基于高中数学教材的开放题教学的实践研究

基于高中数学教材的开放题教学的实践研究
上海市松江二中黄继红
摘要：通过基于教材的开放题教学,学生在获得知识和技能的同时，能体验“问题提出和解决”的探究过程，达到优化思维品质的目的。

结合多个基于教材的开放题教学的案例，总结基于教材的开放题教学的基本模式和教学策略,构建了基于教材的开放题教学能把教科书上的“冰冷的美丽”还原成学生“火热的思考”的一种数学教育形态。

在多年实践的基础上,提出了进一步思考的问题。

关键词：高中数学教材；开放题；基本模式；教学策略；案例。

一、问题提出
高中数学受学生欢迎的程度正在降低，原因是多方面的，除了应试的原因外,还有教材的数学表现形式是枯燥的、冷冰冰的原因，更有教师的教学理念仍停留在“教教材”而非“用教材教”的原因，即使有一些教师注重教材的再创造，但缺乏较有效的引领学生提出问题和解决问题的策略。

正如张奠宙教授指出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态”。

他的话语击中了数学教育的核心，数学教学应在数学的自然形态和数学的学术形态的两极之间构建出既反映数学本质又适宜学生学习的数学教育形态。

要把数学“冰冷的美丽”转变成学生“火热的思考”，需要把教材内容艺术地还原成生动活泼的教学内容，点燃、激发学生的思维火花，使学生能欣赏数学的美丽，感受数学的魅力，提高学习兴趣和学习效率。

为了更好地激活教材，我先来分析一下数学问题的类型和特点。

Johnstone提出根据已知数据或条件、使用方法与达成目标的一种分类方法:如果这些因素都是已知的或熟悉的，问题就只是简单的常规应用，可以根据已知的解决程序、处理数据达到预定目标，那么这样的问题解决充其量只是算法练习而已；如果这些因素至少有一方面是未知的，那么这样的问题就是开放的问题,其中如果这些因素都是未知的,那就是完全开放的问题。

下表中的8种不
可以被看作是“练习”。

3与4就更复杂些，3需要寻找数据(信息)，4则需要与1和2中极为不同的推理。

5到8都有开放的目标。

现行高中数学教材中呈现的概念、定理、公式大多缺乏知识的形成过程，教材的例题或练习题一般由两部分组成，即已知条件和所求问题。

这样的数学问题，它提出了解决问题的要求，但是，通常不包含提出问题的过程。

伟大的科学家爱因斯坦曾经告诉我们：提出问题比解决问题更为重要。

提出问题是创新活动中的一个重要环节，它应当是创新活动的起点。

相关的研究表明：数学开放题能体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态；数学开放题能体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程；数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教；数学开放题可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。

开放题作为一种衡量学生高级认知能力与复杂学习水平的学习活动，由于其本身具有的开放性、探究性与建构性，故在教学与评价实践中可以逐步形成和发展学生的“问题”意识，在学生获得概念、定理和公式以及领悟数学思想方法的同时，能体验“从提出问题到解决问题”这样一个问题研究的基本过程与方法。

相当一部分人认为开放题就是“开放”的，是没有什么“清规戒律”来约束的。

其实不然，作为教学中运用的开放题更要接受“是否基于教材”的衡量与判断，否则，会大大增加学生的学习负担。

那么，如何开展“既不增加学生学习负担又能夯实基础、优化学生的思维品质”的数学教学呢？笔者结合教材和学生实际，对“基于教材的开放题教学”作了一些初步探索，所给案例中的问题基本是由教材的封闭问题改编而得。

二、基本模式、教学策略及其案例
2.1基本模式
基于教材的开放题在基本结构上与目前普遍使用的数学习题有一定的差异，这种问题仍然包含对数学基础知识和基本技能的要求，也能让学生展现其分析问题和解决问题的能力，但是，它还要包含一个提出问题的过程，即希望学生解决一个是由他自己发现的问题。

