混沌动力学

其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。 沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
3.1.2 “混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
山东大学研究生专业基础课
高等工程地质学
主讲教师：薛翊国 山东大学 2011年9月
第二十二章 混沌动力学
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如果从x=x0开始按照公式
迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小
于n时都不回到原来地方，则x0就叫f(x)的一个n周
期点。 李证明，如果区间到区间自身的函数f(x)连续， 且有一个3周期点，那么，对于任何正整数n，f(x) 有n周期点。(周期3则混沌)
李和约克把这项研究成果写成论文真的 寄到《数学月刊》去了，但很快论文便被退 回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研 究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改 写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。 过了一年(1974)，约克教授在一次会议 上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛， 他立即想到这个区间迭代问题。
所以，如用
作迭代，则到第3002次有
再换一个和
相差很小的无理数 →无周期的序列
三个相差很小的初始条件，
但迭代到3002次后，则相差甚远，真是“差之
毫厘，失之千里”。
计算结果对初始条件敏感地依赖性。
3.2.2 Logistic映射
设想在一个小岛上繁衍着某类昆虫，每年春 末蜉出，夏末产卵后死去。下一代在第二年又重 复同样的生死轮回，就这样年复一年地传种接代 下去。那么，若干年后这类昆虫的繁衍状况如何 呢？ 为了描述这种昆虫的繁衍状况，德国生物 学家（Verhulst）1837年建立了这样一个理想化 的生态模型：
2点周期： （1 ） 说明 经过两次映射（两个f）又回到 一个复合函数： 显然， 满足上述条件，即 （2） ，如果定义
不动点稳定的条件：
据此可求出
稳定时K的取值范围。
K1
K2
时，4点周期将取代2点周期
当 即：
根据4点周期稳定的条件，可求出4点周期 稳定的K的取值范围：
用计算机求解这两个高次代数方程，得
那么，要使 逐渐趋于稳定不动点 的进行， 逐渐减小，即
，则随着迭代
上式就是不动点
的稳定条件。
那么
由
在不动点处，
所以，不动点
的稳定条件为：
将
代入上式，得到不动点
的稳定性条件为：
也就是说，要使昆虫的数目随时间延续不致于消亡，
那么K=?
我们来看x的另一个不动点
也即：当参数从K<1变为K>1时不动点 交给 了。
二、雷诺实验
在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌 现象便是湍流。 雷诺（Reynold）实验: 在一个可控制流速的 园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一 丝有色液体，以便观察流体的运动状况。 (1) 当管中液体流速不大时，有色液体的流动 顺直光滑，层次分明→层流。
(2) 当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将 发生规则地振荡→湍流（紊流）。
把稳定性
(二) 1<K<3 (K1=3)
从上图可以看出： ①随着K值的增大，曲线斜率在逐渐变陡，而
只有那些曲线斜率小于1 的不动点才为稳定不动点。
②当昆虫的繁殖能力K达到一定程度时，无论初始 怎样小（昆虫数量各多少）（但 它都会逐年增加，最后把昆虫数目稳定在 一个 生存资源条件允许的有限数目上。但我们看到，这个 有限数目 也会随着K的增加而增加，但这种 趋势不会永远继续下去，当K超过3时 也会变成不 稳定。
4周期点稳定条件：
当 当 当
时，4点周期→8点周期
时，8点周期→16点周期
时，16点周期→32点周期
倍周期分叉：随着控制参数K的不断增大
，稳定不动点的个数从一分为二，二分为四，四
分为八，……，呈周期加倍的分叉现象称之。
K0
K1
K2
K3
K
类似的分支可以不断地继续下去，每到分 支点Kn会出现稳定的2n点周期。
Logistic映射（离散模型）
求解差分方程可采用逐步迭代法运算：
即：
是从初始
开始连续n次用f函数作用的结果。
f 函数的这种作用在数学上称为映射。
自身映射：如果控制参数K值在0和4之间， Logistic 仍然映射到该区间， 函数f 的作用是把任何值 即 ，这种映射称为自身映射。
Logistic映射
混沌动力学(chaotic dynamics)
“混沌”一词译自英文“Chaos”，意为“混 沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。 “混沌”一词自古以来，国内外的书籍中就 早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天 辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。 1963年Lorenz在其论文《确定性非周期流》中 提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。 但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克 （Yoke）在1975年的论文“周期3则混沌”是首次 引用Chaos一词。
不是2的幂数时，则序列为周期解。 例如：
… 即 大于一定的数后将在三个数 之间循环
（3）当 是无理数时，则序列既不趋向于零，也不 趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。
但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态， 即混沌。 以
为例，迭代下去有 初值 和 一点，如： ，但若一个 前900多位小数都相同， 后面只差
3.2.3 从倍周期分叉通向混沌 (一) 0<K<1 (K0=1)
不动点：稳定点、收敛点 解不动点？
每个不动点：
当K=0.5时：
因此，当K=0.5时，昆虫演化的最终结果是趋于稳定 不动点 ，即消亡。
那么，作为生态学研究的课题，K究竟要达到何值才 能使之摆脱消亡（灭亡）的不幸结局呢？
可采用分析不动点的稳定性条件来回答这个问题。 在稳定的不动点 附近，如果把每次迭代结果写成：
