流体流动连续性方程能量衡算

1 2
u22
p2
W f ,12
2、令
E gz 1 u2 p
2
E为总机械能，单位J/kg，推出：
E2
E1
p
gZ
1 2
u 2
E2 E1 Ws W f ,12 即:流动系统总机械能的增加量等于该系统接受外 功与阻力所消耗的能量之差的值。
p1
gz1
1 2
u12
Ws
p2
gz2
1 2
u22
W
p p V pv
m
热：
Q
外功： Ws
根据能量守恒定律，得出连续稳态流动系统的总能 量衡算方程式如下：
U1
gZ1
1 2
u12
p1v1
Q Ws
U2
gZ2
1 2
u22
p2v2
即:对于连续稳态流动系统,输入该系统的总能量等 于输出该系统的总能量。
U1
gZ1
1 2
u12
p1v1
Q
Ws
U2
gZ2
u1 u2
1 2
(u22
u12 )
1 2
u22
由连续性方程，得：
u2
u( d d2
)2
1.5(99 )2 71
2.92m
/
s
将已知条件代入方程：
Ws
g(z2
z1)
1 2
(u22
u12 )
p2
p1
Wf ,12
9.8118.5 2.922 2.942104 30
2
1100
求得：Ws=242.4J/kg
vdp
p1
W
f
12 )
gZ
1 2
u2
(
pv)
整理得：
p2 vdp p1
gZ
1 2
u2
Ws
W f 12
此为稳态流体流动系统的机械能衡算式
p2 vdp p1
gZ
1 2
u 2
Ws
W f 12
对不可压缩流体，上式积分得：
vp
gZ
1 2
u2
Ws
W f
12
p
gZ
1 2
u 2
Ws
W
f
12
p1
gz1
G1＝G2 ρ1A1u1＝ρ2A2u2
此关系可推广到管道的任一截面，即
ρAu＝常数 上式称为连续性方程式。
若流体不可压缩，ρ＝常数，则上式可简化为
Au＝常数 流体流速与管道的截面积成反比。
对于圆形管道，有
4
d12u1
4
d
2 2
u
2
或
( ) u1
d2 2
u2
d1
式中d1及d2分别为管道上截面1和截面2处的管内 径。不可压缩流体在管道中的流速与管道内径的平方
成反比。
六、流动系统的机械能衡算式
1、流体流动的总能量衡算
衡算范围：如图 基准面：0-0`平面 分析：每kg流体进入和离开衡 算范围所带进、带出的能量
每1kg流体进入和离开衡算范围所带进、带出的能量 有：
内能： U1、 U2
位能： gZ1、 gZ2
动能：
1 2
u12
1 2
u
2 2
静压能： p1v1 p2v2
qm
qv
4
d
2
uLeabharlann Baidu
11.55kg
/
s
Ps Wsqm 2442.411.55 2799.72(J / s) 2.8kw
泵的功率为：
P Ps 2.8 4.31kw
0.65
2、确定管内流体流量（或流速）
➢ z+p/ρg+u2/2g为总压头。
八、机械能衡算式及柏努利方程式的应用
gz1
1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
W f ,12
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
1、计算输送流体所需的功Ws或功率P； 2、计算流体流速、压强、所处位置高度； 3、分析机械能之间相互转化的规律等。
1 2
u12
Ws
p2
gz2
1 2
u22
W
f
,12
以上积分式均为不可压缩流体在稳态流动时的机械能衡算式。
稳态流动下不可压缩流体的机械能衡算式的讨论
gz1
1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
Wf ,12
1、表明了流体中各种形式的机械能之间相互转化的规律。
gz1
1 2
u12
p1
Ws
gz2
gz2
1 2
u22
p2
柏努利(Bernoulli)方程式
理想流体柏努利(Bernoulli)方程式的物理意义
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
gz为单位质量流体所具有的位能； p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；
u2/2为单位质量流体所具有的动能。
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
应用举例
1、确定输送设备的功率 P
用泵将碱液池的碱液输送至吸收塔顶，经喷 咀喷出，泵的进口管为108×4.5mm的钢管， 流速为1.5m/s, 出口管为76×2.5mm，储 液池碱液深度1.5m，池底至喷咀的垂直距 离20m,流动阻力损失30J/kg，喷咀处表压 0的.3效k率gf为/c6m52%，。碱液密度ρ=1100kg/m3,泵
p2
1、理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，三种能量 可互为转换。
2、当流速为0时，有流体静力学方程
gz1
p1
gz2
p2
柏努利方程式的其他形式
将各项均除以重力加速度g，则得
z
p
g
u2 2g
常数
➢z为位压头； ➢p/ρg为静压头；
➢u2/2g称为动压头（dynamic head）或速度压头
(velocity head)。
1 2
u22
p2v2
整理，变形：
Q
Ws
(U2
U1)
g(Z2
Z1)
1 2
(u22
u12 )
( p2v2
p1v1)
U gZ 1 u2 ( pv) 2
热力学第一定律在稳定流动系统的表达式。
2、实际流体的机械能衡算式
由热力学第一定律知：
U
Q W
Q(
v2 v1
pdv Wf ,12 )
其中：
W
求：泵的功率为多少kw?
解：选定两截面如图1-1与2-2，以池底为基准面， 在截面1-1与2-2之间列柏努利方程式
Ws
g(z2
z1)
1 2
(u22
u12 )
p2
p1
Wf ,12
已知： Z1 1.5m Z2 20m p1 0 p2 0.3kg f / cm2 2.942104 N / m2 d1 108 2 4.5 99mm d2 71mm W f 12 30J / kg
f
,12
式中各项除以g,得机械能衡算式的另一形式：
p1
g
z1
1 2g
u12
He
p2
g
z2
1 2g
u22
H
f
,12
He
WS g
H
f ,12
W f ,12 g
七、理想流体柏努利(Bernoulli)方程式
对理想流体∑Wf,1-2=0 ，在没有外功加入时，Ws=0，上式 简化为下式：
gz1
1 2
u12
p1
v2 v1
pdv Wf ,12
v2
p2v2
p2
p2
pdv d( pv) vdp ( pv) vdp
v1
p1v1
p1
p1
即：
Q
Ws
U
gZ
1 2
u2
( pv)
U Q W
p2
Q (( pv) vdp W f 12 )
p1
两式合并，有：
Q Ws Q (( pv)
p2