其教学设计的基本模式如下图所示。

选择课本材料，
提出一个比较熟悉的命题、问题或已学的概念作为开放题研究的出发点；对问题中涉及的对象进行分析，列举出它的属性和问题的结论；就列举的属性进行思考，如果这个属性不是这样的话，那它可以是什么？适当改变条件或目标,然后提出新的问题；对新问题进行选择并解决，在此基础上引发更深入的问题思考。

在很多情况下，开放题的提出和解决需要一些数学基本思想方法的指导，需要一些最基本的数学观念的支撑,如对原命题进行逆向探索、类比、数形联想、构建模型、一般推广等。

2.2教学策略及案例
2.2.1给公式推导或定理证明设计一个适当的问题，使学生有可能模仿着给出的提示发现值得研究的问题。

模仿是学习活动的一种基本方式，同时也可以是一种初级的创新活动，在其过程中与被模仿的对象或多或少地产生一些差异，如果这种差异是通过一种有计划的自觉行动实现的，那么这种模仿就可能是启迪学生创新思维的一种比较合适的起点。

例1【课本材料】“辅助角公式”呈现在上海市高中数学教材“第五章三角比--三角恒等式”的一道例题中，其推导过程体现了三角变换的思想方法在认识上的深化和提高。

【问题导引】利用两角和的正弦公式展开)3sin(π
α+得
23cos 21sin )3sin(⋅+⋅=+ααπα。

若要将表达式1sin 22
αα+化简为只含一个三
角比的形式，则表达式可以是sin()3π
α+,还可以是7sin()3πα+，)6
cos(πα-等。

事实上，
利用诱导公式可以证明这几个表达式是恒等的。

若将表达式1sin 2αα的系数
1,22
改为其它情形，是否还能将其化简为只含一个三角比的形式？
【问题变式】（1）初级变式：将表达式1sin 2αα改为的系数12
1
,2±12
±或1,±1±等，这些改变后的表达式是易化简为只含一个三角比的形式的；
（2）中级变式：将表达式1sin cos 22αα+的系数1,22分别改为22±±或11,22±±或1,1±±等，联想4
π的三角比可将这些表达式化简为只含一个三角比的形式的；
（3）高级变式：将表达式1sin 2αα+的系数12分别改为34,55±±或3,4±±或512,1313
±±或5,13±±等，明显，这些改变后的表达式化简为只含一个三角比的形式的难度加大了，但可联想勾股数3,4,5和5,12,13，也可将表达式化简为只含一个三角比的形式的。

【问题一般化】能将sin cos a b αα+(0)ab ≠化为sin()(0)A A αϕ+>的形式吗?
【问题解决】方法一(构造法)：因 22221()1a b a b +=+，即22
2222
1a b a b a b +=++，故令
cos ϕϕ==，则sin cos )a b αααϕ+=+。

方法二(待定系数法)： 欲要cos b αα+(0)ab ≠= sin()(0)A A αϕ+>，
只需要sin cos a b αα+(sin cos cos sin )A αϕαϕ=+，即
sin cos a b αα+cos sin sin cos A A ϕαϕα=+，只需要令cos sin A a A b ϕϕ=⎧⎨=⎩
即可，又因为
2222222cos sin A A a b A ϕϕ+=+=，0ab ≠，0A >，所以A =，此时
cos ϕϕ==。

2.2.2给公式推导或定理证明设计一个适切的问题，引发学生采用归纳－猜想－证明的研究方法发现和解决问题。

所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式。

数学发现，通常通过归纳进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的，这是发现一个数学新结论的常用途径。

例2【课本材料】“扩充的正弦定理”呈现在上海市高中数学教材“第五章三角比--解斜三角形”的一道例题中，该定理进一步反映了三角形“边角关系”的本质。

【问题导引】我们知道，在ABC ∆中，已知一边a 及其对角A ，这样的三角形有无数个，
由正弦定理可得,sin sin b c B C 是定值，它们都等于sin a A 。

