．8×1.0255D ．8×1.0256[答案] C[解析] 定期自动转存属于复利计算问题，5年末的本利和为8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255.5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年至期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( )A ．a(1＋r)7B ．a r [(1＋r)7－(1＋r)]C ．a(1＋r)8D ．a r [(1＋r)8－(1＋r)][答案] B[解析] 2014年1月1日，2013年1月1日，…2009年1月1日存入钱的本息分别为a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加即可．6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )A ．4110－1B ．2110C ．4111－1D ．2111－1[答案] A[解析] 设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x ＝4110－1.二、填空题7．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2014年的垃圾量为________吨．[答案] a(1＋b) a(1＋b)5[解析] 2009年产生的垃圾量为a 吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2014年是从2009年起再过5年，所以2014年的垃圾量是a(1＋b)5吨．8．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．[答案] 3109－1[解析] 设6月份降价前的价格为a ，三次价格平均回升率为x ，则a×90%×(1＋x)3＝a ，∴1＋x ＝3109，x ＝3109－1.三、解答题9．已知某地教育储蓄的月利率为0.21%，某人欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，他每月应存入多少元？[解析] 设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得＋2×0.21%＋36x ＝10 000，解得x≈267.39元，即每月应存入267.39元．10．某城市2002年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，到2012年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？说明了什么问题？(精确到0.01平方米)[解析] 设2002年，2003年，…，2012年住房面积总数成等差数列{an}，人口数组成等比数列{bn}，则2002年：a1＝500×6＝3000(万平方米)，b1＝500(万)．2003年：a2＝a1＋d ＝3000＋30＝3030(万平方米)，b2＝b1×q ＝500×(1＋1%)＝505(万)． …2012年：a11＝a1＋10d ＝3000＋10×30＝3300(万平方米)，b11＝b1×q10＝500×(1＋1%)10＝500×1.0110≈552(万)．所以人均住房面积是3300552≈5.98(平方米)．答：该城市人均住房面积约5.98平方米，人均住房面积反而减少了，说明计划生育的重要性.1.某企业在2013年年初贷款M 万元，年利率为m ，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a 的值等于( )A ．＋＋－1B ．Mm ＋C ．＋＋－1D ．＋＋＋1[答案] C[解析] 由已知条件和分期付款公式可得，a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，∴a ＝＋＋－1.2．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)a[答案] C[解析] S ＝a(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋…＋a(1＋10%)5＝11×(1.15－1)A ．二、填空题3．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在________层．[答案] 14[解析] 设停在第x 层，则S ＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x －2)]＝3x2－85x 2＋421， ∴x ＝856时取最小值，而x ∈{2,3，…，20}，∴x ＝14时取最小值．4．某工厂生产总值的月平均增比率为p ，则年平均增长率为________．[答案] (1＋p)12－1[解析] 设年平均增长率为x ，原来总产值为a ，由题意得a(1＋x)＝a(1＋p)12，∴x ＝(1＋p)12－1.三、解答题5．某工厂2012年生产某种机器零件100万件，计划到2014年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2013年生产这种零件多少万件？[解析] 设每一年比上一年增长的百分率为x ，则从2012年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2，成等比数列． 由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21，∴1＋x ＝1.1或1＋x ＝－1.1，∴x ＝0.1或x ＝－2.1(舍去)，a2＝100(1＋x)＝110(万件)，所以每年增长的百分率为10%,2013年生产这种零件110万件．6．某林场2014年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2015年起，每年冬天要砍伐的木材量为x 万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x 的最大值是多少？(lg 2≈0.3)[解析] 设从2014年起的每年年底木材储存量组成的数列为{an}，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＝330an ＋1＝＋－x ＝54an －x ， 则an ＋1－4x ＝54(an －4x)，即an ＋1－4x an －4x＝54. ∴{an －4x}是以330－4x 为首项，公比为54的等比数列，即an ＝(330－4x)(54)n －1＋4x.∴a21＝(330－4x)(54)20＋4x.令a21≥4a1，即(330－4x)(54)20＋4x≥4×330.由lg 2≈0.3，可求得(54)20＝100，代入上式整理得396x≤31 680，解得x≤80(万立方米)．答：每年砍伐量最大为80万立方米．。
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[学业水平训练]1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‟(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )A ．5(1＋2＋3＋…＋12)元B ．5(1＋2＋3＋…＋11)元C ．1 000[1＋5‟＋(5‟)2＋…＋(5‟)11]元D ．1 000＋[1＋5‟＋(5‟)2＋…＋(5‟)12]元解析：选A.存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A.2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )A.S32 B.S 34 C.S 36D.S 38解析：选C.一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S 36. 3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )A ．214－1 B ．215－1 C ．314－1D ．315－1解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝214－1，故选A.4．