二项分布及其应用.ppt
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概率的加法原理：几个互不相容的事件至少发生其一的概率等 于各事件发生概率的和。
3只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算 0.8, n 3
小白鼠存亡组合方 式
生存数 死亡数 （n-X） （X）
（1）
3
0
排列方式 每种排列的概率
每种组合的概率
甲乙丙
P(
X
)
C
X n
X
(1
)
n
X
（2）
（3）
（4）
生 生 生 0.2×0.2×0.2=0.008
P (0)
C
0 3
(0.8)
0
(1
0.8)
30
0.008
生 生 死 0.2×0.2×0.8=0.032
2
1
生 死 生 0.2×0.8×0.2=0.032 P(1) C31 (0.8)1 (1 0.8)31 0.096
死 生 生 0.2×0.8×0.2=0.032
（要求各观察单位同质）。
二、二项分布的性质
（一）均数和标准差
设从概率为的总体中随机抽取样本量为n的样本，每个样
本的事件发生数为x，则 x ~B(，n)。可以证明：
x n
x n 1
若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：
p
p
1
n
率的标准误（standard error of rate）：
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
(三)二项分布的图形
p n=5, =0.5
n=10, =0.5
xx
n=20, =0.5
n=30, =0.5
n=5, =0.3 n=20, =0.3
n=10, =0.3 n=50, =0.3
=0.2, n=5 ==00.2.2, ,nn==2200
=0.2, n=10 =0.2, n=50
（四）二项分布的特点
1
2
3 合计
表 1 3 只小白鼠染毒后的死亡只数的概率分布
生存数
排列方式
n-x
甲乙 丙
各种排列的概率
(2)
(3)
(4)
3
生 生 生 0.2 0.2 0.2 0.008
死 生 生 0.8 0.2 0.2 0.032
2
生 死 生 0.2 0.8 0.2 0.032
生 生 死 0.2 0.2 0.8 0.032
[(1 ) ]n Cn0 (1 )n 0 Cn1 (1 ) n1 1
Cnx (1 )nx x Cnn (1 )0 n
1
p(x) Cnx x 1 nx
p(0) p(1) p(n) 1
例. 求前例中三只小白鼠死亡2只的概率。
p(x 2) C32 21 32 30.82 0.21 0.384
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将 n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概 率分布称为二项分布。
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式 的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果 中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分 布。
[(1 ) ]n (1 )n Cn1(1 )n1 1 Cn2 (1 )n2 2 CnX (1 )nX X Cnn1(1 ) n1 n [(1 0.8) 0.8]3 (1 0.8)3 C31(1 0.8)31(0.8)1 C32 (1 0.8)32 (0.8)2 (0.8)3
1、当 0.5 时，无论 n大小，其图形均呈对称分布；
2、当 0.5，且且nn小小时时 呈偏态分布；随n不断增大，逐
渐趋于对称分布；当 n 时，逼近正态分布。
实际工作中，只要n足够大，与1- 均不太小时（通常规定
n > 50 且 n 5 与 n1 5 时），可看作近似正
态分布，即
appro.
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P(A) ，
， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
p
1
n
（理论值）
sp p(1 p) n （实际值）
（二）二项分布的累计概率
从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
（1）最多有k例阳性的概率为
P(X k) P(0) P(1) P(k)
（2）最少有k例阳性的概率为
P(X k) P(k) P(k 1) P(n) 1 P(X k 1)
x ~ N n , n 1 或
p
appro.