那么，比值sin a A
有什么几何意义呢?
【特例研究】（可以借助几何画板引导学生观察分析）
(1)当90,10A a ︒==时，在边BC 确定的前提下，通过直角顶点A 的轨迹研究，发现sin a A 等于ABC ∆的外接圆的直径；
(2)当30,5A a ︒==时，在边BC 确定的前提下，通过顶点A 的轨迹研究，结合圆的知识和直角三角形的边角关系，发现sin a A
等于ABC ∆的外接圆的直径； (3)当150,5A a ︒==时，在边BC 确定的前提下，通过顶点A 的轨迹研究，结合圆的知识和直角三角形的边角关系，发现
sin a A
等于ABC ∆的外接圆的直径。

【归纳猜想】在ABC ∆中，已知一边a 及其对角A 。

猜想:sin a A 等于ABC ∆的外接圆的直径。

【发现问题】在ABC ∆中，设,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边长，其外接圆的直径为2R ，则2sin sin sin a b c R A B C
===--扩充的正弦定理。

【问题解决】参见高中一年级第二学期数学课本72页。

2.2.3将原有的数学问题作适当的串联，引导学生类比分析，开展逐步深入的探究。

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。

类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证，这也是数学研究的一种重要方法，是获得数学新结论的一个重要途径。

例3【课本问题】上海市高中数学二年级第二学期的数学练习中有这样三道有关“圆、椭圆、双曲线”的轨迹问题：①已知,A B 两点相距10厘米，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，求点P 的轨迹；
②已知ABC ∆中的两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，AC 边和BC 边所在直线的斜率之积是49
-，求顶点C 的轨迹； ③已知ABC ∆中的两个顶点是(0,6),(0,6)B C -，AB 边和AC 边所在直线的斜率之积是49
，求顶点A 的轨迹。

【分析属性】以上三个问题涉及的对象都是两个定点和一个动点，其属性是动点与两定点的距离之比是某一定值或是动点与两定点的连线的斜率之积是某一定值，研究的目标都是动点的轨迹。

【改变属性并提出问题】
从常见几何量改变条件,如线段长度、图形面积、角的大小、向量的数量积、直线的斜率等方面提出定值改变条件。

（1）从线段长度：研究动点(,)P x y 到两个定点,A B 的距离的和、差、积、商、平方和、平方差为定值的轨迹等；（2）从构成图形的面积：研究动点(,)P x y 与两个定
点,A B 构成的三角形面积为定值的轨迹；（3）从张角的大小：研究动点(,)P x y 与两个
定点,A B 的张角APB ∠的大小为定值的轨迹；（4）从向量的数量积：研究PA PB ⋅ 为
定值的动点(,)P x y 的轨迹；（5）从直线PA 与直线PB 的倾斜角关系研究动点(,)P x y 的轨迹；（5）从直线PA 与直线PB 的斜率关系研究动点(,)P x y 的轨迹等。

【选择问题并解答】
（1）将课本练习①一般化
已知两定点(,0),(,0),(0)A c B c c ->，动点P 满足条件(0)PA a a PB
=>，求P 点的轨迹。

解：设动点(,)P x y ，由(0)PA a a PB
=>a =，化简得： 当1a ≠时，得222222(1)01c a x x c y a ++++=-.整理得：2
2221()1
a x c y a +-+=-222()1ac a -；当1a =时，得0x =。

所以当1a ≠时，P 点的轨迹是以221(,0)1a c a +-为圆心，|1
22-a ac |为半径的圆；当1a =时，P 点的轨迹为y 轴.
说明：平面内到两定点的距离之比为常数(0,1)a a a >≠的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗尼(希腊，Apollonius of Perga ，260～190B ．C ．)圆．
（2）将课本练习②③一般化
设(,0)A a -，(,0),(0)B a a >，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为m (0)m ≠，求动点P 的轨迹。

解：设(,)P x y ，由题意得y y m x a x a ⋅=+-（x a ≠±），化简得22
221x y a ma
-=（x a ≠±）。

所以当0,1m m <≠-时，动点P 的轨迹是椭圆（除A 、B 外）；当1m =-时，动点P 的轨迹是圆（除A 、B 外）； 当m >0时，动点P 的轨迹是双曲线（除A 、B 外）。