某工厂购买一台机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‟，每月复利一次，则a ，b 满足( )A ．b ＝a12B ．b ＝a （1＋5‟）1212C ．b ＝a （1＋5‟）12D.a12<b <a （1＋5‟）1212解析：选D.∵b (1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a (1＋0.005)12，∴12b <a (1＋0.005)12，∴b <a （1＋5‰）1212，显然12b >a ，即a12<b <a （1＋5‰）1212. 5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.ap[(1＋p )7－(1＋p )] D.ap[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7，2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）＝ap [(1＋p )8－(1＋p )]．6．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，∴a n ＝100 000×(1－10%)n ，∴a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．答案：100 000×(1－10%)n 65 6107．已知一个正方形的边长为1 cm ，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正方形的对角线为边作正方形，这样继续下去，共作了6个正方形，那么第六个正方形(包括已知正方形)的边长是________，这6个正方形的面积和是________．解析：由题意知所作正方形的边长依次构成一个等比数列，首项为1 (cm )，公比为2，故a 6＝a 1q 5＝1×(2)5＝4 2 (cm )，则第六个正方形的边长为4 2 cm .这6个正方形的面积依次也构成一个等比数列，首项为1 cm 2，公比为2 cm 2，则S 6＝1（1－26）1－2＝63(cm 2)．答案：4 2 cm 63 cm 28．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.答案：9 9109．工薪阶层的张某欲从银行贷款，购买一套自己满意的住房．按规定，政策性住房贷款的年息为9.6%，最长年限为10年，可以分期付款．张某根据自己的实际情况估计每年最多可偿还5 000元，打算10年还清．如果银行贷款利率按单利计算，那么张某最大限额的贷款是多少？如果银行贷款利率按复利计算呢？(参考数据：(1.096)－10＝0.399 85)解：按单利计算，由于一年后偿还的5 000元相当于贷款时的 5 0001＋0.096元；两年后偿还的5 000元相当于贷款时的5 0001＋0.096×2元，…，所以，张某的最大限额贷款为：5 000×(11＋0.096＋11＋0.096×2＋11＋0.096×3＋…＋11＋0.096×10)≈33 854(元)．如果银行贷款利率按复利计息，则最大限额贷款应为：5 000×[11＋0.096＋1（1＋0.096）2＋1（1＋0.096）3＋…＋1（1＋0.096）10] ＝5 000×1－（1.096）－100.096≈31 258(元)．所以如果银行贷款利率按单利计算，张某最大限额的贷款是33 854元，如果按复利计算，张某最大限额的贷款是31 258元．10．某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买一辆10万元的轿车在1年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车：方案1：分3次付清，购买4个月后第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款；方案2：分12次付清，购买1个月后第1次付款，再过1个月第2次付款，…，购买12个月后第12次付款．规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金，试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？解：对于方案1，设每次付款额为x 1万元，那么4个月后，第1次付款的本息和为1.0088x 1万元，第2次付款的本息和为1.0084x 1万元， 第3次付款的本息和为x 1万元，则 1．0088x 1＋1.0084x 1＋x 1＝10×1.00812.x 1·（1.0084）3－11.0084－1＝10×1.00812. ∴x 1＝10×1.00812·（1.0084－1）1.00812－1≈10×1.1×0.03240.1＝3.564(万元)．付款总额约为3×3.564＝10.692(万元) 对于方案2，设每次付款额为x 2万元，那么1月后，第1次付款的本息和为1.00811x 2万元， 第2次付款的本息和为1.00810x 2万元， …第12次付款的本息和为x 2万元，则1．00811x 2＋…＋1.008x 2＋x 2＝10×1.00812. x 2＝10×1.00812×0.0081.00812－1≈10×1.1×0.0080.1＝0.88(万元)．付款总额约为12×0.88＝10.56(万元)． 所以方案2付款总额较少．[高考水平训练]1．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.设大约n 年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a 1＝5 000台，公比q ＝1.1，S n ＝30 000，∴由30 000＝5 000（1－1.1n ）1－1.1⇒1.1n＝1.6⇒n ＝lg 1.6lg 1.1≈5，故选C.2．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(参考数据：lg 2≈0.301 0)解析：设原杂质数为1，各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{a n }，则a 1＝1－20%，公比q ＝1－20%，∴a n ＝(1－20%)n ，由题意可知(1－20%)n ＜5%，即0.8n ＜0.05.两边取对数得n lg 0.8＜lg 0.05，∵lg 0.8＜0，∴n ＞lg 0.05lg 0.8，即n ＞lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，又n ∈N ＋，故n ＝14，即至少需要过滤14次．答案：14 3．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存5年期定期储蓄，年利率4.75%，乙存一年期定期储蓄，年利率3%，并在每年到期时自动转存，即将本息续存一年定期储蓄．按规定每次计息时，储户需要交纳利息的20%作为利息税，若存满5年后两人同时取出存款，则他们的本息和各是多少？哪种存款方式利息要高些？解：甲存满5年后所得本息和为：10 000＋10 000×5×4.75%×80%＝11 900(元)． 乙存满1年后所得本息和为：10 000＋10 000×3%×(1－20%)＝10 000(1＋3%×80%)， 2年后所得本息和为：10 000(1＋3%×80%)2， …各年的本息和构成公比为1＋3%×80%的等比数列，所以乙存满5年后所得本息和为：10 000(1＋3%×80%)5≈11 259(元)．显然甲存款方式利息更高些． 4．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需要在闯关前任选一种奖励方案．(1)设闯过n (n ∈N ，且n ≤12)关后三种奖励方案获得的慧币数依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，C n 的表达式；(2)如果你能闯过10关，你会选择哪种奖励方案？解：(1)第一种奖励方案：闯过各关所得慧币数构成常数列，所以A n ＝40n ；第二种奖励方案：闯过各关所得慧币数构成首项为4，公差为4的等差数列，所以B n ＝4n ＋n （n －1）2×4＝2n 2＋2n ；第三种奖励方案：闯过各关所得慧币数构成首项为0.5，公比为2的等比数列，所以C n＝0.5（1－2n ）1－2＝2n －1－12.(2)当n ＝10时，A 10＝400，B 10＝2×102＋2×10＝220，C 10＝29－12＝511.5＞400＞220，所以选择第三种奖励方案．。