基于高中数学教材的开放题教学的实践研究

基于高中数学教材的开放题教学的实践研究

上海市松江二中黄继红

摘要：通过基于教材的开放题教学,学生在获得知识和技能的同时，能体验“问题提出和解决”的探究过程，达到优化思维品质的目的。结合多个基于教材的开放题教学的案例，总结基于教材的开放题教学的基本模式和教学策略,构建了基于教材的开放题教学能把教科书上的“冰冷的美丽”还原成学生“火热的思考”的一种数学教育形态。在多年实践的基础上,提出了进一步思考的问题。

关键词：高中数学教材；开放题；基本模式；教学策略；案例。

一、问题提出

高中数学受学生欢迎的程度正在降低，原因是多方面的，除了应试的原因外,还有教材的数学表现形式是枯燥的、冷冰冰的原因，更有教师的教学理念仍停留在“教教材”而非“用教材教”的原因，即使有一些教师注重教材的再创造，但缺乏较有效的引领学生提出问题和解决问题的策略。正如张奠宙教授指出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态”。他的话语击中了数学教育的核心，数学教学应在数学的自然形态和数学的学术形态的两极之间构建出既反映数学本质又适宜学生学习的数学教育形态。要把数学“冰冷的美丽”转变成学生“火热的思考”，需要把教材内容艺术地还原成生动活泼的教学内容，点燃、激发学生的思维火花，使学生能欣赏数学的美丽，感受数学的魅力，提高学习兴趣和学习效率。

为了更好地激活教材，我先来分析一下数学问题的类型和特点。Johnstone提出根据已知数据或条件、使用方法与达成目标的一种分类方法:如果这些因素都是已知的或熟悉的，问题就只是简单的常规应用，可以根据已知的解决程序、处理数据达到预定目标，那么这样的问题解决充其量只是算法练习而已；如果这些因素至少有一方面是未知的，那么这样的问题就是开放的问题,其中如果这些因素都是未知的,那就是完全开放的问题。下表中的8种不

可以被看作是“练习”。3与4就更复杂些，3需要寻找数据(信息)，4则需要与1和2中极为不同的推理。5到8都有开放的目标。现行高中数学教材中呈现的概念、定理、公式大多缺乏知识的形成过程，教材的例题或练习题一般由两部分组成，即已知条件和所求问题。这样的数学问题，它提出了解决问题的要求，但是，通常不包含提出问题的过程。

伟大的科学家爱因斯坦曾经告诉我们：提出问题比解决问题更为重要。提出问题是创新活动中的一个重要环节，它应当是创新活动的起点。相关的研究表明：数学开放题能体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态；数学开放题能体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程；数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教；数学开放题可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。开放题作为一种衡量学生高级认知能力与复杂学习水平的学习活动，由于其本身具有的开放性、探究性与建构性，故在教学与评价实践中可以逐步形成和发展学生的“问题”意识，在学生获得概念、定理和公式以及领悟数学思想方法的同时，能体验“从提出问题到解决问题”这样一个问题研究的基本过程与方法。

相当一部分人认为开放题就是“开放”的，是没有什么“清规戒律”来约束的。其实不然，作为教学中运用的开放题更要接受“是否基于教材”的衡量与判断，否则，会大大增加学生的学习负担。那么，如何开展“既不增加学生学习负担又能夯实基础、优化学生的思维品质”的数学教学呢？笔者结合教材和学生实际，对“基于教材的开放题教学”作了一些初步探索，所给案例中的问题基本是由教材的封闭问题改编而得。

二、基本模式、教学策略及其案例

2.1基本模式

基于教材的开放题在基本结构上与目前普遍使用的数学习题有一定的差异，这种问题仍然包含对数学基础知识和基本技能的要求，也能让学生展现其分析问题和解决问题的能力，但是，它还要包含一个提出问题的过程，即希望学生解决一个是由他自己发现的问题。其教学设计的基本模式如下图所示。

选择课本材料，

提出一个比较熟悉的命题、问题或已学的概念作为开放题研究的出发点；对问题中涉及的对象进行分析，列举出它的属性和问题的结论；就列举的属性进行思考，如果这个属性不是这样的话，那它可以是什么？适当改变条件或目标,然后提出新的问题；对新问题进行选择并解决，在此基础上引发更深入的问题思考。在很多情况下，开放题的提出和解决需要一些数学基本思想方法的指导，需要一些最基本的数学观念的支撑,如对原命题进行逆向探索、类比、数形联想、构建模型、一般推广等。

2.2教学策略及案例

2.2.1给公式推导或定理证明设计一个适当的问题，使学生有可能模仿着给出的提示发现值得研究的问题。模仿是学习活动的一种基本方式，同时也可以是一种初级的创新活动，在其过程中与被模仿的对象或多或少地产生一些差异，如果这种差异是通过一种有计划的自觉行动实现的，那么这种模仿就可能是启迪学生创新思维的一种比较合适的起点。

例1【课本材料】“辅助角公式”呈现在上海市高中数学教材“第五章三角比--三角恒等式”的一道例题中，其推导过程体现了三角变换的思想方法在认识上的深化和提高。

【问题导引】利用两角和的正弦公式展开)3sin(π

α+得

23cos 21sin )3sin(⋅+⋅=+ααπα。若要将表达式1sin 22

αα+化简为只含一个三

角比的形式，则表达式可以是sin()3π

α+,还可以是7sin()3πα+，)6

cos(πα-等。事实上，

利用诱导公式可以证明这几个表达式是恒等的。若将表达式1sin 2αα的系数

1,22

改为其它情形，是否还能将其化简为只含一个三角比的形式？

【问题变式】（1）初级变式：将表达式1sin 2αα改为的系数12

1

,2±12

±或1,±1±等，这些改变后的表达式是易化简为只含一个三角比的形式的；

（2）中级变式：将表达式1sin cos 22αα+的系数1,22分别改为22±±或11,22±±或1,1±±等，联想4

π的三角比可将这些表达式化简为只含一个三角比的形式的；

（3）高级变式：将表达式1sin 2αα+的系数12分别改为34,55±±或3,4±±或512,1313

±±或5,13±±等，明显，这些改变后的表达式化简为只含一个三角比的形式的难度加大了，但可联想勾股数3,4,5和5,12,13，也可将表达式化简为只含一个三角比的形式的。

【问题一般化】能将sin cos a b αα+(0)ab ≠化为sin()(0)A A αϕ+>的形式吗?

【问题解决】方法一(构造法)：因 22221()1a b a b +=+，即22

2222

1a b a b a b +=++，故令

cos ϕϕ==，则sin cos )a b αααϕ+=+。 方法二(待定系数法)： 欲要cos b αα+(0)ab ≠= sin()(0)A A αϕ+>，

只需要sin cos a b αα+(sin cos cos sin )A αϕαϕ=+，即

sin cos a b αα+cos sin sin cos A A ϕαϕα=+，只需要令cos sin A a A b ϕϕ=⎧⎨=⎩

即可，又因为

2222222cos sin A A a b A ϕϕ+=+=，0ab ≠，0A >，所以A =，此时

cos ϕϕ==。 2.2.2给公式推导或定理证明设计一个适切的问题，引发学生采用归纳－猜想－证明的研究方法发现和解决问题。所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式。数学发现，通常通过归纳进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的，这是发现一个数学新结论的常用途径。

例2【课本材料】“扩充的正弦定理”呈现在上海市高中数学教材“第五章三角比--解斜三角形”的一道例题中，该定理进一步反映了三角形“边角关系”的本质。

【问题导引】我们知道，在ABC ∆中，已知一边a 及其对角A ，这样的三角形有无数个，