说明：“圆、椭圆、双曲线”的方程形式具有统一性，体现了对立统一的观点。

【问题再思考】
（1）对课本问题②③的推广作逆向思考，研究圆、椭圆和双曲线共同的几何属性。

若(,)P x y （0y ≠）是曲线22
221x y a ma
-=(0,0)m a ≠>上的任意一点，(,0)A a -，(,0),(0)B a a >，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为m 。

（证明略）
（2）将课本问题②③的推广的逆向问题一般化
若AB 是过曲线22
221x y a ma
-=(0,0)m a ≠>中心的任一弦，P (,)x y 是该曲线上异于A 、B 的任意一点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为m 。

证明：曲线22
221x y a ma
-=(0,0)m a ≠>中心是原点，可设0000(,),(,)A x y B x y --，由题意得：22000221,x y x x a ma -=≠±，则0000,PA PB y y y y k k x x x x -+==-+， 220220
PA PB y y k k x x -⋅=-， 又22222200,y mx ma y mx ma =-=-，
所以22222200222200
()PA PB mx ma mx ma mx mx k k m x x x x ----⋅===--，即直线PA 与直线PB 的斜率之积为m 。

法表述；等比数列用除法定义，其性质用乘法表述，观察表中等差数列和等比数列的求和公式，发现它们不具有上述类比特点。

请根据等差数列的求和公式，研究等比数列的类似结论。

【问题研究】
1．问题
若{}n a 为是等差数列，则它的前n 项和1()2n n n a a s +=。

类比上述命题，若{}n a 为等比数列，请写出它的前n 项积n T ．
2．研究
类比等差数列前n 项和“逆序求和”的推导方法，联想应用“逆序求积”推导等比数列的前n 项积。

令123,n n T a a a a =⋅⋅⋅121,n n n n T a a a a --=⋅⋅⋅则2121321()()()(),n n n n n T a a a a a a a a --=⋅⋅⋅ 因{}n a 为等比数列，则121321,n n n n a a a a a a a a --===⋅⋅⋅=所以21()n n n T a a =。

说明：等差数列的前n 项和n s 满足12()n n s n a a =+，而等比数列的前n 项积n T 满足21()n n n T a a =，从结论的形式上可以发现它们具有类似特征。

【问题再思考】
(1)若{}n a 为等差数列，设d 为公差，其前n 项和为n s ，判断n n n n n s s s s s 232,,--是否成
等差数列；
(2)对公比为q 的等比数列{}n a 是否有类似（1）的结论?
证明：（1）令12321232322122233n n
n n n n n n n n n n n n
A s a a a a
B s s a a a a
C s s a a a a ++++++==+++⋅⋅⋅+=-=+++⋅⋅⋅+=-=+++⋅⋅⋅+，因为{}n a 是等差数列，所以
2,,n k k n k n k a a nd a a nd +++-=-=则2B A C B n d -=-=，
所以n n n n n s s s s s 232,,--成等差数列．
(2)若等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项积为n T ，则232,,n n n n n
T T T T T 成等比数列，且公比为2n q ； 若等比数列{}n a ，公比为1q ≠-或n 是奇数，其前n 项和为n s ，则n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列，且公比为n q 。

2.2.4以新的视角重新论述学生已知的数学对象，引导学生利用新的工具如：数形结合、建立模型等提出新问题并获得结论。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合，这是指导学生数学发现的一种非常基本的思考。

建立模型也是数学思考的一种方式，它是建立在一定数学经验基础上依赖联想的一种调整思维的策略。

例5【课本材料】上海市高中数学教材的第五章三角比的解斜三角形中有这样一道例题：在ABC ∆中，求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=，课本的证法是应用正、余弦定理进行三角形中“边角互化”而得。

【问题导引】观察恒等式22
sin 2sin 22sin a B b A ab C +=，我们发现2sin ab C 是ABC ∆面积的4倍，如果我们将恒等式两边同除以4及应用二倍角公式，那么得到111sin cos sin cos sin 222
b A b A a B a B ab C ⋅+⋅=,由此我们可以构造它的几何意义如下:在ABC ∆中，作CD AB ⊥，D 为垂足，当D 在边AB 上时，
11sin cos ,sin cos 22
b A b A a B a B ⋅⋅分别表示A C D ∆和BCD ∆的面积，其和正是ABC ∆的面积。