~
N
,
1
n
二项分布的正态近似示意图
❖二项分布的累计概率:
15
20
25
30
35
40
45
50
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
55
60
65
k1
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
p
1
n
p1 p
sp
n
2、总体率的区间估计
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
死亡数 x
(1) 0
生 死 死 0.2×0.8×0.8=0.128
1
2
死 生 死 0.8×0.2×0.8=0.128 P(2) C32 (0.8)2 (1 0.8)32 0.384
死 死 生 0.8×0.8×0.2=0.128
0
3
死 死 死 0.8×0.8×0.8=0.512 P(3) C33 (0.8)3 (1 0.8)33 0.512
3只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算 0.8, n 3
小白鼠存亡组合方 式
生存数 死亡数 （n-X） （X）
（1）
3
0
排列方式 每种排列的概率
每种组合的概率
甲乙丙
P(
X
)
C
X n
X
(1
)
n
X
（2）
（3）
（4）
生 生 生 0.2×0.2×0.2=0.008
P (0)
C
0 3
(0.8)
0
(1
0.8)
30
0.008
生 生 死 0.2×0.2×0.8=0.032
2
1
生 死 生 0.2×0.8×0.2=0.032 P(1) C31 (0.8)1 (1 0.8)31 0.096
死 生 生 0.2×0.8×0.2=0.032
（要求各观察单位同质）。
二、二项分布的性质
（一）均数和标准差
设从概率为的总体中随机抽取样本量为n的样本，每个样
本的事件发生数为x，则 x ~B(，n)。可以证明：
x n
x n 1
若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：
p
p
1
n
率的标准误（standard error of rate）：
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
(三)二项分布的图形
p n=5, =0.5
n=10, =0.5
xx
n=20, =0.5
n=30, =0.5
n=5, =0.3 n=20, =0.3
n=10, =0.3 n=50, =0.3
=0.2, n=5 ==00.2.2, ,nn==2200
=0.2, n=10 =0.2, n=50
（四）二项分布的特点
1
2
3 合计
表 1 3 只小白鼠染毒后的死亡只数的概率分布
生存数
排列方式
n-x
甲乙 丙
各种排列的概率
(2)
(3)
(4)
3
生 生 生 0.2 0.2 0.2 0.008
死 生 生 0.8 0.2 0.2 0.032
2
生 死 生 0.2 0.8 0.2 0.032
生 生 死 0.2 0.2 0.8 0.032
[(1 ) ]n Cn0 (1 )n 0 Cn1 (1 ) n1 1
Cnx (1 )nx x Cnn (1 )0 n
1
p(x) Cnx x 1 nx
p(0) p(1) p(n) 1
例. 求前例中三只小白鼠死亡2只的概率。
p(x 2) C32 21 32 30.82 0.21 0.384
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将 n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概 率分布称为二项分布。
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式 的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果 中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分 布。
[(1 ) ]n (1 )n Cn1(1 )n1 1 Cn2 (1 )n2 2 CnX (1 )nX X Cnn1(1 ) n1 n [(1 0.8) 0.8]3 (1 0.8)3 C31(1 0.8)31(0.8)1 C32 (1 0.8)32 (0.8)2 (0.8)3
1、当 0.5 时，无论 n大小，其图形均呈对称分布；
2、当 0.5，且且nn小小时时 呈偏态分布；随n不断增大，逐
渐趋于对称分布；当 n 时，逼近正态分布。
实际工作中，只要n足够大，与1- 均不太小时（通常规定
n > 50 且 n 5 与 n1 5 时），可看作近似正
态分布，即
appro.
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P(A) ，
， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
p
1
n
（理论值）
sp p(1 p) n （实际值）
（二）二项分布的累计概率
从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
（1）最多有k例阳性的概率为
P(X k) P(0) P(1) P(k)
（2）最少有k例阳性的概率为
P(X k) P(k) P(k 1) P(n) 1 P(X k 1)
x ~ N n , n 1 或
p
appro.
~
N
,
1
n
二项分布的正态近似示意图
❖二项分布的累计概率:
15
20
25
30
35
40
45
50
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
55
60
65
k1
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
p
1
n
p1 p
sp
n
2、总体率的区间估计
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
死亡数 x
(1) 0
生 死 死 0.2×0.8×0.8=0.128
1
2
死 生 死 0.8×0.2×0.8=0.128 P(2) C32 (0.8)2 (1 0.8)32 0.384
死 死 生 0.8×0.8×0.2=0.128
0
3
死 死 死 0.8×0.8×0.8=0.512 P(3) C33 (0.8)3 (1 0.8)33 0.512