为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子——Lorenz模型。
Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明： 短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可 能的。 “蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶 然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变 成席卷北半球某地的一场龙卷风。
(三) 3<K<
(K2=
=3.4495)
既然是重复出现：
系统重复出现的这两个点 称为2点周期。 上述情况表明：当K>3时，昆虫数的长时间行为不再 趋于某一固定值，而是趋于一年多一年少的周期值 （交替）。
线性项（加快繁殖）；非线性项（限制繁殖） 这种交替变化来源于线性项 和非线性项 之间的竞争。 状态， ① 如果某一年的昆虫数处于较少的 则少量的昆虫有足够的食物和良好的环境空间，绝大 多数昆虫都能活到夏末的产卵期，留下大量的卵可供 第二年春季蜉化出众多的昆虫数 。 时，岛上食物不再能供应 ② 当昆虫数真正达到 如此众多的昆虫，绝大多数昆虫未能到产卵期使中途死 亡，幸存的昆虫留下少量的卵在第三年又蜉化出 的新一代。
：t时刻的昆虫数 K：昆虫繁殖后代的能力 L：环境容量，环境能够供养的最大昆虫数目。 的饱和值X*。 其等于
如果我们将环境容量取为1个单位，也即意味着 如果L=100万，那么昆虫数目 应以100万为单位。 上式变为：
x
此式的精确解为：
X（0）是 时的昆虫数。 昆虫繁衍的长期行为：当 饱和值
t
如果我们每年对昆虫数目测算一次，并用 表示第n 和t就变为离散变量 年的昆虫数，则原来的连续变量 则：Verhulst生成模型就演化为：
混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和 有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然 的行为的方法。 确定性的方程可以产生随机行为。 湍流： Navier-stokes 方程 Logistic映射：
Lorenz模型：
3.2 混沌产生的数学模型
对于确定性系统中的随机性，即混沌现象， 也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代 过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分 析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现 象的本质。
3.3.1 各态历经
当演化处于混沌区后，由于它是无穷周期 点，随着时间的演化，系统的状态几乎可分布 于[0，1]的整个区间→各态历经。
3.3.2 混沌带倍周期逆分叉
两点规律： ① 当K从4减小时，昆虫数历经的区域逐步在缩小； ② 在混沌带内的某些部位，当K减小到 时， 混沌带又二分 原来连成一片的混沌带一分为二，到 ……，这种行为与倍周期分支行为类似，所以称 为四， 为混沌带倍周期逆分叉。
ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
三、Benard对流实验
3.1.3 混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。
① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统 可以有效地表现出随机行为。
确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
各相邻分支点的间距
随着n的增大逐渐减小。
当n比较大的时候，稍微改变一下控制参数
K的值，周期加倍会很快发生，直到
无穷长的周期，即非周期。
当K大于
，昆Hale Waihona Puke Baidu数的长时间行为不再稳定到
任何不动点或周期值上，它可以从小到大表现得很
随机，这时我们说昆虫的演化进入了混沌状态。
1<K<3
3<K<3.4495
3.4495<K<3.5441
3.1 引
言
3.1.1 “混沌”的来历
1973年4月的一天，在美国马里兰大学 数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地 走进导师约克教授的办公室，此时李的博士 论文正处于胶着阶段，一时未有进展。
约克给了李一个区间迭代问题，李却开 玩笑地说这个问题的解决足以送到美国《数 学月刊》上发表。
两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。
3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。
讨论一维映射：
xn
1
xn=xn-1
1/2
1
xn-1
从表面上看，序 列 形态： （1）当 幂数
似乎有三种
是有理数，且用分数表示时,其分母为2的 （k是正整数）时，此时 。
例如：
（2）当
是有理数，且用分数表示。其分母
K>3.5699
3.3 混沌中的规律性
混沌的产生经历了一个从无序→有序→无序的 过程，混沌与简单的无序（平衡态的均匀无序）是 有本质差别的
(1) 有序：混沌的产生条件是在远离平衡状态， 在混沌的无序中还包含着更深层次的有序性；
(2) 无序：混沌是一种有结构的无序，表面上看 起来是杂乱无规则的混沌是有其内在规律性的。
混沌现象首先是1963年被美国气象学家 Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动 力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立 了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在 计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的 位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍 去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz 的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相 径庭，几乎变得完全认不出来了。
K2
K1
3.3.3 周期窗口
混沌区并不完全是无序的，它有着复杂的结
构。通过对混沌区的仔细观察可以发现，在混沌
区内还存在着一些大大小小的透明窗口，在这些 窗口内，昆虫数的演化是周期性的。 在这些窗口，最大的周期窗口是周期3， 它发生于
3.3.4 阵发混沌
当 ，时出现的3个不稳定不动点之 间形成了三处狭窄“走廊”。