当D 在边AB 的端点或在边AB 的延长线上时，你还能解释此恒等式的几何意义吗？请利用图形再写出一个有关ABC ∆六个基本元素的恒等式。

【问题研究】
1．当D 在边AB 的端点，不妨设D 与B 重合时，ABC ∆是B 为直角顶点的三角形，则1sin cos 02a B a B ⋅=，11sin cos ,sin 22
b A b A ab C ⋅都表示ABC ∆的面积，所以22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=仍成立；当D 在边AB 的延长线上时，不妨设D 在线段
AB 的延长线上，则11sin cos ,sin cos 22
b A b A a B a B ⋅-⋅分别表示A C D ∆和BCD ∆的面积，它们的差正是ABC ∆的面积，所以22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=仍成立。

2．（1）利用“ACD ∆和BCD ∆的面积比”可写出如下等式：
ABC ∆中，若,90A B ︒
≠，则22sin cos tan sin cos tan a B B A b A A B
=； （２）利用“ACD ∆和BCD ∆的面积差”可写出如下等式：
设D 在边AB 上,b a >，BDC ∆关于CD 对称的图形为EDC ∆，则
111sin cos sin cos sin(2)222
b A b A a B a B ab C A π⋅-⋅=-+， 因A B C π++=，将等式两边乘以４得，22sin 2sin 22sin()b A a B ab A B -=-；
（3）还可以利用线段长度的关系得ABC ∆中的恒等式cos cos b A a B c +=等。

【问题再思考】（1）以上结论均可对几何图形的各种情况加以分类讨论证明其正确性，也可用正、余弦定理进行“边角互化”加以证明；
（2）在ABC ∆中，如果作BC 边上的中线AD 和A ∠的平分线AE ，那么可从线段长的角度写出有关ABC ∆的恒等式，如：2222422AD BC AB AC +=+，
AB BD AC DC =等。

例6【课本材料】上海市高中数学教材中，关于组合数有以下的性质：
(,,),m n m n n C C m n m N n N -*=≤∈∈111(,,)m m m n n n C C C m n m N n N ++*++=≤∈∈,它们是通过应用组合数公式及其变形而证得的。

【问题导引】111
(,,)m m m n n n C C C m n m N n N ++*++=≤∈∈的证明可以通过建立模型而得，如从n 个不同的白球和一个红球组成的1n +个球中任取1m +球，则取法总数为11m n C ++；其取
法也可以看作分为两类方法获取，一类是红球不取，则其取法数为1m n C +，还一类是红球必
取，其取法数为m n C ，因此得111(,,)m m m n n n C C C m n m N n N ++*++=≤∈∈成立。

请用建立模型的方式再写出一个有关组合数的恒等式。

【问题研究】
（1）有2n 个人，其中n 个是男生、n 个是女生，现从中选择n 位同学参加志愿者服务，共
有2n n C 种选法；但按男生选择的人数进行分类：分别选0、1、2、……、n 个共n +1类不同
的选法，则选择n 位同学共有011220n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C --++++ 种不同的选法，所以得
011220n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C --++++ ＝2n n C 。

再由k n k n n
C C -=得n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ 。

（2）将（1）一般化有恒等式
011220(,,,,)k k k k k m n m n m n m n m n C C C C C C C C C m n k k N m n N --*+++++=≥∈∈
例7【课本材料和问题】学完高中数学教材中多面体的概念和性质后，请同学研究这样一个问题：过空间同一点的四条射线两两成等角α，求α的大小。

