不可约多项式

x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
4 f x x 4 在 Q x , R x , C x 求 例 2：
f x x 2 2 x 2 2 ; 解： 在Q上：
在R上：f x x 2 x 2 x 2 2 ;
Байду номын сангаас
则有① r=s； ② 适当调整 q j x 的位置后，有
qi x ci pi x ,
i 1, 2, , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x 分解成r个因式时，有
还是采用辗转相除法。
问：如何求 f x 的标准分解式？ 在 Q x, R x 中的标准分解式。
2 即有 x 1 f x 。
例 1：
4 2 f x x 3 x 2, 求
解： 利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
在Q x 上
q1 c1 p1 p2 ( x) pr ( x) c1q2 x qs x
1 1 1 2
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c c p c2 p2 , qi ci pi , i 3,4,, r
故
qi ci pi , i 1,2,, r
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
f x p1 x p2 x pr x ,
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
在C上： f x x 2 x 2 x 2i x 2i .





首项系数 k1 ,, kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解 式。 1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x , g x .
例如：
f x 5 x 3 x 2 x 1 ,
f x 在数域P上可约。
由定义可得： ① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x 2 2 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质 性质1 若 p x 不可约，则 cp x 也不可约， c 0, c P. 性质2 若 p x 是不可约多项式，f x P x ,
若 f x p1 x p2 x pr x , 取 c1c2 cr 1. 则 f x c1 p1 x c2 p2 x cr pr x , 可见 f x 分解式不唯一。
P x 中任一个次数大于零的多项式 定理1.5.2： f x 分解成不可约多项式的乘积：
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
f x g x h x g n, h n. 2、若 f x 可约，
由假设知 g x , h x 均可分解为不可约多项式的乘积。 问题： 多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积 是否唯一？
则 p x f x p x , f x 1. 证：设 p x , f x d x , 由 d x f x d x 1 或 d x cp x . 若 d x 1, 则 p x , f x 1. 若 d x cp x , 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x 则 p x f x 或 p x g x.
f x 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， 还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义 定义1.5.1 设 f x 是 P x 中次数大于零的多项式， f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域 如果在 P x 中，
若 f x 除平凡因式外，在 P x 中还有 F上不可约。 其他因式， 则称 f x 在数域F上可约。 等价定义：如果 P x 中一个 n n 0 次多项式 f x 可分解成 P x 中两个次数都小于 n 的多项式 g x , h x 的积，即 f x g x h x , 则称
5 3
g x 7 x 3 x 1
3
4
x 1 ,
3
则 f x , g x x 3 x 1 虽然根据多项式的标准分解式写出
f x , g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法
2 f x x 2 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2
2 2 f x x 1 x 在R x 上 2 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是， f x 的分解式就变成：
f x an p1k1 x p2k2 x pl kl x .
p1 x ,, pl x 为 P x 的首一不可约多项式，
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
故存在某个qi 使 p1 ( x) qi ( x) 由于 p1 x q1 ( x)q2 (x)qs (x)，
为方便起见不防设 qi ( x) 就是 q1 ( x) 。
证： 若 p x f x , 则结论成立； 若 p x
f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x , f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
p x g x.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x f s x . 则 p x 必整除某个 fi x ,1 i s. 二、因式分解 问题： f x P x, f 0, f x 是否可分解为 不可约多项式的乘积？ 定理1.5.1：P x 中任一个n n 0 次多项式 f x 都可以分解成 P x 中不可约多项式的乘积。
§1.5 因式分解定理
一、不可约多项式
二、因式分解及唯一性定理
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于P x 中任一个多项式 f x , c P及cf x 总是 f x 的因式。 这样的因式称为平凡因式。