【构建模型研究】
这四条射线可看作从一个正四面体外接球的球心出发与四顶点的连线所在的射线，它们两两成等角，因此α的大小可以置于正四面体中解决。

2.2.5引导学生建立新概念并利用新概念提出新问题、研究新结论。

引导学生在感觉、体验中发现新概念，在归纳类比、抽象概括中形成新概念，在巩固应用新概念中提出新问题并获得新结论，这是数学创新活动的体验。

例8【课本材料】从高中数学教材“函数的基本性质”的学习中，我们知道：对于任意实数x D ∈，都有()()f x f x -=⇔函数()()y f x x D =∈的图像关于y 轴对称
⇔()()y f x x D =∈是偶函数；对于任意21,x x I ∈，当1x <2x 时，都有12()()f x f x <⇔函数()()y f x x I =∈的图像上右侧的点总比左侧的点高⇔()y f x =在I 上是增函数。

【问题导引】设()f x kx b =+，当自变量x 等值变化时，函数值()f x 也等值变化，请类似地写出()f x kx b =+所满足的数量关系和图象特征。

解：当自变量x 等值变化时，函数值()f x 也等值变化⇔对于任意21,x x R ∈，设21x x x x -=-，都有21()()()()f x f x f x f x -=-⇔对于任意21,x x R ∈，都有1212()()()22
x x f x f x f ++=⇔函数()y f x =的图像是直线型。

【问题变式】
（１）设函数()y f x =为定义在I 上的函数，对于任意21,x x I ∈，设21x x x x -=-，都有21()()()()f x f x f x f x -≤-⇔如果任取1x 、2x ∈I 上，都有
1212()()()22
x x f x f x f ++≥ ⇔函数()()y f x x I =∈图像上任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方（或重合）；
（2）设函数()y f x =为定义在I 上的函数，对于任意21,x x I ∈，设21x x x x -=-，都有21()()()()f x f x f x f x -≥-⇔如果任取1x 、2x ∈ I 上，都有
1212()()()22
x x f x f x f ++≤⇔函数()()y f x x I =∈图像上任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方（或重合）。

【新概念形成】设函数()y f x =为定义在I 上的函数，如果任取1x 、2x ∈ I ，都有
（1）1212()()(
)22
x x f x f x f ++≥，则称()y f x =为I 上的凸函数； （2）1212()()()22
x x f x f x f ++≤，则称()y f x =为I 上的凹函数。

显然，函数()f x kx b =+既是R 上的凸函数也是R 上的凹函数。

【新概念应用】
(1)当0a >时，2()f x ax bx c =++是R 上的凹函数；当0a <时，2()f x ax bx c
=++是R 上的凸函数；当0a =时，函数()f x 既是R 上的凸函数也是R 上的凹函数。

（2）()(0,1)x f x a a a =>≠是R 上的凹函数。

（3）当1a >时，()log a f x x =是R +上的凸函数；当01a <<时，()log a f x x =是R
+上的凹函数。

【新结论】根据幂函数的凸凹性，写出恒成立的不等式。

（1）由2
()f x x =是R 上的凹函数得，任取1x 、2x ∈R 上，都有2221212()22x x x x ++≥； （2）由1
2()f x x =是[)0,+∞I 上的凸函数得，任取1x 、2x ∈[)0,+∞
上，都有
≥； （3）由4()f x x =是R 上的凹函数得，任取1x 、2x ∈R 上，都有4441212()22
x x x x ++≥等。

【新发现】已知函数()2,0,0
x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，请问()y f x =是否为R 上的凹函数？若是，请证明；若不是，请说明理由,并适当改变()y f x =使得()y f x =为R 上的凹函数。

解：当1211,2x x =-=时，1211(),244x x f f +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()()121134,228
f x f x -++==- 此时()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
，所以()f x 不是R 上的凹函数。

若()2,0,0
x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩改为()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩或()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()f x 是R 上的凹函数(证明略)。

2.2.6满足某种条件的数学对象是否存在？如果存在，满足条件的对象有几个？这是开放题中常见的问题，也是数学发现的一种非常基本的思考。

有时通过特殊与一般的思考方式研究存在性问题；有时先研究存在的必要条件再思考其充分条件；有时直接通过演绎推理得到存在的充要条件，这些也应当被认为是一次对数学创新活动的体验。

例9【课本材料】在高中数学教材“数列”内容的学习时，经常出现这样的问题:已知函数()()y f x x D =∈及满足1()n n x f x +=的递推数列}{n x ，分别研究使得该数列{}n x 为有穷数列和无穷数列的首项1x 的取值。

【基本问题】已知函数()21x f x x =
+，数列}{n x 满足1()n n x f x +=。

若1x ＝8
1-，请写出数列{}n x 的所有项。

【问题变式和解决】
（１）若要数列{}n x 只含有k 项，是否存在首项1x 的值？
解：1k =时，112x =-；2k =时，114x =-；3k =时，116x =-；4k =时，118
x =-； 猜想：若要数列{}n x 只含有k 项，则11
2x k
=-。

证明：由递推公式121n n n x x x +=
+，推得111
2n n
x x +=+，从而得到通项公式112(1)1n x x n x =
-+，因为数列只含有k 项，所以12k x =-
，则11
2x k
=-。

（２）若要数列{}n x 是一个无穷数列，是否存在首项1x 的值？若存在，试写出所有符合条件的首项1x 的值。

解：由通项公式112(1)1n x x n x =-+可知，欲得到无穷数列{}n x ，当且仅当1
12(1)1x n x -+恒有意义，
所以当且仅当11
()22
x n N n *≠-
∈-的所有值即为符合条件的首项1x 的值。

例10【问题和解决】已知正数数列{}n a 的通项公式23231n n n a ⨯+=-()
*
∈N n ，设2
n n
n a p b a +=-，请问是否存在实数常数p ，使得{}n b 为等比数列。

解法一 先研究使得{}n b 为等比数列的p 存在的必要条件，再通过检验研究其充分条件。

由题意得:4
2(2)(31)4(2)3(2)314431
n n n n n p p p p b +
++-++⋅+--=
==-, 假设存在实常数p ，使得{}n b 为等比数列，则22130b bb -=，解得2p =±，即2p =±是{}n b 为等比数列的必要条件；下面检验2p =±也是{}n b 为等比数列的充分条件，这是因为:当
2,3n n p b ==则，{}n b 是等比数列；当2,1n p b =-=则，{}n b 为等比数列。

∴当且仅当2p =±时，{}n b 为等比数列。

解法二 直接研究其存在的充要条件
{}n b 为等比数列12
1
(*)n n n n b b n N b b +++⇔
=∈，即 122[(2)3(2)][(2)3(2)][(2)3(2)]0(*)n n n p p p p p p n N ++++--++-++-=∈ 212(4)(2333)0(*)n n n p n N ++⇔-⋅--=∈
2(4)340(*)2n p n N p ⇔--⋅⋅=∈⇔=± ∴当且仅当2p =±时，{}n b 为等比数列。

三、进一步的思考
笔者在基于教材的开放题教学的实践中，所任教班级的学生在数学的“学习兴趣与好奇心”、“提出问题”、“应用能力”、“撰写论文”等方面有较明显的优势，在上海市应用数学竞赛和上海市数学论文评比中有多位同学获奖。

但是，基于教材的开放题教学是引领学生提出问题和解决问题的一个新的实践活动，其中还有许多问题有待解决。

寻找基于教材并适合学生的问题切入口是在课堂教学活动中获得推广的关键所在；在引领学生提出问题和解决问题的过程中，用怎样的语言比较清晰、准确的表达问题还需不断的积累经验；因开放题解决需要较多的时间，它和课堂教学时间的有限性是一对矛盾，所以更需教师注意开放题难度的把握；又因许多开放题答案的不确定和难以衡量开放题难度与区分度，还需教师改进评价的方式方法。

在基于教材的开放题教学的实践中，我深感基于教材的开放题教学的研究是一个很有意义的课题，其内容远非本文的一个部分就可以讨论充分的。

因此，笔者已经打算把这个课题作为以后进一步关注的重点之一，这是因为开放题教学是一个涉及到涵盖课程开发、课堂教学、教学评价、教师专业发展等领域在内的综合性问题。

参考文献：
[1]崔允漷,张雨强,冯翠奠.开放题编制的理论与技术研究 华东师范大学出版社，2009.4. [2]况亦军.研究性学习视角下的中学数学命题研究 上海《数学教学》杂志，2008.7
2011-04-10。